2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）.doc

第 1 页（共 30 页）2017 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标（新课标）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）已知集合 A=（x，y）|x2+y2=1，B=（x，y）|y=x，则 AB 中元素的个数为（ ）A3B2C1D02 （5 分）设复数 z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（ ）ABCD23 （5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4 （5 分） （x+y） （2xy）5的展开式中的 x3y3系数为 （ ）A80 B40 C40D805 （5 分）已知双曲线 C：=1 （a0，b0）的一条渐近线方程为 y=第 2 页（共 30 页）x，且与椭圆+=1 有公共焦点，则 C 的方程为（ ）A=1B=1C=1D=16 （5 分）设函数 f（x）=cos（x+） ，则下列结论错误的是（ ）Af（x）的一个周期为2By=f（x）的图象关于直线 x=对称Cf（x+）的一个零点为 x=Df（x）在（，）单调递减7 （5 分）执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N的最小值为（ ）A5B4C3D28 （5 分）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）ABCD9 （5 分）等差数列an的首项为 1，公差不为 0若 a2，a3，a6成等比数列，则an前 6 项的和为（ ）第 3 页（共 30 页）A24 B3C3D810 （5 分）已知椭圆 C：=1（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为（ ）ABCD11 （5 分）已知函数 f（x）=x22x+a（ex1+ex+1）有唯一零点，则 a=（ ）ABCD112 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若=+，则 + 的最大值为（ ）A3B2CD2二、填空题二、填空题:本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=3x4y 的最小值为 14 （5 分）设等比数列an满足 a1+a2=1，a1a3=3，则 a4= 15 （5 分）设函数 f（x）=，则满足 f（x）+f（x）1 的 x 的取值范围是 16 （5 分）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角；当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60°；其中正确的是 （填写所有正确结论的编号）第 4 页（共 30 页）三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求题为选考题，考生根据要求作答。作答。 （一）必考题：（一）必考题：60 分。分。17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积18 （12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25） ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元） ，当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19 （12 分）如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD （1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值第 5 页（共 30 页）20 （12 分）已知抛物线 C：y2=2x，过点（2，0）的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 P（4，2） ，求直线 l 与圆 M 的方程21 （12 分）已知函数 f（x）=x1alnx（1）若 f（x）0，求 a 的值；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n， （1+） （1+）（1+）m，求 m 的最小值（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为， （t 为参数） ，直线 l2的参数方程为， （m 为参数） 设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：（cos+sin）=0，M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）=|x+1|x2|（1）求不等式 f（x）1 的解集；第 6 页（共 30 页）（2）若不等式 f（x）x2x+m 的解集非空，求 m 的取值范围第 7 页（共 30 页）2017 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）已知集合 A=（x，y）|x2+y2=1，B=（x，y）|y=x，则 AB 中元素的个数为（ ）A3B2C1D0【分析】解不等式组求出元素的个数即可【解答】解：由，解得：或，AB 的元素的个数是 2 个，故选：B【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题2 （5 分）设复数 z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（ ）ABCD2【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：（1+i）z=2i，（1i） （1+i）z=2i（1i） ，z=i+1则|z|=故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图第 8 页（共 30 页）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【分析】根据已知中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案【解答】解：由已有中 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故 A 错误；年接待游客量逐年增加，故 B 正确；各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月，故 C 正确；各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳，故 D 正确；故选：A【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题4 （5 分） （x+y） （2xy）5的展开式中的 x3y3系数为 （ ）A80 B40 C40D80【分析】 （2xy）5的展开式的通项公式：Tr+1=（2x）5r（y）r=25r（1）第 9 页（共 30 页）rx5ryr令 5r=2，r=3，解得 r=3令 5r=3，r=2，解得 r=2即可得出【解答】解：（2xy）5的展开式的通项公式：Tr+1=（2x）5r（y）r=25r（1）rx5ryr令 5r=2，r=3，解得 r=3令 5r=3，r=2，解得 r=2（x+y） （2xy）5的展开式中的 x3y3系数=22×（1）3+23×=40故选：C【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5 （5 分）已知双曲线 C：=1 （a0，b0）的一条渐近线方程为 y=x，且与椭圆+=1 有公共焦点，则 C 的方程为（ ）A=1B=1C=1D=1【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程【解答】解：椭圆+=1 的焦点坐标（±3，0） ，则双曲线的焦点坐标为（±3，0） ，可得 c=3，双曲线 C：=1 （a0，b0）的一条渐近线方程为 y=x，可得，即，可得=，解得 a=2，b=，所求的双曲线方程为：=1第 10 页（共 30 页）故选：B【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力6 （5 分）设函数 f（x）=cos（x+） ，则下列结论错误的是（ ）Af（x）的一个周期为2By=f（x）的图象关于直线 x=对称Cf（x+）的一个零点为 x=Df（x）在（，）单调递减【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可【解答】解：A函数的周期为 2k，当 k=1 时，周期 T=2，故 A 正确，B当 x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3=1 为最小值，此时 y=f（x）的图象关于直线 x=对称，故 B 正确，C 当 x=时，f（+）=cos（+）=cos=0，则 f（x+）的一个零点为 x=，故 C 正确，D当x 时，x+，此时函数 f（x）不是单调函数，故 D错误，故选：D【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键7 （5 分）执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N的最小值为（ ）第 11 页（共 30 页）A5B4C3D2【分析】通过模拟程序，可得到 S 的取值情况，进而可得结论【解答】解：由题可知初始值 t=1，M=100，S=0，要使输出 S 的值小于 91，应满足“tN”，则进入循环体，从而 S=100，M=10，t=2，要使输出 S 的值小于 91，应接着满足“tN”，则进入循环体，从而 S=90，M=1，t=3，要使输出 S 的值小于 91，应不满足“tN”，跳出循环体，此时 N 的最小值为 2，故选：D【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题8 （5 分）已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）ABCD【分析】推导出该圆柱底面圆周半径 r=，由此能求出该圆柱的体积第 12 页（共 30 页）【解答】解：圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径 r=，该圆柱的体积：V=Sh=故选：B【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题9 （5 分）等差数列an的首项为 1，公差不为 0若 a2，a3，a6成等比数列，则an前 6 项的和为（ ）A24 B3C3D8【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出an前 6 项的和【解答】解：等差数列an的首项为 1，公差不为 0a2，a3，a6成等比数列，（a1+2d）2=（a1+d） （a1+5d） ，且 a1=1，d0，解得 d=2，an前 6 项的和为=24故选：A【点评】本题考查等差数列前 6 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用第 13 页（共 30 页）10 （5 分）已知椭圆 C：=1（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为（ ）ABCD【分析】以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出【解答】解：以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay+2ab=0 相切，原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2椭圆 C 的离心率 e=故选：A【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11 （5 分）已知函数 f（x）=x22x+a（ex1+ex+1）有唯一零点，则 a=（ ）ABCD1【分析】通过转化可知问题等价于函数 y=1（x1）2的图象与 y=a（ex1+）的图象只有一个交点求 a 的值分 a=0、a0、a0 三种情况，结合函数的单调性分析可得结论【解答】解：因为 f（x）=x22x+a（ex1+ex+1）=1+（x1）2+a（ex1+）=0，所以函数 f（x）有唯一零点等价于方程 1（x1）2=a（ex1+）有唯一解，等价于函数 y=1（x1）2的图象与 y=a（ex1+）的图象只有一个交点当 a=0 时，f（x）=x22x1，此时有两个零点，矛盾；当 a0 时，由于 y=1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，第 14 页（共 30 页）且 y=a（ex1+）在（，1）上递增、在（1，+）上递减，所以函数 y=1（x1）2的图象的最高点为 A（1，1） ，y=a（ex1+）的图象的最高点为 B（1，2a） ，由于 2a01，此时函数 y=1（x1）2的图象与 y=a（ex1+）的图象有两个交点，矛盾；当 a0 时，由于 y=1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且 y=a（ex1+）在（，1）上递减、在（1，+）上递增，所以函数 y=1（x1）2的图象的最高点为 A（1，1） ，y=a（ex1+）的图象的最低点为 B（1，2a） ，由题可知点 A 与点 B 重合时满足条件，即 2a=1，即 a=，符合条件；综上所述，a=，故选：C【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题12 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若=+，则 + 的最大值为（ ）A3B2CD2【分析】如图：以 A 为原点，以 AB，AD 所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点 P 的坐标为（cos+1，sin+2） ，根据=+，求出 ，根据三角函数的性质即可求出最值【解答】解：如图：以 A 为原点，以 AB，AD 所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的坐标系，则 A（0，0） ，B（1，0） ，D（0，2） ，C（1，2） ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，第 15 页（共 30 页）设圆的半径为 r，BC=2，CD=1，BD=BCCD=BDr，r=，圆的方程为（x1）2+（y2）2=，设点 P 的坐标为（cos+1，sin+2） ，=+，（cos+1，sin+2）=（1，0）+（0，2）=（，2） ，cos+1=，sin+2=2，+=cos+sin+2=sin（+）+2，其中 tan=2，1sin（+）1，1+3，故 + 的最大值为 3，故选：A【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点 P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题二、填空题二、填空题:本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。第 16 页（共 30 页）13 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=3x4y 的最小值为 1 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数 z=3x4y 的最小值【解答】解：由 z=3x4y，得 y=x，作出不等式对应的可行域（阴影部分） ，平移直线 y=x，由平移可知当直线 y=x，经过点 B（1，1）时，直线 y=x的截距最大，此时 z 取得最小值，将 B 的坐标代入 z=3x4y=34=1，即目标函数 z=3x4y 的最小值为1故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法14 （5 分）设等比数列an满足 a1+a2=1，a1a3=3，则 a4= 8 【分析】设等比数列an的公比为 q，由 a1+a2=1，a1a3=3，可得：a1（1+q）=1，a1（1q2）=3，解出即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为 q，a1+a2=1，a1a3=3，a1（1+q）=1，a1（1q2）=3，解得 a1=1，q=2第 17 页（共 30 页）则 a4=（2）3=8故答案为：8【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15 （5 分）设函数 f（x）=，则满足 f（x）+f（x）1 的 x 的取值范围是 （，+） 【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论 x 的取值范围，进行求解即可【解答】解：若 x0，则 x，则 f（x）+f（x）1 等价为 x+1+x+11，即 2x，则 x，此时x0，当 x0 时，f（x）=2x1，x，当 x0 即 x时，满足 f（x）+f（x）1 恒成立，当 0x，即x0 时，f（x）=x+1=x+，此时 f（x）+f（x）1 恒成立，综上 x，故答案为：（，+） 【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键16 （5 分）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角；第 18 页（共 30 页）当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60°；其中正确的是 （填写所有正确结论的编号）【分析】由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1 的正方体，|AC|=1，|AB|=，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴，则 A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆，以 C 坐标原点，以 CD 为 x轴，CB 为 y 轴，CA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【解答】解：由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为 1，故|AC|=1，|AB|=，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴，则 A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆，以 C 坐标原点，以 CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，CA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 D（1，0，0） ，A（0，0，1） ，直线 a 的方向单位向量 =（0，1，0） ，| |=1，直线 b 的方向单位向量 =（1，0，0） ，| |=1，设 B 点在运动过程中的坐标中的坐标 B（cos，sin，0） ，其中 为 BC 与 CD 的夹角，0，2） ，AB在运动过程中的向量，=（cos，sin，1） ，|=，设与 所成夹角为 0，则 cos=|sin|0，正确，错误设与 所成夹角为 0，cos=|cos|，第 19 页（共 30 页）当与 夹角为 60°时，即 =，|sin|=，cos2+sin2=1，cos=|cos|=，0，=，此时与 的夹角为 60°，正确，错误故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求题为选考题，考生根据要求作答。作答。 （一）必考题：（一）必考题：60 分。分。17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积【分析】 （1）先根据同角的三角函数的关系求出 A，再根据余弦定理即可求出，（2）先根据夹角求出 cosC，求出 CD 的长，得到 SABD=SABC【解答】解：（1）sinA+cosA=0，tanA=，第 20 页（共 30 页）0A，A=，由余弦定理可得 a2=b2+c22bccosA，即 28=4+c22×2c×（） ，即 c2+2c24=0，解得 c=6（舍去）或 c=4，故 c=4（2）c2=b2+a22abcosC，16=28+42×2×2×cosC，cosC=，CD=CD=BCSABC=ABACsinBAC=×4×2×=2，SABD=SABC=【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题18 （12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25） ，需第 21 页（共 30 页）求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元） ，当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【分析】 （1）由题意知 X 的可能取值为 200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为 500 瓶，至少为 200 瓶，只需考虑200n500，根据 300n500 和 200n300 分类讨论经，能得到当 n=300时，EY 最大值为 520 元【解答】解：（1）由题意知 X 的可能取值为 200，300，500，P（X=200）=0.2，P（X=300）=，P（X=500）=0.4，X 的分布列为：X 200 300 500P 0.2 0.4 0.4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为 500 瓶，至少为 200 瓶，只需考虑 200n500，当 300n500 时，若最高气温不低于 25，则 Y=6n4n=2n；若最高气温位于区间20，25） ，则 Y=6×300+2（n300）4n=12002n；若最高气温低于 20，则 Y=6×200+2（n200）4n=8002n，第 22 页（共 30 页）EY=2n×0.4+（12002n）×0.4+（8002n）×0.2=6400.4n，当 200n300 时，若最高气温不低于 20，则 Y=6n4n=2n，若最高气温低于 20，则 Y=6×200+2（n200）4n=8002n，EY=2n×（0.4+0.4）+（8002n）×0.2=160+1.2nn=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题19 （12 分）如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD （1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值【分析】 （1）如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO，ODABC 是等边三角形，可得 OBAC由已知可得：ABDCBD，AD=CDACD 是直角三角形，可得 AC 是斜边，ADC=90°可得 DO=AC利用 DO2+BO2=AB2=BD2可得OBOD利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明（2）设点 D，B 到平面 ACE 的距离分别为 hD，hE则=根据平面 AEC 把第 23 页（共 30 页）四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，可得=1，即点 E 是BD 的中点建立如图所示的空间直角坐标系不妨取 AB=2利用法向量的夹角公式即可得出【解答】 （1）证明：如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO，ODABC 是等边三角形，OBACABD 与CBD 中，AB=BD=BC，ABD=CBD，ABDCBD，AD=CDACD 是直角三角形，AC 是斜边，ADC=90°DO=ACDO2+BO2=AB2=BD2BOD=90°OBOD又 DOAC=O，OB平面 ACD又 OB平面 ABC，平面 ACD平面 ABC（2）解：设点 D，B 到平面 ACE 的距离分别为 hD，hE则=平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，=1点 E 是 BD 的中点建立如图所示的空间直角坐标系不妨取 AB=2则 O（0，0，0） ，A（1，0，0） ，C（1，0，0） ，D（0，0，1） ，B（0，0） ，第 24 页（共 30 页）E=（1，0，1） ，=，=（2，0，0） 设平面 ADE 的法向量为 =（x，y，z） ，则，即，取 =同理可得：平面 ACE 的法向量为 =（0，1，） cos=二面角 DAEC 的余弦值为【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20 （12 分）已知抛物线 C：y2=2x，过点（2，0）的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 P（4，2） ，求直线 l 与圆 M 的方程【分析】 （1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得 A 和 B 的坐标，由=0，则坐标原点 O 在圆 M 上；当直线 l 斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得=0，则坐标原点 O 在圆 M 上；方法二：设直线 l 的方程 x=my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得=0，则坐标原点 O 在圆 M 上；第 25 页（共 30 页）（2）由题意可知：=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得 k 的值，求得 M 点坐标，则半径 r=丨 MP 丨，即可求得圆的方程【解答】解：方法一：证明：（1）当直线 l 的斜率不存在时，则 A（2，2） ，B（2，2） ，则=（2，2） ，=（2，2） ，则=0，则坐标原点 O 在圆 M 上；当直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程 y=k（x2） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，整理得：k2x2（4k2+2）x+4k2=0，则 x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由 y1y20，则 y1y2=4，由=x1x2+y1y2=0，则，则坐标原点 O 在圆 M 上，综上可知：坐标原点 O 在圆 M 上；方法二：设直线 l 的方程 x=my+2，整理得：y22my4=0，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 y1y2=4，则（y1y2）2=4x1x2，则 x1x2=4，则=x1x2+y1y2=0，则，则坐标原点 O 在圆 M 上，坐标原点 O 在圆 M 上；（2）由（1）可知：x1x2=4，x1+x2=，y1+y2=，y1y2=4，圆 M 过点 P（4，2） ，则=（4x1，2y1） ，=（4x2，2y2） ，由=0，则（4x1） （4x2）+（2y1） （2y2）=0，整理得：k2+k2=0，解得：k=2，k=1，第 26 页（共 30 页）当 k=2 时，直线 l 的方程为 y=2x+4，则 x1+x2=，y1+y2=1，则 M（，） ，半径为 r=丨 MP 丨=，圆 M 的方程（x）2+（y+）2=当直线斜率 k=1 时，直线 l 的方程为 y=x2，同理求得 M（3，1） ，则半径为 r=丨 MP 丨=，圆 M 的方程为（x3）2+（y1）2=10，综上可知：直线 l 的方程为 y=2x+4，圆 M 的方程（x）2+（y+）2=，或直线 l 的方程为 y=x2，圆 M 的方程为（x3）2+（y1）2=10【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x）=x1alnx（1）若 f（x）0，求 a 的值；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n， （1+） （1+）（1+）m，求 m 的最小值【分析】 （1）通过对函数 f（x）=x1alnx（x0）求导，分 a0、a0 两种情况考虑导函数 f（x）与 0 的大小关系可得结论；（2）通过（1）可知 lnxx1，进而取特殊值可知 ln（1+），kN*一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+） （1+）（1+）e，另一方面可知（1+） （1+）（1+）2，从而当 n3 时， （1+）（1+）（1+）（2，e） ，比较可得结论【解答】解：（1）因为函数 f（x）=x1alnx，x0，所以 f（x）=1=，且 f（1）=0第 27 页（共 30 页）所以当 a0 时 f（x）0 恒成立，此时 y=f（x）在（0，+）上单调递增，这与 f（x）0 矛盾；当 a0 时令 f（x）=0，解得 x=a，所以 y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，即 f（x）min=f（a） ，若 a1，则 f（a）f（1）=0，从而与 f（x）0 矛盾；所以 a=1；（2）由（1）可知当 a=1 时 f（x）=x1lnx0，即 lnxx1，所以 ln（x+1）x 当且仅当 x=0 时取等号，所以 ln（1+），kN*一方面，ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+=11，即（1+） （1+）（1+）e；另一方面， （1+） （1+）（1+）（1+） （1+） （1+）=2；从而当 n3 时， （1+） （1+）（1+）（2，e） ，因为 m 为整数，且对于任意正整数 n， （1+） （1+）（1+）m 成立，所以 m 的最小值为 3【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy