2018年天津市高考数学试卷（理科）.doc

第 1 页（共 27 页）2018 年天津市高考数学试卷（理科）年天津市高考数学试卷（理科）一一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5.00 分）设全集为 R，集合 A=x|0x2，B=x|x1，则 A（RB）=（ ）Ax|0x1Bx|0x1Cx|1x2Dx|0x22 （5.00 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=3x+5y 的最大值为（ ）A6B19C21D453 （5.00 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为（ ）A1B2C3D4第 2 页（共 27 页）4 （5.00 分）设 xR，则“|x|”是“x31”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5 （5.00 分）已知 a=log2e，b=ln2，c=log，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bbac Ccba Dcab6 （5.00 分）将函数 y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A在区间，上单调递增 B在区间，上单调递减C在区间，上单调递增 D在区间，2上单调递减7 （5.00 分）已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为（ ）A=1B=1C=1D=18 （5.00 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD=120°，AB=AD=1若点 E 为边 CD 上的动点，则的最小值为（ ）ABCD3第 3 页（共 27 页）二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.9 （5.00 分）i 是虚数单位，复数= 10 （5.00 分）在（x）5的展开式中，x2的系数为 11 （5.00 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M（如图） ，则四棱锥 MEFGH 的体积为 12 （5.00 分）已知圆 x2+y22x=0 的圆心为 C，直线， （t 为参数）与该圆相交于 A，B 两点，则ABC 的面积为 13 （5.00 分）已知 a，bR，且 a3b+6=0，则 2a+的最小值为 14 （5.00 分）已知 a0，函数 f（x）=若关于 x 的方程f（x）=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是 三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤步骤.15 （13.00 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知bsinA=acos（B） 第 4 页（共 27 页）（）求角 B 的大小；（）设 a=2，c=3，求 b 和 sin（2AB）的值16 （13.00 分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查（）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生的概率17 （13.00 分）如图，ADBC 且 AD=2BC，ADCD，EGAD 且EG=AD，CDFG 且 CD=2FG，DG平面 ABCD，DA=DC=DG=2（）若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MN平面 CDE；（）求二面角 EBCF 的正弦值；（）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60°，求线段DP 的长18 （13.00 分）设an是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Sn（nN*） ，bn是等差数列已知 a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6（）求an和bn的通项公式；（）设数列Sn的前 n 项和为 Tn（nN*） ，（i）求 Tn；（ii）证明=2（nN*） 第 5 页（共 27 页）19 （14.00 分）设椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆的离心率为，点 A 的坐标为（b，0） ，且|FB|AB|=6（）求椭圆的方程；（）设直线 l：y=kx（k0）与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q若=sinAOQ（O 为原点） ，求 k 的值20 （14.00 分）已知函数 f（x）=ax，g（x）=logax，其中 a1（）求函数 h（x）=f（x）xlna 的单调区间；（）若曲线 y=f（x）在点（x1，f（x1） ）处的切线与曲线 y=g（x）在点（x2，g（x2） ）处的切线平行，证明 x1+g（x2）=；（）证明当 ae时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线第 6 页（共 27 页）2018 年天津市高考数学试卷（理科）年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5.00 分）设全集为 R，集合 A=x|0x2，B=x|x1，则 A（RB）=（ ）Ax|0x1Bx|0x1Cx|1x2Dx|0x2【分析】根据补集、交集的定义即可求出【解答】解：A=x|0x2，B=x|x1，RB=x|x1，A（RB）=x|0x1故选：B【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2 （5.00 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=3x+5y 的最大值为（ ）A6B19C21D45【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数 z=3x+5y 的最大值【解答】解：由变量 x，y 满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得 A（2，3） 当目标函数 z=3x+5y 经过 A 时，直线的截距最大，z 取得最大值第 7 页（共 27 页）将其代入得 z 的值为 21，故选：C【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值3 （5.00 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为（ ）第 8 页（共 27 页）A1B2C3D4【分析】根据程序框图进行模拟计算即可【解答】解：若输入 N=20，则 i=2，T=0，=10 是整数，满足条件T=0+1=1，i=2+1=3，i5 不成立，循环，=不是整数，不满足条件 ，i=3+1=4，i5 不成立，循环，=5 是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i5 成立，输出 T=2，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键4 （5.00 分）设 xR，则“|x|”是“x31”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件第 9 页（共 27 页）【分析】先解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可求出【解答】解：由|x|可得x，解得 0x1，由 x31，解得 x1，故“|x|”是“x31”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式的解法和充分必要条件，属于基础题5 （5.00 分）已知 a=log2e，b=ln2，c=log，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bbac Ccba Dcab【分析】根据对数函数的单调性即可比较【解答】解：a=log2e1，0b=ln21，c=log=log23log2e=a，则 a，b，c 的大小关系 cab，故选：D【点评】本题考查了对数函数的图象和性质，属于基础题，6 （5.00 分）将函数 y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A在区间，上单调递增 B在区间，上单调递减C在区间，上单调递增 D在区间，2上单调递减【分析】将函数 y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间为+k，+k，kZ，减区间为+k，+k，kZ，由此能求出结果【解答】解：将函数 y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，第 10 页（共 27 页）增区间满足：+2k2x，kZ，减区间满足：2x，kZ，增区间为+k，+k，kZ，减区间为+k，+k，kZ，将函数 y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间，上单调递增故选：A【点评】本题考查三角函数的单调区间的确定，考查三角函数的图象与性质、平移等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题7 （5.00 分）已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为（ ）A=1B=1C=1D=1【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可【解答】解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线y=，即 bxay=0，F（c，0） ，ACCD，BDCD，FECD，ACDB 是梯形，F 是 AB 的中点，EF=3，EF=b，所以 b=3，双曲线=1（a0，b0）的离心率为 2，可得，可得：，解得 a=第 11 页（共 27 页）则双曲线的方程为：=1故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力8 （5.00 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD=120°，AB=AD=1若点 E 为边 CD 上的动点，则的最小值为（ ）ABCD3【分析】如图所示，以 D 为原点，以 DA 所在的直线为 x 轴，以 DC 所在的直线为 y 轴，求出 A，B，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】解：如图所示，以 D 为原点，以 DA 所在的直线为 x 轴，以 DC 所在的直线为 y 轴，第 12 页（共 27 页）过点 B 做 BNx 轴，过点 B 做 BMy 轴，ABBC，ADCD，BAD=120°，AB=AD=1，AN=ABcos60°=，BN=ABsin60°=，DN=1+=，BM=，CM=MBtan30°=，DC=DM+MC=，A（1，0） ，B（，） ，C（0，） ，设 E（0，m） ，=（1，m） ，=（，m） ，0m，=+m2m=（m）2+=（m）2+，当 m=时，取得最小值为故选：A【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.第 13 页（共 27 页）9 （5.00 分）i 是虚数单位，复数= 4i 【分析】根据复数的运算法则计算即可【解答】解：=4i，故答案为：4i【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题10 （5.00 分）在（x）5的展开式中，x2的系数为 【分析】写出二项展开式的通项，由 x 的指数为 2 求得 r 值，则答案可求【解答】解：（x）5的二项展开式的通项为=由，得 r=2x2的系数为故答案为：【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题11 （5.00 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M（如图） ，则四棱锥 MEFGH 的体积为 第 14 页（共 27 页）【分析】求出四棱锥中的底面的面积，求出棱锥的高，然后利用体积公式求解即可【解答】解：正方体的棱长为 1，MEFGH 的底面是正方形的边长为：，四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为，四棱锥 MEFGH 的体积：=故答案为：【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力12 （5.00 分）已知圆 x2+y22x=0 的圆心为 C，直线， （t 为参数）与第 15 页（共 27 页）该圆相交于 A，B 两点，则ABC 的面积为 【分析】把圆的方程化为标准方程，写出圆心与半径；直线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，计算弦长|AB|，利用三角形面积公式求出ABC 的面积【解答】解：圆 x2+y22x=0 化为标准方程是（x1）2+y2=1，圆心为 C（1，0） ，半径 r=1；直线化为普通方程是 x+y2=0，则圆心 C 到该直线的距离为 d=，弦长|AB|=2=2=2×=，ABC 的面积为 S=|AB|d=××=故答案为：【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了参数方程应用问题，是基础题13 （5.00 分）已知 a，bR，且 a3b+6=0，则 2a+的最小值为 【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可【解答】解：a，bR，且 a3b+6=0，可得：3b=a+6，则 2a+=2=，当且仅当 2a=即 a=3 时取等号函数的最小值为：故答案为：【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，第 16 页（共 27 页）求解函数的最值考查计算能力14 （5.00 分）已知 a0，函数 f（x）=若关于 x 的方程f（x）=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是 （4，8） 【分析】分别讨论当 x0 和 x0 时，利用参数分离法进行求解即可【解答】解：当 x0 时，由 f（x）=ax 得 x2+2ax+a=ax，得 x2+ax+a=0，得 a（x+1）=x2，得 a=，设 g（x）=，则 g（x）=，由 g（x）0 得2x1 或1x0，此时递增，由 g（x）0 得 x2，此时递减，即当 x=2 时，g（x）取得极小值为 g（2）=4，当 x0 时，由 f（x）=ax 得x2+2ax2a=ax，得 x2ax+2a=0，得 a（x2）=x2，当 x=2 时，方程不成立，当 x2 时，a=设 h（x）=，则 h（x）=，由 h（x）0 得 x4，此时递增，由 h（x）0 得 0x2 或 2x4，此时递减，即当 x=4 时，h（x）取得极小值为 h（4）=8，要使 f（x）=ax 恰有 2 个互异的实数解，则由图象知 4a8，故答案为：（4，8）第 17 页（共 27 页）【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法结合函数的极值和导数之间的关系以及数形结合是解决本题的关键三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤步骤.15 （13.00 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知bsinA=acos（B） （）求角 B 的大小；（）设 a=2，c=3，求 b 和 sin（2AB）的值【分析】 （）由正弦定理得 bsinA=asinB，与 bsinA=acos（B） 由此能求出B（）由余弦定理得 b=，由 bsinA=acos（B） ，得 sinA=，cosA=，由此能求出 sin（2AB） 【解答】解：（）在ABC 中，由正弦定理得，得 bsinA=asinB，又 bsinA=acos（B） asinB=acos（B） ，即 sinB=cos（B）=cosBcos+sinBsin=cosB+，第 18 页（共 27 页）tanB=，又 B（0，） ，B=（）在ABC 中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得 b=，由 bsinA=acos（B） ，得 sinA=，ac，cosA=，sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A1=，sin（2AB）=sin2AcosBcos2AsinB=【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题16 （13.00 分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查（）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生的概率【分析】 （）利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；（）若（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量 X 的分布列，然后求解数学期望；（ii）利用互斥事件的概率求解即可【解答】解：（）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16人数比为：3：2：2，第 19 页（共 27 页）从中抽取 7 人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3，2，2 人（）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，随机变量 X 的取值为：0，1，2，3，k=0，1，2，3所以随机变量的分布列为：X01 23P随机变量 X 的数学期望 E（X）=；（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件 B 为：抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人，事件 C 为抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人，则：A=BC，且 P（B）=P（X=2） ，P（C）=P（X=1） ，故 P（A）=P（BC）=P（X=2）+P（X=1）=所以事件 A 发生的概率：【点评】本题考查分层抽样，考查对立事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定 X 的可能取值，求出相应的概率是关键17 （13.00 分）如图，ADBC 且 AD=2BC，ADCD，EGAD 且EG=AD，CDFG 且 CD=2FG，DG平面 ABCD，DA=DC=DG=2（）若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MN平面 CDE；（）求二面角 EBCF 的正弦值；（）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60°，求线段DP 的长第 20 页（共 27 页）【分析】 （）依题意，以 D 为坐标原点，分别以、的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系求出对应点的坐标，求出平面 CDE 的法向量及，由，结合直线 MN平面 CDE，可得 MN平面 CDE；（）分别求出平面 BCE 与平面平面 BCF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 EBCF 的正弦值；（）设线段 DP 的长为 h， （h0，2） ，则点 P 的坐标为（0，0，h） ，求出，而为平面 ADGE 的一个法向量，由直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60°，可得线段 DP 的长【解答】 （）证明：依题意，以 D 为坐标原点，分别以、的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系可得 D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（1，2，0） ，C（0，2，0） ，E（2，0，2） ，F（0，1，2） ，G（0，0，2） ，M（0，1） ，N（1，0，2） 设为平面 CDE 的法向量，则，不妨令 z=1，可得；又，可得又直线 MN平面 CDE，MN平面 CDE；（）解：依题意，可得，设为平面 BCE 的法向量，第 21 页（共 27 页）则，不妨令 z=1，可得设为平面 BCF 的法向量，则，不妨令 z=1，可得因此有 cos=，于是 sin=二面角 EBCF 的正弦值为；（）解：设线段 DP 的长为 h， （h0，2） ，则点 P 的坐标为（0，0，h） ，可得，而为平面 ADGE 的一个法向量，故|cos|=由题意，可得，解得 h=0，2线段 DP 的长为【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题18 （13.00 分）设an是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Sn（nN*） ，bn是等差数列已知 a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6（）求an和bn的通项公式；（）设数列Sn的前 n 项和为 Tn（nN*） ，第 22 页（共 27 页）（i）求 Tn；（ii）证明=2（nN*） 【分析】 （）设等比数列an的公比为 q，由已知列式求得 q，则数列an的通项公式可求；等差数列bn的公差为 d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；（） （i）由等比数列的前 n 项和公式求得 Sn，再由分组求和及等比数列的前n 项和求得数列Sn的前 n 项和为 Tn；（ii）化简整理，再由裂项相消法证明结论【解答】 （）解：设等比数列an的公比为 q，由 a1=1，a3=a2+2，可得q2q2=0q0，可得 q=2故设等差数列bn的公差为 d，由 a4=b3+b5，得 b1+3d=4，由 a5=b4+2b6，得 3b1+13d=16，b1=d=1故 bn=n；（） （i）解：由（） ，可得，故=；（ii）证明：=2【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题第 23 页（共 27 页）19 （14.00 分）设椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆的离心率为，点 A 的坐标为（b，0） ，且|FB|AB|=6（）求椭圆的方程；（）设直线 l：y=kx（k0）与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q若=sinAOQ（O 为原点） ，求 k 的值【分析】 （）设椭圆的焦距为 2c，根据椭圆的几何性质与已知条件，求出 a、b 的值，再写出椭圆的方程；（）设出点 P、Q 的坐标，由题意利用方程思想，求得直线 AB 的方程以及 k 的值【解答】解：（）设椭圆+=1（ab0）的焦距为 2c，由椭圆的离心率为 e=，=；又 a2=b2+c2，2a=3b，由|FB|=a，|AB|=b，且|FB|AB|=6；可得 ab=6，从而解得 a=3，b=2，椭圆的方程为+=1；（）设点 P 的坐标为（x1，y1） ，点 Q 的坐标为（x2，y2） ，由已知y1y20；|PQ|sinAOQ=y1y2；又|AQ|=，且OAB=，|AQ|=y2，第 24 页（共 27 页）由=sinAOQ，可得 5y1=9y2；由方程组，消去 x，可得 y1=，直线 AB 的方程为 x+y2=0；由方程组，消去 x，可得 y2=；由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=3，两边平方，整理得 56k250k+11=0，解得 k=或 k=；k 的值为或【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程等知识的应用问题，也考查了利用代数方法求研究圆锥曲线的性质应用问题，考查了运算求解能力与运用方程思想解决问题的能力20 （14.00 分）已知函数 f（x）=ax，g（x）=logax，其中 a1（）求函数 h（x）=f（x）xlna 的单调区间；（）若曲线 y=f（x）在点（x1，f（x1） ）处的切线与曲线 y=g（x）在点（x2，g（x2） ）处的切线平行，证明 x1+g（x2）=；（）证明当 ae时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线【分析】 （）把 f（x）的解析式代入函数 h（x）=f（x）xlna，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调区间；（）分别求出函数 y=f（x）在点（x1，f（x1） ）处与 y=g（x）在点（x2，g（x2） ）处的切线的斜率，由斜率相等，两边取对数可得结论；（）分别求出曲线 y=f（x）在点（）处的切线与曲线 y=g（x）在点第 25 页（共 27 页）（x2，logax2）处的切线方程，把问题转化为证明当 a时，存在x1（，+） ，x2（0，+）使得 l1与 l2重合，进一步转化为证明当 a时，方程存在实数解然后利用导数证明即可【解答】 （）解：由已知，h（x）=axxlna，有 h（x）=axlnalna，令 h（x）=0，解得 x=0由 a1，可知当 x 变化时，h（x） ，h（x）的变化情况如下表：x （，0）0 （0，+）h（x）0+h（x） 极小值函数 h（x）的单调减区间为（，0） ，单调递增区间为（0，+） ；（）证明：由 f（x）=axlna，可得曲线 y=f（x）在点（x1，f（x1） ）处的切线的斜率为lna由 g（x）=，可得曲线 y=g（x）在点（x2，g（x2） ）处的切线的斜率为这两条切线平行，故有，即，两边取以 a 为底数的对数，得 logax2+x1+2logalna=0，x1+g（x2）=；（）证明：曲线 y=f（x）在点（）处的切线 l1：，曲线 y=g（x）在点（x2，logax2）处的切线 l2：第 26 页（共 27 页）要证明当 a时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线，只需证明当 a时，存在 x1（，+） ，x2（0，+）使得 l1与 l2重合，即只需证明当 a时，方程组由得，代入得：，因此，只需证明当 a时，关于 x1 的方程存在实数解设函数 u（x）=，既要证明当 a时，函数y=u（x）存在零点u（x）=1（lna）2xax，可知 x（，0）时，u（x）0；x（0，+）时，u（x）单调递减，又 u（0）=10，u=0，故存在唯一的 x0，且 x00，使得 u（x0）=0，即由此可得，u（x）在（，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减，u（x）在 x=x0处取得极大值 u（x0） ，故 lnlna1=下面证明存在实数 t，使得 u（t）0，由（）可得 ax1+xlna，当时，有第 27 页（共 27 页）u（x）=存在实数 t，使得 u（t）0因此，当 a时，存在 x1（，+） ，使得 u（x1）=0当 a时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线 y=g（x）的切线【点评】本题考查导数的运算，导数的几何意义，运用导数研究指数函数与对数公式的性质等基础知识和方法，考查函数与方程思想，化归思想，考查抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，是难题