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第第4章章 刚体力学刚体力学内容：内容：刚体运动学刚体运动学 刚体运动的动力学方程刚体运动的动力学方程 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动 刚体的定点转动刚体的定点转动重点：重点：刚体上任一点的速度和加速度刚体上任一点的速度和加速度 刚体运动的动力学方程刚体运动的动力学方程难点：难点：惯量张量惯量张量 定点转动定点转动 刚体可以看成任意二质点之间的相对位置保持不变的质点系，是一个刚体可以看成任意二质点之间的相对位置保持不变的质点系，是一个理想化的力学模型。本章讨论刚体运动的一般理论。理想化的力学模型。本章讨论刚体运动的一般理论。4.1 刚体运动学刚体运动学 4.1.1 刚体运动的类型及其自由度刚体运动的类型及其自由度 一个包含有一个包含有n个质点的质点系的自由度为个质点的质点系的自由度为3n。对于刚体这个特殊的质对于刚体这个特殊的质点系，只要刚体上任意三个不在一直线的质点的位置确定了，刚体的位置点系，只要刚体上任意三个不在一直线的质点的位置确定了，刚体的位置也就确定了，因此，刚体运动时能独立变化的坐标变量即自由度为也就确定了，因此，刚体运动时能独立变化的坐标变量即自由度为6（为（为什么？）。若刚体运动时受到某些约束，自由度小于什么？）。若刚体运动时受到某些约束，自由度小于6。刚体的运动有以下几种形式刚体的运动有以下几种形式 （1）平动）平动 刚体运动中刚体上任意一直线始终彼此平行时称为平动，刚体平动刚体运动中刚体上任意一直线始终彼此平行时称为平动，刚体平动时刚体上所有点的速度、加速度相同，刚体上任意一点的运动都可以代表时刚体上所有点的速度、加速度相同，刚体上任意一点的运动都可以代表整个刚体的运动，其自由度为整个刚体的运动，其自由度为3，如图，如图4.1所示。所示。（2）定轴转动）定轴转动 刚体运动时，其中有两个点始终不动，则刚体绕这两点决定的直线刚体运动时，其中有两个点始终不动，则刚体绕这两点决定的直线转动，称为定轴转动（自由度多少？）转动，称为定轴转动（自由度多少？）（3）平面平行运动）平面平行运动 刚体运动时，刚体中任一点如果始终平行于一固定平面而运动。这时刚刚体运动时，刚体中任一点如果始终平行于一固定平面而运动。这时刚体作平面平行运动。如图体作平面平行运动。如图4.2所示，这时只需研究刚体中任一和固定平面平所示，这时只需研究刚体中任一和固定平面平行的截面的运动就够了（行的截面的运动就够了（Why？）？）平面平行运动可视为以某点（基点）为代表的平动和绕基点的转动的合平面平行运动可视为以某点（基点）为代表的平动和绕基点的转动的合成。如图成。如图4.4所示。因此其自由度为所示。因此其自由度为3（为什么？）（为什么？）图图4.1图图4.2图图4.3 （4）定点转动）定点转动 若刚体运动中有一点固定不动，整个刚体围绕该点转动称为定点转动若刚体运动中有一点固定不动，整个刚体围绕该点转动称为定点转动（实际上是绕通过该点的瞬时轴转动）。如图（实际上是绕通过该点的瞬时轴转动）。如图4.5所示，圆盘可绕对称轴所示，圆盘可绕对称轴oz转动，与转动，与oz固结的内悬架可绕固结的内悬架可绕ON轴转动，与轴转动，与ON围绕的外悬架又可围绕的外悬架又可绕固定轴绕固定轴oz转动，圆盘绕三轴的交点转动，圆盘绕三轴的交点o（始终固定不动）转动。其自由度为始终固定不动）转动。其自由度为3（Why？）？）节线节线ON与与ox轴间轴间的的夹夹角，角，刚刚体体绕绕oz轴轴的的转动转动角（自角（自转转角）角）oz轴轴与与oz0轴间轴间的的夹夹角是角是刚刚体自体自转轴转轴oz绕绕ON转动转动角（章角（章动动角）角）为了描述刚体的位形，通常取两个坐标系：以固定点为了描述刚体的位形，通常取两个坐标系：以固定点o为原点固定在为原点固定在空间（静止坐标系）空间（静止坐标系）；固定在；固定在刚刚体上并随体上并随刚刚体运体运动动（动动坐坐标系）标系）cxyz，取取t=0时时两坐两坐标标系的坐系的坐标轴标轴重合，重合，则刚则刚体的运体的运动动可用坐可用坐标标坐标系坐标系cxyz相对于相对于来表示，如图来表示，如图4.6所示。图中：所示。图中：ON 固定坐固定坐标标平面平面与与动动坐坐标标平面平面xoy的交的交线线（节线节线）。）。轴轴与与ON间间的的夹夹角，描述了角，描述了oz轴轴（刚刚体自体自转轴转轴）绕绕（进动进动角）。角）。转动转动 三个角坐三个角坐标标称称为为欧拉角，确定了定点欧拉角，确定了定点转动刚转动刚体在空体在空间间的位置，其的位置，其变变化范化范围为围为 上述上述 （5）一般运动）一般运动 刚体运动时不受任何约束，可以在空间任意运动，可分解为质心的平刚体运动时不受任何约束，可以在空间任意运动，可分解为质心的平动与绕通过质心的某直线的定点转动。其自由度为动与绕通过质心的某直线的定点转动。其自由度为6.平平动动可用可用C点的坐点的坐标标定点定点转动转动用欧拉角用欧拉角描述。描述。描述，描述，4.1.2 刚体的角速度刚体的角速度 刚体转动特性可用角位移和角速度来描述。刚体转动特性可用角位移和角速度来描述。（1）角位移）角位移设刚设刚体在体在时间时间内内绕绕某某轴线转过轴线转过角度角度，则则角位移角位移为为 （4.1）方向沿转轴，并与转动方向成右手螺旋关系。方向沿转轴，并与转动方向成右手螺旋关系。角位移是有方向的量，但不一定就是矢角位移是有方向的量，但不一定就是矢量。理论和实验证明：有限转动的角位移不量。理论和实验证明：有限转动的角位移不 是矢量，无限小转动的角位移是矢量。是矢量，无限小转动的角位移是矢量。（2）定轴转动的角速度）定轴转动的角速度（4.2）（3）定点转动的角速度）定点转动的角速度、章、章动动角速度角速度和自和自转转角速度角速度是是进动进动角速度角速度的合成的合成（4.3）在固定坐在固定坐标标系系中的分量中的分量为为（4.4）在动坐标系在动坐标系oxyz中的分量为中的分量为（4.5）（4.4）或（）或（4.5）式称为定点转动欧拉运动学方程。）式称为定点转动欧拉运动学方程。4.1.3 刚体上任意点的速度和加速度刚体上任意点的速度和加速度 （1）刚体只转动无平动）刚体只转动无平动 如图如图4.9所示，刚体上任意点所示，刚体上任意点p的速度、加速度为的速度、加速度为（4.6）（4.74.7）（2）刚体既转动又平动）刚体既转动又平动 如如图图4.10所示，在所示，在刚刚体内任意取一点体内任意取一点P，其位矢其位矢为为，再任意取一点，再任意取一点，则则A作为基点，作为基点，A点的位矢为点的位矢为P点的速度为点的速度为 （4.8）上式表明：上式表明：刚体上任意点的速度等于刚体随基刚体上任意点的速度等于刚体随基点的平动速度和绕基点的转动速度的合成点的平动速度和绕基点的转动速度的合成速速度基点法或合成法。度基点法或合成法。P点的加速度：点的加速度：其中：其中：基点基点A平平动动加速度；加速度；P点点绕转动绕转动瞬瞬轴转动轴转动的加速度（沿切向）；的加速度（沿切向）；P点点绕转动绕转动瞬瞬轴转动轴转动的向的向轴轴加速度。加速度。（4.8）和（）和（4.9）式是刚体一般运动时刚体上任意点的速度和加速度）式是刚体一般运动时刚体上任意点的速度和加速度公式，是处理刚体运动学问题的基础。公式，是处理刚体运动学问题的基础。（3）瞬时转轴）瞬时转轴由（由（4.8）式知：）式知：当某时刻刚体上某点当某时刻刚体上某点Q绕基点绕基点A的转动速度的转动速度时，时，即即Q点的速度为零，意味着此刻刚体无平动，只有转动，点的速度为零，意味着此刻刚体无平动，只有转动，Q点称为瞬点称为瞬时转动中心（或瞬时转心）。若某瞬时能在刚体上找到二个速度为零的点，时转动中心（或瞬时转心）。若某瞬时能在刚体上找到二个速度为零的点，以二点的连线为刚体的瞬时转轴，此时刚体的运动可视为绕该瞬时转轴的以二点的连线为刚体的瞬时转轴，此时刚体的运动可视为绕该瞬时转轴的纯转动，刚体上任一点纯转动，刚体上任一点P的速度就可按纯转动计算的速度就可按纯转动计算瞬时转轴法，即瞬时转轴法，即（4.10）刚体的一般运动可视为基点的平动与绕基点的转动的合成，也可视刚体的一般运动可视为基点的平动与绕基点的转动的合成，也可视为绕瞬时转轴的纯转动，因而计算刚体上任一点为绕瞬时转轴的纯转动，因而计算刚体上任一点P的速度有两种方法：的速度有两种方法：小结：小结：基点法（合成法）基点法（合成法）为为基点的速度，基点的速度，其中其中为为P P点相点相对对于基点的位矢。基点于基点的位矢。基点A A的位置可以的位置可以任意选取，通常选取质心为基点。任意选取，通常选取质心为基点。瞬时转轴法瞬时转轴法，求，求轮轮子子边缘边缘上任一点上任一点P P的速度和加速度。的速度和加速度。例例1半径为半径为R R的轮子在直线轨道上匀速只滚不滑（纯滚动），质心的轮子在直线轨道上匀速只滚不滑（纯滚动），质心C C的速度为的速度为是是刚刚体（体（动动系）系）绕绕瞬瞬时转轴转动时转轴转动角速度，角速度，为为P P点相点相对对于瞬于瞬时转轴时转轴 式中式中的的位矢。位矢。解：（解：（1）用基点法求）用基点法求由图知，由图知，为为PQ与直线轨道之间的夹角与直线轨道之间的夹角 （2）用瞬时转轴法求）用瞬时转轴法求 的方向：的方向：指向前指向前进进方向。方向。（3）用基点法求）用基点法求 的大小：的大小：的方向：指向的方向：指向轮轮心心C C；例例2半径为半径为L的圆盘的圆盘地面作滚动，圆盘中心地面作滚动，圆盘中心C以速度以速度沿着半径沿着半径为为R的的圆圆周运周运动动，求，求圆盘边缘圆盘边缘上任一点上任一点P的速度。的速度。解：圆盘运动可视为绕解：圆盘运动可视为绕o点的定点点的定点 转动，转动，QO为瞬时转轴，则为瞬时转轴，则 4.2 刚体运动的动力学方程刚体运动的动力学方程 4.2.1 刚体运动的动力学量刚体运动的动力学量 （1）刚体的动量）刚体的动量（4.11）（2）刚体的角动量）刚体的角动量（4.124.12）若质量连续分布，则若质量连续分布，则（4.134.13）是否同方向？是否同方向？与角速度与角速度 思考：角思考：角动动量量 （3）刚体的动能）刚体的动能 （4.144.14）其中其中 是刚体中质点相对于质心的动能。是刚体中质点相对于质心的动能。4.2.2 刚体运动的动力学方程刚体运动的动力学方程 刚体是个特殊的质点系，因此质点系的动量定理、角动量定理和动能刚体是个特殊的质点系，因此质点系的动量定理、角动量定理和动能定理对刚体也适用。刚体的一般运动可视为质心定理对刚体也适用。刚体的一般运动可视为质心C（基点）的平动与绕质基点）的平动与绕质心的转动的合成。质心的运动服从质心系的质心运动规律心的转动的合成。质心的运动服从质心系的质心运动规律（4.154.15）绕质心的转动由角动量定理决定：绕质心的转动由角动量定理决定：（4.164.16）可用质心系的动能定理可用质心系的动能定理（4.17）取代（取代（4.15）或（）或（4.16）中任一个方程。）中任一个方程。4.3 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动 （1）任一点）任一点P的速度和加速度的速度和加速度 速度为：速度为：（4.18）在在系和系和c-xyc-xy系中的分量式系中的分量式 （4.194.19）（4.20）加速度为：加速度为：（4.214.21）质心运动方程质心运动方程（4.22）对质心的角动量定理对质心的角动量定理（4.23）动能定理动能定理（4.244.24）其中其中为对质为对质心的心的转动惯转动惯量。量。例例1 均匀圆柱体沿固定斜面滚下。求圆柱体的加速度和约束反力均匀圆柱体沿固定斜面滚下。求圆柱体的加速度和约束反力 解：（解：（1）用拉格朗日方程求加速度）用拉格朗日方程求加速度为为广广义义坐坐标标。取如取如图图4.144.14所示的坐所示的坐标标系。系。约约束束条件条件为为：，故自由度，故自由度 为为1 1，以，以 体系的动能和势能为体系的动能和势能为拉格朗日函数为拉格朗日函数为代入拉格朗日方程可得质心加速度代入拉格朗日方程可得质心加速度角加速度角加速度 （2）用机械能守恒定律求加速度）用机械能守恒定律求加速度即即 （3）用角动量定理求加速度）用角动量定理求加速度 对对P点应用角动量定理，得点应用角动量定理，得将将代入：代入：(4)用质心运动定理和对质心的角动量定理求约束力用质心运动定理和对质心的角动量定理求约束力由以上四式，可得法向由以上四式，可得法向约约束反力束反力和切向和切向约约束反力束反力：因切向因切向约约束反力束反力为为静摩擦力：静摩擦力：讨论：讨论：若保持斜面若保持斜面倾倾角角不不变变，则则斜面的粗糙程度达到斜面的粗糙程度达到时时，圆圆柱体在斜面上只柱体在斜面上只滚滚不滑；不滑；，讨论乒乓讨论乒乓球以后的运球以后的运动动情况。情况。向右沿水平面抛出，同向右沿水平面抛出，同时时球具有球具有 例例2 质量为质量为m m的乒乓球以初速度的乒乓球以初速度 解：解：乒乓球作平面平行运动。运动中乒乓球作平面平行运动。运动中受重力受重力mgmg，约束反力约束反力擦力擦力FF作用。根据作用。根据质质心运心运动动定理和定理和对对质质心的角心的角动动量定理，有量定理，有和滑动摩和滑动摩（2 2）若保持斜面粗糙程度不若保持斜面粗糙程度不变变，改，改变倾变倾角角，只有只有满满足足圆圆柱体只柱体只滚滚不滑，故不滑，故是是圆圆柱体只柱体只滚滚不滑的条件。不滑的条件。积分，得积分，得（1）（3 3）（4 4）可可见见：乒乓乒乓球的球的质质心速度心速度和和转动转动角速度角速度逐逐渐渐减小，至减小，至时时所所经历经历的的时间时间（5 5）时时的的时间时间（6）根据初始条件，乒乓球运动可能出现三种情况：根据初始条件，乒乓球运动可能出现三种情况：，则经过则经过 若若，即，即后，后，乒乓乒乓球停止运球停止运动动。若若，即，即，则经过则经过 后，后，而，而（向右），在（向右），在F（向左）作用下变为顺时针转动。向左）作用下变为顺时针转动。这时（这时（3）和（）和（4）式变为）式变为 （7 7）（8 8）逐逐渐渐减小。当减小。当即即从从0 0逐逐渐渐增大，增大，从从减小至减小至 时时，乒乓乒乓球作球作纯滚动纯滚动，所，所经历经历的的时间时间t t由（由（7 7）与（）与（8 8）式）式联联立立确定：确定：（9 9）将（将（9）式代入（）式代入（7）式，得此时球心的速度为）式，得此时球心的速度为（10）所以，在所以，在的情况下，的情况下，乒乓乒乓球从抛出后球从抛出后经过时间经过时间后，以后，以匀速匀速继续继续向前（向右）向前（向右）纯滚动纯滚动。若若，即，即，而，而，即：，即：这时这时球心的球心的速度为零，但球仍逆时针方向转动，于是速度为零，但球仍逆时针方向转动，于是改改变变方向，从原来向右运方向，从原来向右运动动后后，则经过时间则经过时间变为向左滚回去，（变为向左滚回去，（3）、（）、（4）式变为）式变为（1212）再再经过经过一定一定时间时间tt后，后，乒乓乒乓球以匀速向左球以匀速向左纯滚动纯滚动。tt由由（11）与（）与（12）两式联立求得：）两式联立求得：（1313）（11）（1414）所以在所以在的情况下，的情况下，乒乓乒乓球从抛出后球从抛出后经过经过后以后以匀速匀速继续继续向左向左纯滚动纯滚动。总结总结以上三种情况：以上三种情况：乒乓乒乓球从抛出球从抛出时时刻起，刻起，经过经过后，将以等速后，将以等速 作作惯惯性运性运动动（，向右，向右;，向左）向左）此时球心的速度为此时球心的速度为所经过的总时间为所经过的总时间为 4.4 刚体的定点转动刚体的定点转动刚体定点转动时，转轴随时间不断变化，是三维空间运动问题，其刚体定点转动时，转轴随时间不断变化，是三维空间运动问题，其况比刚体的定轴转动和平面平行运动复杂得多。况比刚体的定轴转动和平面平行运动复杂得多。运动情运动情 （1）刚体上任一点刚体上任一点P的速度和加速度的速度和加速度 描述刚体定点转动通常采用固结在刚体描述刚体定点转动通常采用固结在刚体上随刚体运动的动坐标系上随刚体运动的动坐标系o-xyz（原点在固原点在固 定点定点o上），如图上），如图4.16所示。所示。任一点任一点P的速度为的速度为 （4.25）加速度为加速度为（4.264.26）式中式中 是刚体的角速度，取向沿转动瞬轴，是刚体的角速度，取向沿转动瞬轴，、章、章动动角速度角速度是是进动进动角速度角速度和自和自转转角角速度速度的矢量和：的矢量和：（4.26）R R是是P P点到点到的的距离。距离。例例 碾磨机碾轮在竖直轴驱动下沿水平面作纯滚动，轮的水平轴则碾磨机碾轮在竖直轴驱动下沿水平面作纯滚动，轮的水平轴则绕竖绕竖直直轴轴OBOB转动转动。OA=COA=C，OB=bOB=b，试试求求总总角速度角速度、角加、角加以匀角速度以匀角速度速度速度以及轮上最高点以及轮上最高点M的速度和加速度。的速度和加速度。解：（解：（1）用定点运动公式解）用定点运动公式解 取如图所示的直角坐标系，则取如图所示的直角坐标系，则 =思考：用思考：用正确正确吗吗？求求 （2）用一般运动公式求）用一般运动公式求 如图如图4.18所示。所示。（2）欧拉动力学方程欧拉动力学方程 定点转动的动力学方程是角动量定理：定点转动的动力学方程是角动量定理：（4.27）刚体定点转动的角动量刚体定点转动的角动量 其中其中 或或 （4.294.29）（4.30）惯量张量惯量张量（4.28）式表出的角）式表出的角动动量量中所包含的中所包含的9个量（元素）个量（元素）组组成一个完整成一个完整的数学整体，表征刚体定点转动特性，称为惯量张量，其中元素的数学整体，表征刚体定点转动特性，称为惯量张量，其中元素分别是刚体绕分别是刚体绕x轴、轴、y轴、轴、z轴的转动惯量，元素轴的转动惯量，元素 称为惯量积。称为惯量积。惯量张量是个二级张量，可写成矩阵形式：惯量张量是个二级张量，可写成矩阵形式：（4.31）的的转动惯转动惯根据定点根据定点转动转动的的惯惯量量张张量，可以得到量，可以得到绕过绕过此定点的任一此定点的任一轴线轴线量量:（4.32）式中式中为为的三个方向余弦（的三个方向余弦（可以通过适当选取坐标轴的方向，如坐标轴选在刚体的对称轴上，可以通过适当选取坐标轴的方向，如坐标轴选在刚体的对称轴上，可使可使6个惯量积为零（这时的坐标轴称为刚体主轴或惯量主轴），则个惯量积为零（这时的坐标轴称为刚体主轴或惯量主轴），则（4.31）、（）、（4.32）、（、（4.30）式简化为）式简化为 （4.33）（4.344.34）（4.354.35）其中其中为对为对x x、y y、z z轴轴的的轴转动惯轴转动惯量，量，则则角角动动量量为为 （4.364.36）欧拉动力学方程欧拉动力学方程 将（将（4.36）式代入（）式代入（4.27）式：）式：（4.37）而而 （4.38）将（将（4.38）代入（）代入（4.37）得）得（4.394.39）分量式为分量式为（4.404.40）上式为定点转动的动力学方程，称为欧拉动力学方程。上式为定点转动的动力学方程，称为欧拉动力学方程。（3）定点转动的典型实例（陀螺运动）定点转动的典型实例（陀螺运动）欧拉欧拉动动力学方程（力学方程（4.404.40）中，力矩）中，力矩通常是通常是等多个等多个变变量的函数，很量的函数，很难难通通过积过积分求出分析解。只分求出分析解。只有几种特殊情况下才能求得它的分析解，陀螺运动是定点转动的典型实例。有几种特殊情况下才能求得它的分析解，陀螺运动是定点转动的典型实例。欧拉陀螺欧拉陀螺 若刚体所受的外力的合力通过固定点（即外力矩为零），则刚体因惯性若刚体所受的外力的合力通过固定点（即外力矩为零），则刚体因惯性自由转动，如分子的转动、地球的自转等，称为欧拉陀螺。自由转动，如分子的转动、地球的自转等，称为欧拉陀螺。以地球自以地球自转为转为例。地球是个扁平的均匀球体，若不考例。地球是个扁平的均匀球体，若不考虑虑太阳、月球及其他太阳、月球及其他行星的引力，行星的引力，则则地球是地球是对对称的欧拉陀螺（称的欧拉陀螺（），其运），其运动动方程方程为为 （4.414.41）由上式中的第三式得由上式中的第三式得（4.424.42）=常数常数（4.434.43）其中其中（4.444.44）由（由（4.43）式，得）式，得将（将（4.42）代入（）代入（4.41）的第一、二式，得）的第一、二式，得积分，可得积分，可得（4.454.45）则地球自转角速度的大小则地球自转角速度的大小的方向：的方向：绕对绕对称称轴轴ozoz以等角速度以等角速度n n转动转动，如，如图图4.214.21所示。所示。为为了找出三个欧拉角的运了找出三个欧拉角的运动动为为oz0oz0方向，如方向，如图图4.224.22所示有所示有（=常数）方向常数）方向规律，取规律，取又又将（将（4.444.44）和（）和（4.454.45）代入上式：）代入上式：比较以上二式，可得比较以上二式，可得 （4.464.46）解（解（4.464.46）式，可得三个欧拉角的运）式，可得三个欧拉角的运动动情况：情况：（4.474.47）可见：陀螺无章动，只有自转和进动可见：陀螺无章动，只有自转和进动规则进动。规则进动。拉格朗日陀螺拉格朗日陀螺刚刚体体绕绕定点定点转动时转动时其其惯惯量量（即（即为为旋旋转椭转椭球），重心球），重心C在在对对称称轴轴上但不与固定点重合，称为拉格朗日陀螺，如图上但不与固定点重合，称为拉格朗日陀螺，如图4.23所示。所示。陀螺的陀螺的动动能和能和势势能能为为拉氏函数拉氏函数为为 和和是循是循环环坐坐标标，可得两个守恒量，可得两个守恒量 （4.48）（4.494.49）解拉格朗陀螺三个动力学方程（解拉格朗陀螺三个动力学方程（4.48）、（）、（4.49）、（）、（4.50），可得），可得（4.51）（4.534.53）式中式中（4.544.54）（4.504.50）根据机械能守恒：根据机械能守恒：（4.52）（4.554.55）高速自转陀螺（回转仪或陀螺仪）高速自转陀螺（回转仪或陀螺仪）回转效应回转效应 绕对称轴上的定点转动的对称陀螺，在重力矩作用下，一般有自转、绕对称轴上的定点转动的对称陀螺，在重力矩作用下，一般有自转、章动和进动，角速度为章动和进动，角速度为 角动量为角动量为高速自高速自转时转时：所以所以（4.574.57）（4.56）重力矩重力矩（4.58）根据角根据角动动量定理量定理有有其中其中（4.594.59）（4.604.60）陀螺仪在陀螺仪在t内转过的角度为内转过的角度为轴线转动轴线转动的角速度，也就是陀螺的角速度，也就是陀螺仪仪的的进动进动绕绕为为自自转轴转轴ozoz的方向的方向角速度角速度（4.614.61）高速旋转的陀螺仪在重力矩作用下产生的进动效应称为回转效应。高速旋转的陀螺仪在重力矩作用下产生的进动效应称为回转效应。回转运动的近似理论回转运动的近似理论 设设某某时时刻陀螺刻陀螺仪绕仪绕自自转轴转轴高速旋高速旋转转的角的角动动量量为为、重力矩、重力矩，在在t内冲量矩内冲量矩为为，根据冲，根据冲 量矩（角动量）定理：量矩（角动量）定理：根据矢量的平行四根据矢量的平行四边边形合成法形合成法则则，仍仍在水平面在水平面ozxozx内，其方向内，其方向绕绕轴转过轴转过角，即陀螺角，即陀螺仪仪自自转轴转轴oz（）产产生了沿此方向的生了沿此方向的进动进动。如。如图图4.25所示。所示。如果加如果加一水平力企图加速进动时，则自转轴向下偏转（为什么？）一水平力企图加速进动时，则自转轴向下偏转（为什么？）以上对高速旋转的陀螺仪的运动分析以上对高速旋转的陀螺仪的运动分析和解释是近似的。实际上陀螺仪除进动外还和解释是近似的。实际上陀螺仪除进动外还有章动。有章动。如图如图4.26所示，如果先把陀螺仪支撑所示，如果先把陀螺仪支撑起来，然后撤去一端（起来，然后撤去一端（A点）的支撑，于是点）的支撑，于是A端下沉，同时沿水平方向进动，接着下沉端下沉，同时沿水平方向进动，接着下沉 运动放慢，直到运动放慢，直到A点沿水平方向运动；然后点沿水平方向运动；然后进动放慢，进动放慢，A点重新抬起至初始高度。这样点重新抬起至初始高度。这样周而复始地继续下去，周而复始地继续下去，A点描绘出如点描绘出如 图图4.27 的轨迹。的轨迹。图图4.27 陀螺仪的应用实例陀螺仪的应用实例炮弹的旋转炮弹的旋转。如图。如图4.26所示，空气阻力的合力所示，空气阻力的合力对质对质心心C的力矩将使的力矩将使炮弹绕质心炮弹绕质心C转动而使炮弹头翻。若在泡筒内刻有陀螺式的来复线，转动而使炮弹头翻。若在泡筒内刻有陀螺式的来复线，就能使炮弹头不翻转（为什么？）回转罗盘。如图就能使炮弹头不翻转（为什么？）回转罗盘。如图4.27所示，罗盘内环所示，罗盘内环自转时其轴线自转时其轴线OO就能追踪北极就能追踪北极N不变，从不变，从 而可代替指南针（磁性罗盘），而可代替指南针（磁性罗盘），且不受磁场影响，广泛应用于导航系统中。且不受磁场影响，广泛应用于导航系统中。上的偏心重物上的偏心重物P产生力矩使罗盘的圆盘轴线产生力矩使罗盘的圆盘轴线OO绕绕SN方向进动，罗盘随地球方向进动，罗盘随地球 高速旋转的陀螺仪在重力矩作用下不倾倒而在水平面内进动。进动中，高速旋转的陀螺仪在重力矩作用下不倾倒而在水平面内进动。进动中，若在水平方向受到一外力作用，自转轴的进度快慢不改变而上下倾斜。若在水平方向受到一外力作用，自转轴的进度快慢不改变而上下倾斜。陀螺仪运动小结陀螺仪运动小结和和转过转过的角度的角度很大，很大，进动进动速度速度 由于由于式式 和自和自转轴转轴上下上下倾倾斜角度很小。因此，在陀螺斜角度很小。因此，在陀螺仪质仪质量和外界干量和外界干扰扰不太不太 大大时时，陀螺，陀螺仪仪自自转轴线转轴线方向可保持方向可保持稳稳定不定不变变。实际应实际应用的陀螺用的陀螺仪仪都是利用都是利用这这一性一性质质。见（见（4.60）和（）和（4.61）4.5 解题指导解题指导 （1）习题基本类型及解法）习题基本类型及解法 刚体运动习题内容广、变化大、计算复杂、不易归纳。常见的习题刚体运动习题内容广、变化大、计算复杂、不易归纳。常见的习题大体上有以下三种类型：大体上有以下三种类型：已知刚体的运动形式，求刚体上一点已知刚体的运动形式，求刚体上一点P的速度和加速度以及有关运动的速度和加速度以及有关运动学量。学量。基本解法：应用基点法（合成法）基本解法：应用基点法（合成法）刚刚体作平面平行运体作平面平行运动时动时，只有二个分量，作一般运只有二个分量，作一般运动时动时有三个分量。有三个分量。已知力和运动情况，求运动规律已知力和运动情况，求运动规律 基本解法：应用质心运动定理和角动量定理，也可用拉格朗日方程基本解法：应用质心运动定理和角动量定理，也可用拉格朗日方程建立动力学方程，然后求解方程。建立动力学方程，然后求解方程。转动惯量（I）、角动量（）和动能（T）的计算 基本解法：根据定义计算或由有关的基本定理计算。基本解法：根据定义计算或由有关的基本定理计算。（2）范例）范例当螺旋桨尖端当螺旋桨尖端B与中心与中心A联线和垂线成联线和垂线成角角时时，B点的速度及加速度。已知点的速度及加速度。已知螺旋桨的长度螺旋桨的长度AB=例例1当飞机在空中以定值当飞机在空中以定值V沿半径为沿半径为R的水平圆形轨道的水平圆形轨道C转弯时，求转弯时，求，螺旋，螺旋桨桨自身旋自身旋转转的角速度的角速度为为。解：螺旋桨作一般运动，取图示的坐标系。解：螺旋桨作一般运动，取图示的坐标系。（1 1）（1 1）（2 2）例例2 长为长为2a的均质杆的均质杆AB，以铰链固结于点以铰链固结于点A，最初杆由静止从水平最初杆由静止从水平位置绕点位置绕点A转动，当杆通过竖直位置时，去掉铰链使杆成自由体。试证：转动，当杆通过竖直位置时，去掉铰链使杆成自由体。试证：在在 此后的运动中，杆的质心画出一抛物线轨迹；计算当杆的质心再下降此后的运动中，杆的质心画出一抛物线轨迹；计算当杆的质心再下降h距离时，杆共绕了几圈？距离时，杆共绕了几圈？解：杆的运动可分为两个阶段。解：杆的运动可分为两个阶段。第一阶段：杆作定轴转动第一阶段：杆作定轴转动 由动能定理：由动能定理：第二阶段：杆在竖直位置被释放后作平面平行运动第二阶段：杆在竖直位置被释放后作平面平行运动 取图示的直角坐标系。根据质心运动定理和角动量定理，有取图示的直角坐标系。根据质心运动定理和角动量定理，有依初始条件：依初始条件：t=0t=0时时，积积分以上各分以上各式可得式可得消去消去t，得得（抛物（抛物线线）当质心当质心C从离从离A点为点为a处下降处下降h距离时，有距离时，有则杆绕质心转动所转的圈数为则杆绕质心转动所转的圈数为 例例3均匀长方形薄片的边长为均匀长方形薄片的边长为a与与b，质量为质量为m求此长方形薄片绕其求此长方形薄片绕其对角线以对角线以匀速转动时的转动惯量和角动量。匀速转动时的转动惯量和角动量。解：如图所示，坐标轴取在惯量主解：如图所示，坐标轴取在惯量主轴上，因轴上，因则转动惯量为则转动惯量为角动量为角动量为为圆锥为圆锥体与平面体与平面 例例4如图如图4.31所示，均质圆锥体的高为所示，均质圆锥体的高为h，质量为质量为m，接触接触线线同同轴轴的的夹夹角，角，质质心心C C在在圆锥圆锥体体轴线轴线上，且距上，且距顶顶点点为为，速率，速率为为。求求该圆锥该圆锥体在体在平面上作无滑平面上作无滑动滚动时动滚动时的的动能。圆锥顶角为动能。圆锥顶角为2。解：圆锥体作定点转动，解：圆锥体作定点转动，OD为转动瞬轴。所以为转动瞬轴。所以 当几何关系当几何关系,代入代入,得得 则动能则动能