四年级奥数(20211013141902)-.pdf

孩子，热爱数学吧！1 高 斯 求 和若干个数排成一列称为 数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为 末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为 公差。例如：（1）1，2，3，4，5，100（2）1，3，5，7，9，99（3）8，15，22，29，36，71 想一想：上面的数列是否是等差数列？你怎么知道的？每一列的公差是几？首项和末项分别是多少？思考与讨论：首项和末项之间有什么关系？每一列一共有几项？大家来总结：末项首项公差（项数1）项数（末项首项）公差1例 1、求等差数列 3，7，11，15，19，的第 10 项和第 25 项。例 2、在等差数列 2，5，8，11，14，中，101是第几项？例 3、在 5 和 61 之间插入七个数后，使它成为一个等差数列，写出这个数列。孩子，热爱数学吧！2 思考与讨论：怎么计算比较简便？12345 4950？12345 9899？大家来总结：等差数列的和（首项末项）项数2例 4、1234 1999 例 5、3711 99 练习：1、计算下面各题。（1）246 200 （2）171921 39（3）581114 50 （4）3101724 101 2、求首项是 5，末项是 93，公差是 4 的等差数列的和。3、求首项是 13，公差是 5 的等差数列的前30项的和。孩子，热爱数学吧！3 等差数列小练习班级：姓名：1、已知等差数列2，5，8，11，14，（1）这个数列的第 13 项是多少？（2）47 是其中的第几项？2、已知等差数列的第1 项是 12，第 6 项是 27，求公差。3、如果一个数列的第4 项为 21，第 6 项为 33，求它的第 9 项。4、求首项是 5，末项是 93，公差是 4 的等差数列的和。5、已知等差数列6，13，20，27，问这个数列前30 项的和是多少？6、71013 3740 2000369 5154 7、一个剧场设置了22 排座位，第一排有 36 个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？孩子，热爱数学吧！4 平 均 数平均数是相对于“总数”和分成的“份数”而言的。例如：全班同学的总成绩全班同学人数平均成绩几件货物的总重量货物件数平均重量一辆汽车行驶的路程所用的时间平均速度求平均数的一般公式：总数份数平均数例 1 一小组六个同学在某次数学考试中，分别为98 分、87 分、93 分、86分、88 分、94分。他们的平均成绩是多少？解法一：（988793868894）6 解法二：以 90分为“基准”，这六个数与 90 分的差分别是：8，3，3，4，2，4 那么总和 906（833424）平均数 90（833424）6 例 2 小明家先后买了两批小猪，养到今年6 月。第一批的 3 头每头重 66 千克，第二批的 5 头每头重 42 千克。小明家养的猪平均多重？想一想：（6642）2 这样算对吗？说说你的理由。例 3 一个学生计划每天做4 道数学训练题。结果星期一至三每天做3 道，星期四不做，星期五、六两天共做 13 道。那么，星期日要做几道题才能达到自己规定的要求？例 4 小敏期末考试，数学92 分，语文 90 分，英语成绩比这三门的平均成绩高 4 分。问：英语得了多少分？孩子，热爱数学吧！5 练习：1、农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12 株麦苗的高度分别为（单位：厘米）26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25 求这批麦苗的平均高度。2、一小组同学体检量身高发现其中2 人的身高是 123 厘米，另外 4 人的身高均为 132厘米。这个小组同学的平均身高是多少？3、小妹做跳绳练习，第一次跳了67 下，第二次跳了 76 下。她要想三次平均成绩达到 80下，第三次至少要跳多少下？4、五个同学期末考试的数学成绩平均94 分，而其中有三个同学的平均成绩为 92分。另两个同学的平均成绩是多少？5、小亮学游泳，第一次游了25 米，第二次游的距离比两次游的平均距离多 8 米。小亮第二次游了多少米？6、篮球队中四名队员的平均身高是182厘米，另一名队员的身高比这五名队员的平均身高矮8 厘米，这名队员的身高是多少？孩子，热爱数学吧！6 平均数小练习班级：姓名：1、三年级同学测身高，第一组10 名同学的身高分别为134，132，138，140，128，135，143，137，136，137厘米，平均身高是多少厘米？2、一班有 40个学生，二班有42 个学生，三班有 43 个学生。开学后又转来了13 个学生。怎样分才能使每班学生人数相等？3、小华 4 次数学测验的平均成绩是90 分，第 5 次得了 95 分，5 次测验的平均成绩是多少分？4、小明期中考试语文得82 分，外语得 88 分，数学得多少分使三科平均成绩才能达到 90 分？5、某班运动队中，女运动员的人数是男运动员的一半，男运动员的平均体重是41 千克，女运动员的体重是35 千克，全体运动员的平均体重是多少千克？6、五个数的平均数是30，如果把这五个数从小到大排列，那么前三个数的平均数是 25，后三个数的平均数是35，问中间的一个数是多少？7、篮球队中三名队员的平均身高是180厘米，另一名队员的身高比这四名队员的平均身高矮 3 厘米，这名队员的身高是多少？孩子，热爱数学吧！7 和 倍 问 题大小两数的和是 265，大数是小数的4 倍。大小两数各是多少？我们画图来表示：也可以画线段图。还可以这样想：大数小数 265 4个小数小数 265 想一想：265 在图和图中分别指哪部分？那么我们可以先求出小数，再求出大数。例 1 甲、乙两仓库共存粮264 吨，甲仓库存粮是乙仓库的7 倍。甲、乙两仓库各存粮多少吨？例 2 甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发，相向而行，2 时后两车相遇。已知甲车的速度是乙车速度的2 倍。甲、乙两辆汽车每时各行多少千米？例 3 甲队有 45 人，乙队有 75 人。甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队的 3 倍？例 4 妹妹有书 24 本，哥哥有书 53 本。要使哥哥的书是妹妹的书的6 倍，妹妹应给哥哥多少本书？例 5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔 20 个，而小灰兔自己又采了10 个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5 倍。问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？孩子，热爱数学吧！8 练习：1、小敏与爸爸的年龄之和是64 岁，爸爸的年龄是小敏的3 倍。小敏和她爸爸的年龄各是多少岁？2、甲、乙两桶汽油共 84 千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15 千克，那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3 倍。甲、乙两桶原有汽油多少千克？3、甲、乙两人共生产零件100 个，其中甲有 2 个零件、乙有 5 个零件不合格。已知乙生产的合格零件是甲生产的合格零件的2 倍。甲、乙各生产了多少个零件？4、团结村原有水田290 公顷，旱田 170 公顷。要把多少公顷旱田改为水田，才能使水田的公顷数比旱田的公顷数多2 倍？5、星星图书馆内，科技书是故事书的3 倍，连环画书又是科技书的2倍。已知这三种书共有 1600 本，那么每种书各有多少本？6、同学们做布花布置教室，其中红花比蓝花的4 倍多 3 朵，这两种花共做了78 朵，红花比蓝花多几朵？孩子，热爱数学吧！9 和倍问题小练习班级：姓名：1、甲、乙两个车间共有职工784人，甲车间的人数是乙车间的3 倍，两个车间各有职工多少人？2、有两堆棋子，第一堆有67个，第二堆有 53 个。问从第二堆中拿出多少个棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的2 倍？3、光明小学买来足球和篮球共30 个。已知买来足球的个数比篮球的2 倍少 3个，学校买来足球和篮球各多少个？4、爷爷、爸爸和小明共106岁，爷爷比爸爸大 26 岁，爸爸比小明大 28 岁，爷爷几岁？爸爸几岁？小明几岁？5、书架上共有 180 本图书，其中第二层是第一层的2 倍，第三层是第二层的3倍，求三层各有书多少本？6、书架上、下两层共有书150 本。如果从下层搬20 本放到上层，那么上层书的本数是下层的 2 倍，问书架的上、下层原各有书多少本？7、小明、小红、小玲共有73 块糖。如果小玲吃掉3 块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明2 块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2 倍，问三人原来各有糖多少块？孩子，热爱数学吧！10 差 倍 问 题回忆一下，解决和倍问题的时候我们用了哪些方法来思考问题？你来试试：大数与小数的差是152，大数是小数的 5 倍，大小两数各是多少？思考与讨论。例 1 王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3 倍。师徒二人一天各生产多少个零件？例 2 甲、乙两个工程队，甲队有56 人，乙队有 34人。两队调走同样多人后，甲队人数是乙队人数的3 倍。问：调动后两队各还有多少人？例 3 甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走 26 千克油，乙桶加入 14 千克油，这时，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3 倍。两桶油原来各有多少千克？例 4 小云比小雨少 20 本书，后来小云丢了5 本书，小雨新买了 11 本书，这时小雨的书比小云的书多2 倍。问：原来两人各有多少本书？例 5 甲桶的油是乙桶的5 倍。如果从甲桶取出30 千克倒入乙桶，那么两桶油的重量相等。两桶油原来各有多少？孩子，热爱数学吧！11 练习：1、一养鸡场，公鸡比母鸡少369 只，母鸡是公鸡的 4 倍。公鸡、母鸡各多少只？2、小林今年 9 岁，她爸爸今年 35 岁。小林多少岁时，他爸爸的年龄正好是他的 3 倍？3、一车间男工 26 人，女工 14 人。调走男、女工同样多的人后，男工人数是女工人数的 3 倍。剩下的男、女工各多少人？4、甲、乙两数相等。甲数加上50，乙数减去 34 后，甲数就是乙数的4 倍。原来甲、乙两数等于几？5、两根同样长的电线，第一根用去37 米，第二根用去 16 米后，第二根的长度是第一根长度的4 倍。两根电线原来有多长？6、大、小两数之差是 504。大数个位数是 0，去掉这个 0，正好是小数。大、小数各是多少？孩子，热爱数学吧！12 差倍问题小练习班级：姓名：1、暑假里，兄弟二人去池塘边钓鱼，哥哥比弟弟多钓了20 条，哥哥钓的条数又正好是弟弟的 3 倍。问兄弟俩各钓了多少条鱼？2、小明有存款 56 元，小华有存款 34 元。如果两人取出同样多的钱后，小明的存款是小华的 3 倍。问取款后两人各有存款多少元？3、参加数学兴趣小组的同学中，五年级比四年级的3 倍少 35 人，两年级的人数差是 41 人，问两年级参加数学兴趣小组的各有多少人？4、有两匹布，第一匹布的长度是第二匹布的3 倍，第一匹布剪去 850米，第二匹布剪去 50 米后，两匹布剩下的长度相等，这两匹布原来各有多长？5、甲数加上 152等于乙数，乙数加上480 等于甲数的 3 倍，问甲、乙两数各是多少？6、甲有 60 元，乙有 28 元，两人添上相等的钱后，甲的钱的 3 倍等于乙的钱的5 倍，现两人各有多少钱？孩子，热爱数学吧！13 综合训练（一）班级：姓名：1、已知等差数列2，5，8，11，14，（1）这个数列的第 13 项是多少？（2）47 是其中的第几项？2、71013 3740 3、2000369 5154 4、三年级同学测身高，第一组10 名同学的身高分别为134，132，138，140，128，135，143，137，136，137厘米，平均身高是多少厘米？5、小华 4 次数学测验的平均成绩是90 分，第 5 次得了 95 分，5 次测验的平均成绩是多少分？6、篮球队中三名队员的平均身高是180厘米，另一名队员的身高比这四名队员的平均身高矮 3 厘米，这名队员的身高是多少？孩子，热爱数学吧！14 7、甲、乙两个车间共有职工784人，甲车间的人数是乙车间的3 倍，两个车间各有职工多少人？8、有两堆棋子，第一堆有67个，第二堆有 53 个。问从第二堆中拿出多少个棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的2 倍？9、光明小学买来足球和篮球共30 个。已知买来足球的个数比篮球的2 倍少 3个，学校买来足球和篮球各多少个？10、小明有存款 56 元，小华有存款 34 元。如果两人取出同样多的钱后，小明的存款是小华的 3 倍。问取款后两人各有存款多少元？11、参加数学兴趣小组的同学中，五年级比四年级的3 倍少 35 人，两年级的人数差是 41 人，问两年级参加数学兴趣小组的各有多少人？12、有两匹布，第一匹布的长度是第二匹布的3 倍，第一匹布剪去850 米，第二匹布剪去 50米后，两匹布剩下的长度相等，这两匹布原来各有多长？孩子，热爱数学吧！15 综合训练（二）班级：姓名：1、已知等差数列3，7，11，15，19，（1）这个数列的第 25 项是多少？（2）219是其中的第几项？2、3101724 101 3、求首项是 13，公差是 5 的等差数列的前30项的和。4、一小组六个同学在某次数学考试中，分别为98 分、87 分、93 分、86分、88 分、94 分。他们的平均成绩是多少？5、五个同学期末考试的数学成绩平均94 分，而其中有三个同学的平均成绩为92 分。另两个同学的平均成绩是多少？6、小敏期末考试，数学92 分，语文 90分，英语成绩比这三门的平均成绩高6分。问：英语得了多少分？孩子，热爱数学吧！16 7、小敏与爸爸的年龄之和是64 岁，爸爸的年龄是小敏的3 倍。小敏和她爸爸的年龄各是多少岁？8、甲、乙两桶汽油共 84 千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3 倍。甲、乙两桶原有汽油多少千克？9、同学们做布花布置教室，其中红花比蓝花的4 倍多 3 朵，这两种花共做了78 朵，红花比蓝花多几朵？10、一养鸡场，公鸡比母鸡少369 只，母鸡是公鸡的4 倍。公鸡、母鸡各多少只？11、甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入 14 千克油，这时，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3 倍。两桶油原来各有多少千克？12、小云比小雨少 20 本书，后来小云丢了5 本书，小雨新买了11 本书，这时小雨的书比小云的书多2 倍。问：原来两人各有多少本书？孩子，热爱数学吧！17 和 差 问 题已知大小两数之和为324，两数之差为 152，求此两数。我们来画图：想一想：如果给小数添上152，使它和大数同样多，那么两数的和又是多少？这样的话，可以先求出什么数？如果给大数减去152，使它和小数同样多，那么两数的和又是多少？这样的话，可以先求出什么数？例 1 小军和他爸爸今年的年龄之和是42 岁，年龄之差是 26 岁。小军与他爸爸今年各多少岁？例 2 三年级一班有学生49 人，其中女生比男生少5人。这个班男、女生各多少人？例 3 哥哥今年 14 岁，妹妹今年 8 岁，当兄妹俩岁数的和是42岁时，两人各应该是多少岁？例 4 芳芳和圆圆共有图书70本，如果芳芳给圆圆 5 本，那么圆圆就比芳芳多4本。问：芳芳和圆圆原来各有图书多少本？例 5 甲的书比乙多 9 本，比丙多 2 本，乙、丙共有书47 本。问：甲、乙、丙各有多少本书？孩子，热爱数学吧！18 练习：1、水果店一天卖出苹果和梨共386 千克，梨比苹果少卖 84 千克。苹果和梨各卖多少？2、弟弟今年 15 岁，姐姐今年 20岁。当姐弟俩岁数的和是75 岁时，两人各多少岁？3、两堆石子相差16 粒，如果混在一起，那么可以重新分成数量都是28 粒的三堆。求原来两堆石子各有多少粒？4、红红和蓝蓝共有61 本书，红红给了蓝蓝5 本书，蓝蓝自己又新买了3本书，红红现在比蓝蓝少2 本书。问：两人原来各有几本书？5、甲仓库存粮比乙仓库多300 吨，比丙仓库少 100 吨，乙、丙仓库共存粮3000 吨。三个仓库共存粮多少吨？6、四年级有三个班，如果把乙班的1 名学生调到甲班，两班人数就相等，如果再把甲班 1 名学生调到丙班，丙班比乙班多2 人，问第二次调动前乙班和丙班哪个班人数多？多几人？孩子，热爱数学吧！19 和差问题小练习班级：姓名：1、南浦大桥和杨浦大桥共长3468 米，杨浦大桥比南浦大桥长14 米，两座大桥各长多少米？2、四 1 班和四 2 班平均每班植树215 棵，已知四 1 班比四 2 班多种 82 棵，求这两个班级各植树多少棵？3、两箱水果共 100 千克，如果从第一箱中取出10 千克放到第二箱里，这时第一箱比第二箱重 2 千克。这两箱水果原来各有多少千克？4、甲、乙两个学校共有 1445人，如果从乙校调 20 人到甲校，那么甲校就比乙校多 5 人，两校原有学生各多少人？5、甲、乙两队篮球比赛，结果两队总分和是96 分。如果甲队加上8 分，就比乙多 2 分，求两队各得多少分？6、某工厂将 875元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250 元，第二名比第三名多得125元，三名优秀工人各得多少元？7、把 80 米长的一条绳子分成4 段，要使后一段比前一段多4 米，那么每段各长多少米？孩子，热爱数学吧！20 数 字 谜孩子，热爱数学吧！21 巧 数 图 形 a 例 1 数一数，下列图形中各有几条线段？例 2 数一数，下图中有多少个锐角？例 3 数一数，下图中有几个三角形？例 4 数一数，下列图形中各有几个长方形？例 5 数一数，下列图形中各有多少个正方形？例 6 数一数，下面的图形中含有的长方形一共有几个？（有一个或两个都可以）孩子，热爱数学吧！22 巧 数 图 形 b 1 数一数，下面图形中一共有几条线段？几个三角形？2 数一数，下面图形中一共有几个三角形？3 数一数，下面的图形中一共有几个长方形？4 数一数，下面的图形中一共有几个三角形？有几个正方形？5 数一数，下面的图形中有几条线段？有几个三角形？孩子，热爱数学吧！23 巧数图形小练习班级：姓名：1、下图中共有几条线段，几个三角形？2、下图中有几个四边形？3、下图中共有多少个三角形？4、下图中包含“”的长方形共有多少个？5、数一数，下图中共有几个正方形？6、数一数，下图中有几个长方形？孩子，热爱数学吧！24 巧 求 周 长例 1 计算下列图形的周长（单位：厘米）例 2 求下面两个图形的周长（单位：厘米）例 3 一个正方形被分成了三个相同的长方形。如果其中一个长方形的周长是 16 米，那么这个正方形的周长是多少米？例 4 下图是由四个一样大的长方形和一个边长是4 分米的小正方形拼成的一个边长是 11分米的大正方形。每个长方形的长和宽各是多少？周长是多少？例 5 下图中共有 8 条边，分别用 a,b,c,d,e,f,g,h表示，要计算它的周长，至少要测量哪几条线段的长度？孩子，热爱数学吧！25 图 形 的 计 算 1、用 6 个边长是 2 厘米的小正方形拼成一个长方形，有几种不同拼法？哪种拼法拼成的长方形周长长？这个长方形的周长是多少厘米？2、一个正方形的边长增加10 厘米，面积就增加 1300 平方厘米，原来正方形的面积是多少平方厘米？3、一个长方形操场长50 米，扩建后长增加18 米，宽增加 15 米，扩建后操场面积增加 1740平方米。求操场原来的宽是多少米？4、已知一个长方形的周长是24 米，如果它的长和宽各增加3 米，那么面积将会增加多少平方米？5、一个正方形的纸片，在一边截去 8 厘米，在这边相邻边截去3 厘米，这样面积就减少了 196平方厘米。这个正方形纸片原边长多少厘米？6、下面是三个完全一样的正方形，请你挖去一块（必须是正方形或长方形），使剩下图形的周长（1）比原来正方形减少（2）比原来正方形增加（3）与原来正方形相等。孩子，热爱数学吧！26 包 含 与 排 除三甲班参加写作小组的有15 人，参加奥数组的有13 人。参加这两个兴趣小组的共有多少人？想一想：有几种不同的情况，你能用图来表示吗？1、把长 38厘米和 53 厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？2、某小学三甲班，参加语文兴趣小组的有28 人，参加数学兴趣小组的有29人，有 12 人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？3、一班有 45 人，其中 26 人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12 人两项比赛都参加了。一班有多少人两项比赛都没有参加？4、一次老师给全班同学做两道动脑筋的数学题，结果全班10 人全对，8 人全错，第二道有 15 人错，已知全班共42 人。问第一道对而第二道错的同学有多少人？5、四年级课外小组分数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23 人，参加语文小组的有27 人，参加外语小组的有18 人，同时参加数学、语文小组的有 4 人，同时参加语文、外语小组的有5 人，同时参加数学、外语小组的有7 人，三个小组都参加的有2 人。问这个年级参加课外小组的共有多少人？6、五年级共有 50名学生，每人至少爱好一种球类，其中爱好乒乓球的21人，爱好足球的 22 人，爱好排球的 18 人，既爱好乒乓球也爱好足球的6 人，既爱好足球也爱好排球的4 人，既爱好乒乓球也爱好排球的5 人。问三种球都爱好的有多少人？孩子，热爱数学吧！27 植 树 问 题植树节到了，同学们给一条 90米长的小路的 一旁 植树，每隔 3 米栽一棵。（1）如果两端各栽一棵，需要多少棵树？（2）如果只有一端栽树，需要多少棵树？（3）如果两端都不栽树，需要多少棵树？让我们先来举简单的例子吧：a、两端都要植：棵数段数 1b、只有一端植树：棵数段数c、两端都不植：棵数段数 1d、在封闭的路线上植树：你发现了吗？棵数段数例 1 在一段路边每隔50 米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了 10 根。这段路长多少米？例 2 街心公园一条道路长200米，在路的两旁从头到尾按相等的距离栽种菊花，共栽种了 82 棵菊花，每两棵菊花之间相距多少米？例 3 小明要到高层建筑的第11 层，他走到 5 层用了 100 秒，照此速度计算，他还需走多少秒？例 4 一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30 辆，每辆车长 4 米，前后每辆车相隔 5 米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶2 米，那么这列车队要通过 535米长的检阅场地，需要多少时间？孩子，热爱数学吧！28 想一想：植树问题和高斯求和有什么联系呢？练习：1、学校有一条长60 米的走道，计划在道路一旁栽树。每隔3 米栽一棵。（1）如果两端都各栽一棵树，那么共需多少棵树苗？（2）如果两端都不栽树，那么共需多少棵树苗？（3）如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗？2、一根 90厘米长的钢条，要锯成9 厘米长的小段，一共要锯几次？3、测量人员测量一条路的长度。先立了一个标杆，然后每隔 40 米立一根标杆。当立杆 10根时，第 1 根与第 10 根相距多少米？4、一个长 100米，宽 20 米的长方形游泳池，在离池边 3 米的外围圈（仍为长方形）上每隔 2 米种一棵树。共种了多少棵树？5、在一条长 1200 米的河堤边等距离植树（两端都要植树）。已挖好每隔6米植一棵树的坑，后要改成每隔4 米植一棵树。还要挖多少个坑？需要填上多少个坑？6、一个车队以每秒5 米的速度缓缓地通过一座210 米长的大桥，共用100秒。已知每辆车长5 米，两车之间相隔10 米，那么这个车队共有多少辆车？孩子，热爱数学吧！29 加 减 法 的 巧 算1、加法交换律：abba 2、加法结合律：abc（ab）ca（bc）3、在连减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以 带着运算符号“搬家”。如,a bcacb,abcacb 4、有小括号的，我们一起来研究：5（82）？582？所以：a(b c)abc 10(52)？10 52？，为什么得数不一样？怎样算才相等？10(52)，用字母表示这个规律。10（52）？10 52？，为什么得数不一样？怎样算才相等？10（52），用字母表示这个规律。我们来总结：在加、减混合运算中，去括号时：如果括号前面是“”，那么去掉括号后，括号内的数的 运算符号不变；如果 括号前面是“”，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“”变为“”，“”变为“”。a（bc）abc a（bc）abc a（bc）abc 在加、减混合运算中，添括号道理一样：abca（bc）a bca（bc）abca（bc）例 875 364236 1847192862813664 13482347622344824 例 512382（50012）（40018）5001240018 6854 87697 6854（1000 124）（100 3）68541000 124 100 3 孩子，热爱数学吧！30 练习：1、42 71242958 2、43（3845）（556257）3、698 784158 4、399329967994135 5、43561287356 6、526 732726 7、4253（253158）8、1457（185457）9、389 497234 10、698 154269787 11、699999699996999699696 12、200（1516）（1415）（1314）（1213）孩子，热爱数学吧！31 乘 除 法 的 巧 算乘法交换律：ab ba 乘法结合律：abc(ab)c a(bc)乘法分配律：（a b）c ac bc (ab)c acbc 商不变性质：ab(an)(b n)(n0)(am)(b m)(m 0)类似于乘法分配律：（a b）c ac bc (ab)c acbc 类似于乘法交换律：abc acb 乘除法混合运算与加减混合运算道理相通：（1）无括号：abc acb bca（2）去括号：a(bc)abc a(bc)abc a(bc)abc a(bc)abc（3）添括号：abc a(bc)abc a(bc)abc a(bc)abc a(bc)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。（ab）(c d)(ac)(bd)(ad)(bc)例 2004 25 （1004）25 125 792 425 25（182 325）13 （20461059735）3 2275 13 5 136 5 8 4032（8 9）125（16 10）孩子，热爱数学吧！32 2560（10 4）2460 5 2 527 15 5 练习：18025 137525 （1040324528）4 1125125 4505175 384128 2352（78）1200（412）1250（108）2250753 636357 （12656）（718）9945 2803636072 1999999999 28713101138213 孩子，热爱数学吧！33 找 规 律一年有春夏秋冬四季，年复一年，这就是周期性变化规律。又如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，是按照 0，1，2 三个数重复出现的，这也是周期性变化规律。例 1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5 盏红灯、再接 4盏蓝灯、再接3 盏黄灯，然后又是 5 盏红灯、4 盏蓝灯、3 盏黄灯这样排下去。问：（1）第 100盏灯是什么颜色？（2）前 150盏彩灯中有多少盏蓝灯？例 2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第 1 个数是 3，第6 个数是 6，第 11 个数是 7。问：这串数中第24 个数是几？前 77 个数的和是多少？例 3 下面这串数的规律是：从第3 个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。问：这串数中第88 个数是几？628088640448例 4 在下面的一串数中，从第五数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？135761939237134例 5 A,B,C,D四个盒子中依次放有8，6，3，1 个球。第 1 个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2 个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子当100位小朋友放完后，A,B,C,D 四个盒子中各放有几个球？孩子，热爱数学吧！34 例 1 求 67999的个位数字。例 2 求 2913291的个位数字。例 3 求 281282929的个位数字。例 4 求下列各除法运算所得的余数。78555 5553 例 5 某种细菌每时分裂一次，每次 1 个细菌分裂成 3 个细菌。20 时后，将这些细菌每 7个分为一组，还剩下几个细菌？例找规律填数。（1）4，7，10，13，（），（5）84，72，60，（），（），（2）2，6，18，（），（），（6）625，125，25，（），（），（3）1，4，9，16，（），（7）2，6，12，20，（），（）（4）3，7，10，17，27，（）（8）11，12，14，18，26，（）（9）2，5，11，23，47，（），（）（10）12，15，17，30，22，45，（），（）（11）2，8，5，6，8，4，（）,()孩子，热爱数学吧！35 数 字 谜1、将 27 这六个数字分别填入下式的中，使得等式成立。2、将 19 分别填入下式的九个内，使算式取得最大值。3、将 18 分别填入下式的八个内，使算式取得最小值。4、5、6、孩子，热爱数学吧！36 乘 法 原 理例 1 马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？先画草图，再想算式。例 2 从甲地到乙地有 2 条路，从乙地到丙地有3 条路，从丙地到丁地也有 2 条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？画图、例举、想算式。乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1 步有m1种方法，做第 2 步有m2种方法做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有Nm1m2mn中不同的方法。例 3 用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数？（各位上的数字允许重复）例 4 如下图，A,B,C,D,E 五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？例 5 求 360 共有多少个不同的约数（五年级学）。360222335 36023325 约数个数为 4 3224（个）孩子，热爱数学吧！37 练习：1、有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：有多少种不同的装束？2、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3 个字母写成三种不同颜色。现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？3、在右图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。问：共有多少种不同的放法？4、要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不同的评选结果？5、甲组有 6 人，乙组有 8 人，丙组有 9 人。从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？6、用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？孩子，热爱数学吧！38 加 法 原 理例 1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有 4 班，汽车有 3 班，轮船有 2 班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？例 2 旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同方法在第n类方法中有mn 中不同方法，那么完成这件任务共有Nm1m2mn中不同的方法。例 3 两次掷一枚 sai 子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？例 4 用五种颜色给下图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？例 5 用 1，2，3，4 这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是 1 的五位数有多少个？孩子，热爱数学吧！39 练习：1、南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果每天有 20 班火车、6 班飞机、8 班汽车和 4 班轮船，那么共有多少种不同的走法？2、光明小学四、五、六年级共订300 份报纸，每个年级至少订99 份报纸。问：共有多少种不同的订法？3、将 10 颗相同的珠子分成3 份，共有多少种不同的分法？4、在所有的两位数种，两位数码之和是偶数的共有多少个？5、用五种颜色给下图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？6、用 1，2，3 这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是 2 的有多少个？孩子，热爱数学吧！40 简 易 方 程含有未知数的等式叫方程。如：518 35 8 5 530 46 3612 6（2）24 （4）23 5 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。例 393183393 3（）18（）6 （）练习：3.2 4.6 1.8 4 215 1.6 6.4 70.3 32.1 解下列方程。0.3 1.8 3 5.4 1.5 4 67.6 51.5 0.26 1.1 3 515 稍复杂的方程。例2204 练习：3618 1684022020420 224 22242 2 7.5 8.5 43929 12 孩子，热爱数学吧！41 接着做完：例22.8 210.4例（2.8）210.4（2.8）2210.4 2 2.8 5.2 练习：8（6.2）41.6 5（1.5）17.5 （3）27.5 例 2.4 5.1练习：13.2933.3 83105（12.4）5.1 3.45.1 3.4 3.4 5.1 3.41.5 5.4 12.8 0.3616 解方程综合练习：4.8 7.2 80.4 3（2.1）10.5 6.5 3.2 61848 1298.7 2.5 14 3.44826.8 4225134 7.9 2.6 29734.2 13（5）169 孩子，热爱数学吧！42 年 龄 问 题年龄问题的主要特点是：二人年龄的差保持不变，它不随岁月的流逝而改变；二人的年龄随着岁月的变化，将增或减同一个自然数；两人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化，年龄越大，倍数越小。解答年龄问题的主要方法：画线段图方程解1、儿子今年 10岁，5 年前母亲的年龄是他的6倍，母亲今年多少岁？2、今年爸爸 48岁，儿子 20 岁，几年前爸爸的年龄是他的5 倍？3、兄弟二人的年龄相差5 岁，兄 3 年后的年龄为弟 4 年前的 3 倍。问：兄、弟二人今年各多少岁？4、今年兄弟二人年龄之和为55 岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2 倍，请问哥哥今年多少岁？5、哥哥 5 年前的年龄与妹妹4 年后的年龄相等，哥哥 2 年后的年龄与妹妹8 年后的年龄和为 97 岁，请问二人今年各多少岁？6、1994 年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4 倍。2000年，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2 倍。问：父亲出生在哪一年？7、今年爷爷 78岁，长孙 27 岁，次孙 23 岁，三孙 16 岁。问：几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和？孩子，热爱数学吧！43 鸡 兔 同 笼主要方法：假设法方程解例 1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16 个，数脚有 44 只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？解法一：假设 16 只都是鸡，那么脚有 2 1632（只）实际脚有 44 只，相差 44 3212（只），想一想是什么原因呢？对了，我们把兔当成了鸡，每只兔少算了422（只）脚，所以，1226（只），这里的 6 只表示什么只数呢？综合式：兔（44216）（42）6（只）鸡 16 610（只）解法二：设鸡有只，那么兔有（16）只。2 4（16）44 2 416444 64244 2020 10 兔有 16 16106 例 2 100 个和尚 140 个馍，大和尚 1 人分 3 个馍，小和尚 1 人分 1 个馍。问：大、小和尚各有多少人