全国大学生数学建模竞赛2004优秀论文：C、D题().pdf

C 题之一（全国一等奖）酒精在人体内的分布与排除优化模型桂林工学院，袁孟强，王哲，张莉指导教师：数模辅导组摘要：酒精进入机体后，随血液运输到各个器官和组织，不断的被吸收，分布，代谢，最终排除体外。为了研究酒精在体内吸收，分布和排除的动态过程，以及这些过程与人体反应的定量关系，本文建立了一个酒精在人体内的分布与排除优化模型，在药物动力学的一室模型的基础上，进行优化，改进，分别建立了酒精在人体内分布的房室模型 和房室模型 ，以及酒精在人体内的静态排除模型 和动态排除模型 ，导出模型的体液酒精浓度的状态函数，用常数交叉拟合方法，采用 VB编写程序，得到两个重要系数01k 和10k。根据此模型，计算的体液酒精浓度理论值与实验值十分相符，并很好地解释了给出的所有问题，得到一些有价值的结论。关键词：房室模型，排除模型，体液酒精浓度，动态和静态的转换酒精在人体内的分布与排除优化模型一、问题的重述国家质量监督检验检疫局2004 年 5 月 31 日发布了新的 车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于 80 毫克百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100 毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80 毫克百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100 毫克百毫升）。大李在中午12 点喝了一瓶啤酒，下午6 点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2 点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1.对大李碰到的情况做出解释；2.在喝了3 瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1）酒是在很短时间内喝的；2）酒是在较长一段时间（比如2 小时）内喝的。3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。4.根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。参考数据1.人的体液占人的体重的65%至 70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。2.体重约 70kg 的某人在短时间内喝下2 瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到数据如下(表 1)：时间(小时)0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 酒精含量30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 时间(小时)6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 酒精含量38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4 二、模型假设1、酒精的转移速率，及向体外排除的速率，与该室的血酒浓度成正比。2、酒精的转移速率，及向体外的排除速率，与时间有关，与空间（人体的各个部分）无关。3、中心室与体外有酒精交换，及酒精从体外进入中心室，最后又从中心室排出体外。与转移和排除的数量相比，酒精的吸收可以忽略。三、模型建立与求解房室模型（在短时间内喝下酒精量为0D）在短时间内喝下酒精量为0D，酒精进入胃，人体吸收酒精，然后排除出体外。吸收酒精的过程相当于酒精进入体液（中心室）的过程，全过程可以简化为下图：）（txkf0010)(110txkfout排除体外建模过程：0D短时间内进入胃的酒精；01k为胃室（吸收室）进入中心室的转移速率系数（由人体机能确定的常数）；)(0tx是 t 时刻胃室的酒精；其微分方程为：0000100Dxtxktx（）)(1tx是 t 时刻进入中心室的酒精，其微分方程为：tVctxtftxktx1101101（2）酒精进入中心室的速率为：)(0010txkf（3）将方程（1）的解代入（3）得：tkekDtf010100（4）房室模型（在较长一段时间内喝酒）假设在较长的一段时间内喝下的酒是匀速进入胃室，则简化如下图：inf常数）（txkf0010)(110txkfout胃室)(0tx中心室)(1tx中心室)(1tx排除胃室)(0tx建模过程：inf为酒精进入胃的速率：tDfin0,t为喝酒时间。outf为酒精从中心室排除体内的速率0f 为酒精进入中心室的速率01k 为胃室进入中心室的转移速率（由人体机能确定的常数）10k 为是酒从中心室向外排除的速率系数。)(0tx是 t 时刻胃室的酒精，微分方程为：00)(00010 xftxktxin（5）)(0010txkf（6）)(1tx是 t 时刻进入中心室的酒精将方程（5）的解代入（6）得：tkinekftx011010（7）tkineftf0110（8）静态排除模型与房室模型 I 配套的静态酒精排除模型)(1tc中心室的血酒浓度；V人体体液量和人体血液量；酒精进入中心室的速率：tkekDtf010100)(1tx中心室的酒精量；微分方程为：tVctxtftxktx1101101（9）10k酒精从中心室向体外排除的速率系数（由人体机能确定的常数）由方程（9）得：Vtftcktc01101（10）对应的通解为：cdteVtfetctktk101001微分方程的解为：cdteVtfetctktk101001cdteVkDetkktk011010010cekkeVkDtkktk01101001100101tktkceekkVkD100101100101令0)0(1c得：10011kkc.tktkeekkVkDtc1001011001011.根据参考数据表 1，已知：短时间内进入胃的酒精0D,人体体液量 V 和一批实验数据（it，)(1itc）(231i)。用交叉常数拟合原理在VB环境中编写程序2，利用该程序算出两个重要系数01k 和10k，给出模型的状态函数.若初始值设为)0(00cc，则011001001kkkDVcctktktkececekkVkDtc10010100011001011动态排除模型 与房室模型配套建立动态酒精排除模型.)(1tc中心室的血酒浓度；V人体体液量和人体血液量；酒精进入中心室的速率：tkineftf0110)(1tx中心室的酒精量；微分方程为：tVctxtftxktx1101101（11）tVctx11（12）10k酒精从中心室向体外排除的速率系数（由人体机能确定的常数）.由方程（11）得：Vtftcktc01101（13）对应的通解为：cdteVtfetctktk101001.将0)0(1c及tkineftf0110代入得：tktkinekkkekkkVftc100110011001101011111（240t）（14）四、酒过程的描述1、在短时间内喝下酒精量为0D用静态排除模型 描述：tktkeekkVKDtc1001011001011.2、在较长一段时间内喝酒0D用动态排除模型 描述喝酒的过程，用静态排除模型 描述酒后的过程.即先用状态函数tktkinekkkekkkVftc100110011001101011111描述喝酒的过程，然后用状态函数描述酒后的过程.3、天天喝下酒精量为0D用动态排除模型 描述第一天喝酒（喝一小时）的过程，用静态排除模型 描述酒后 23 小时内的的过程，用动态排除模型 描述第二天喝酒（喝一小时）的过程，用静态排除模型 描述第二天酒后 23 小时内的的过程，再用动态排除模型 描述第三天喝酒（喝一小时）的过程，用静态排除模型 描述第三天酒后 23 小时内的的过程,tktkinekkkekkkVftc100110011001101011111第一天tktkceekkVkD100101100101第二天tktkeekkVKDtc1001011001011tktkinekkkekkkVftc100110011001101011111第二天tktkceekkVkD100101100101第三天,五、参数的选择一瓶啤酒的酒精量4：)24192%8.4(8.0)(6300mgmlD（）比重.人体体液：）（）（百毫升比重体重4301.1%5.67)(701kgV速率系数5：2.083.11001kk两小时内慢慢喝下两瓶啤酒的输入率：hmgfin241922224192六、拟合效果.中心室中酒精含量（毫克百毫升）浓度状态函数)(1tc拟合效果图效果图显示拟合程度极高，说明参数的选择与客观情况相符合.七、问题分析问题 1 的分析：大李在中午喝了一瓶啤酒下午6 点检查时，利用静态排除模型：.;1110001100101011001tVctxeDtxceekkVkDtctktktk；.6.5483)6(1.81801)6(/20/0234.19)6(101毫克毫克；百毫升（标准）；毫克百毫升毫克xxc由浓度状态函数在6t时的浓度：200234.19)6(1c,可知大李此时符合新的驾车标准.紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2 点才驾车回家.检测时距晚饭喝的那瓶啤酒已过了八小时，其胃中酒精及体液中的酒精含量分别为：毫克）；毫克）；百毫升（标准）；毫克(33.89888(6.54838x/209031.208101xc由浓度状态函数百毫升（标准）毫克/209031.20)8(1c可知，检查时被定为饮酒驾车.之所以被定为饮酒驾车，关键是此时方程Vtftcktc01101中的初始条件0234.1901c而不是第一次喝酒的001c.问题 2 的分析：在很短时间内喝了3 瓶啤酒,问多长时间内驾车就会违反新的驾车标准.根据静态排除模型：3 瓶啤酒的酒精量：毫克）(725760D；浓度状态函数为tktkeekkVkDtc1001011001011.代入数据得：tteetc83.120.0149076.189.（15）若违反新的驾车标准,则：百毫升毫克201tc,根据人体体液酒精浓度曲线图可知，喝酒后约在t=0.07 小时（42 秒）与 t=11.24 小时之内驾车会违反新标准。将 t=0.07，t=11.24 分别代入方程（15）检验得出：200122.2024.11201490.2007.011cc通过验证，证明观测值基本接近实际值。问题 3 的分析：在较长一段时间（比如 2 小时）内喝 3 瓶啤酒，多长时间内驾车就会违反新标准.假设匀速喝酒，则tDfin0此过程分两阶段：（1）在喝酒过程中，多少时间后驾车会违反新标准。（2）喝酒之后，多长时间内驾车会违反新标准。根据动态模型：tktkinekkkekkkVftc100110011001101011111tktkekkkekkktVD100110010101101001111（16）（1）由人体体液酒精浓度曲线观测出：当 t（20t）大于 0.62 小时（约37.2分 钟）时，体 液 酒 精 浓 度 大 于201tc毫 克，把 已 知 酒 精 数 据）（毫克725760D，2.0,83.11001kk，），（百毫升430V代入方程（15）检验得：20125.2062.01c通过数据验证，证明观测值基本接近实际值。（2）由阶段（1）的已知数据算出，当 t=2 小时（即停止喝酒时）人体酒精为：百毫升毫克7371.10521c此时，根据胃里剩余的酒精方程：tkeDtx0100得出：)(38638)2(0mgx以 2 小时作为零时刻，设状态初始值为0c,则取210cc，此时静态排除模型为：tktkekkkDVcekkVkDtc10010110010101100101121根据此模型，可得曲线：可观测出：当201tc时，t(t2)的值约在 11.67 附近。再将 t=11.67 代入tc1进行检测得：0228.2067.111c（毫克/百毫升）通过数据验证，证明观测值基本接近实际值。结论：若连续 2 小时均匀喝下 3 瓶啤酒，则在 0.62 与 13.67 小时之内驾车会违反新标准。问题 4 的分析：估算出血液中酒精含量何时达到峰值。最高值的估计要分两种情况讨论：一段时间喝完）据动态排除模型（很长喝完的情况）据静态排除模型（一次1、据静态排除模型（一次喝完的情况）酒精进入机体之前，胃里的酒精浓度为0，当喝酒后，胃里的酒精浓度逐渐增大，因为存在着酒精进入中心室的过程，根据人体机理可知，outinff。当胃里的酒精浓度等于中心室的酒精浓度时，outinff，此时血液中酒精含量达到最高值。由静态排除模型得：tktkeekkVkDtc1001011001011若要使tc1的值达到最高，则要求01tc即：01001100101100101tktkekekkkVkDtc代入已知数据得：tteDeDtc2.0083.1019.700366.043063.183.183.1)(算出：t=1.36 小时即：喝酒 1.36小时后，血液中酒精含量最高。（1）根据动态排除模型（酒是在很长一段时间内喝完）喝酒时，由于酒量在不断的增加，根据人体机理可知，胃中的酒精浓度始终是大于中心室的酒精浓度，即outinff，易知血液中的酒精浓度tc1是一个递增的函数。那么在这阶段中，血液的酒精含量的最高值为停止喝酒时血液中的酒精含量。运用动态排除模型：tktkinekkkekkkVftc100110011001101011111可计算出最值。喝完酒后，胃中的酒精浓度仍然大于中心室的酒精浓度，此时，outinff.随着时间的推移，胃中的酒精浓度在不断的减少，而血液的酒精浓度不断增加，这就使得当outinff时，血液的酒精浓度达到最高值（即01tc），若代入具体数据就可算出最大值。问题 5 的分析：根据我们建立的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？天天喝一瓶酒的数学模型见图一个人天天喝酒，如果每天只喝一瓶啤酒第二天即12 个小时后体内的血酒浓度tc1远远小于 20 毫克/百毫升所以仍能开车；天天喝两瓶酒的数学模型见图：一个人天天喝酒，如果每天只喝两瓶啤酒第二天即12 个小时后体内的血酒浓度tc1远远小于 20 毫克/百毫升所以仍能开车；天天喝三瓶酒的数学模型见图：如果每天喝三瓶啤酒，12 小时后体内的血酒浓度为18.920 毫克/百毫升，比新的国家标准低但很接近，此时仍可以开车却比较危险附表（1）如下：一瓶啤 酒的酒精 含量24192(mg)两瓶啤酒的酒精含量48384(mg)三 瓶啤酒的 酒精含量72576(mg)四 瓶啤酒的 酒精含量96768(mg)五 瓶 啤酒 的 酒精含量120960(mg)12 5.7301 12.6 18.9 25.2 28.604 24 0.5198 1.396 1.5595 2.0793 2.5991 注：据资料表明人体酒精浓度达到200(毫克/百毫升)300(毫克/百毫升)会使人昏迷,一般人喝五瓶啤酒（含酒精量 120960毫克）后，（据静态排出模型）在一小时左右浓度达到213.6729 毫克/百毫升已使人昏迷,因而研究五瓶啤酒以上的酒精量已没有意义。结论：每天喝三瓶以下的啤酒第二天不违反新的国家标准仍可以开车，而喝四瓶到五瓶就不能再开车了，五瓶以上大多数人都会昏迷摄入的酒精量体内的血酒浓度tc1时间(t)问题 6 的分析：通过以上论述，特给爱喝点酒的司机提个醒，希望他们能平安。科学研究表明，人体内每百毫升血液中酒精含量达到20 毫克，会出现头晕脑胀、兴奋健谈；达 60 80 毫克时，感情容易冲动，步态不稳；达120160毫克时，神经进入抑制状态，开始昏睡；达200400 毫克时，意识朦胧，呈木僵状态，如果达 400500 毫克时，就可能导致脑损伤和呼吸麻痹，从而死亡。根据状态函数与静态排除模型的分析方法可得出：喝完一瓶啤酒经 5.74 小时后，血液的酒精浓度仍为20.0383，超过新的驾车标准，为了安全，建议司机饮酒八小时后驾车。.喝完两瓶啤酒经 9.2 小时后，血液的酒精浓度仍为20.063，饮酒的司机在 11小时内不宜驾车。喝完四瓶啤酒经 12.66 小时后，血液的酒精浓度仍为20.086，饮酒的司机在14 个小时内不宜驾车。综上所述，为安全起见，对于爱饮酒的司机，每天的饮酒量不宜超过两瓶啤酒。若饮酒量超过四瓶，第二天司机不宜驾车。八、模型评价1、本模型绘出状态函数后，极好的解决了喝酒过程的全程数学描述，定量的解决了所提出的问题。2、本模型微分方程的待定系数求解方案没有利用现成的方法。而是自行编程解决，给此类模型提供了一个利用的程序。3、本模型通俗易懂，为大学生所接受，但反复运用状态函数，很有特色，尤以初值问题多次循环反复，妙用至极。4、有了本模型，人们对喝酒过程有一个较为精确的定量认识。从事有一定危险工作的人们应该如何正确的喝酒的依据。5、本模型可推广到有毒物质在人体的分布与排除。这对在有毒物场所工作的人起到一定的提醒作用。参考文献：1、ISBN 7-04-004505-2 姜启源，数学模型（第二版），北京：高等教育出版社，1993年 8 月2、ISBN 7-04-011943-9 徐全智 杨晋浩，数学建模，北京：高等教育出版社，2003年七月输入，D，V，M，t，N，1001,KKKKi=1 011000111001()()()IIKtKtiD Kc teeV KKiN i=i+1 1()()()iiic tM tM ti=1 开始iN i=i+1 输出结果10011,()iKKc t101010KKK100K010101KKK010K1010KKK1010010122KKKKKKKK10011001KKKKKK附件常数拟合流程图Y N N N Y Y Y N N 说明：是精度，D 是酒精量，V 是人体体液量，M 是实验的酒精含量数据，t 是实验的时间数据，1001,KKKK是代定常数初值，是步长值。源程序Dim T(23)As Single 实验值，时间（小时）Dim M(23)As Integer 酒精含量Private Sub Form_Load()T(1)=0.25 T(2)=0.5 T(3)=0.75 T(4)=1 T(5)=1.5 T(6)=2 T(7)=2.5 T(8)=3 T(9)=3.5 T(10)=4 T(11)=4.5 T(12)=5 T(13)=6 T(14)=7 T(15)=8 T(16)=9 T(17)=10 T(18)=11 T(19)=12 T(20)=13 T(21)=14 T(22)=15 T(23)=16 M(1)=30 M(2)=68 M(3)=75 M(4)=82 M(5)=82 M(6)=77 M(7)=68 M(8)=68 M(9)=58 M(10)=51 M(11)=50 M(12)=41 M(13)=38 M(14)=35 M(15)=28 M(16)=25 M(17)=18 M(18)=15 M(19)=12 M(20)=10 M(21)=7 M(22)=7 M(23)=4 End Sub Public Function C1(ByVal D0 As Single,ByVal V As Double,ByVal K01 As Single,ByVal K10 As Single,ByVal T As Single)As Single C1=D0*K01*(Exp(-K01*T)-Exp(-K10*T)/V/(K10-K01)End Function Private Sub cmdOK_Click()Const N=23 Const nStep=0.01 如果设得太小，计算时间会很长。当然，精确度会更高。Dim i As Integer Dim MaxK01 As Single Dim MaxK10 As Single Dim initK01 As Single Dim D0 As Single Dim V As Double Dim K01 As Single Dim K10 As Single Dim Ei As Single Dim IsPass As Boolean Dim nTimer As Single txtV.Text=Trim(txtV.Text)If Not IsNumeric(txtV.Text)Then MsgBox 请输入数值。,vbOKOnly+vbInformation,数据拟合 txtV.SetFocus Exit Sub End If If txtV.Text=0 Then MsgBox 请输入大于0 的数值。,vbOKOnly+vbInformation,数据拟合 txtV.SetFocus Exit Sub End If txtD0.Text=Trim(txtD0.Text)If Not IsNumeric(txtD0.Text)Then MsgBox 请输入数值。,vbOKOnly+vbInformation,数据拟合 txtD0.SetFocus Exit Sub End If If txtD0.Text=0 Then MsgBox 请输入大于0 的数值。,vbOKOnly+vbInformation,数据拟合 txtD0.SetFocus Exit Sub End If txtK01.Text=Trim(txtK01.Text)If Not IsNumeric(txtK01.Text)Then MsgBox 请输入数值。,vbOKOnly+vbInformation,数据拟合 txtK01.SetFocus Exit Sub End If If txtK01.Text=0 Then MsgBox 请输入大于0 的数值。,vbOKOnly+vbInformation,数据拟合 txtK01.SetFocus Exit Sub End If txtK10.Text=Trim(txtK10.Text)If Not IsNumeric(txtK10.Text)Then MsgBox 请输入数值。,vbOKOnly+vbInformation,数据拟合 txtK10.SetFocus Exit Sub End If If txtK10.Text=0 Then MsgBox 请输入大于0 的数值。,vbOKOnly+vbInformation,数据拟合 txtK10.SetFocus Exit Sub End If txtE.Text=Trim(txtE.Text)If Not IsNumeric(txtE.Text)Then MsgBox 请输入数值。,vbOKOnly+vbInformation,数据拟合 txtE.SetFocus Exit Sub End If If txtE.Text=0 Then MsgBox 请输入大于0 的数值。,vbOKOnly+vbInformation,数据拟合 txtE.SetFocus Exit Sub End If txtTime.Text=Trim(txtTime.Text)If Not IsNumeric(txtTime.Text)Then MsgBox 请输入数值。,vbOKOnly+vbInformation,数据拟合 txtTime.SetFocus Exit Sub End If If txtTime.Text=0 Then MsgBox 请输入大于0 的数值。,vbOKOnly+vbInformation,数据拟合 txtTime.SetFocus Exit Sub End If On Error GoTo Err1 txtC1.Text=txtC1.Refresh txtK01v.Text=txtK01v.Refresh txtK10v.Text=txtK10v.Refresh D0=txtD0.Text V=txtV.Text MaxK01=txtK01.Text MaxK10=txtK10.Text Ei=txtE.Text initK01=MaxK01 K01=MaxK01 K10=MaxK10 nTimer=Timer Me.MousePointer=11 While Timer-nTimer 0 K01=MaxK01 While K01 0 IsPass=True For i=1 To N If K01=K10 Then IsPass=False Exit For End If If Abs(C1(D0,V,K01,K10,T(i)-M(i)/M(i)=Ei Then IsPass=False Exit For End If Next i If IsPass=True Then GoTo Pass:Else K01=K01-nStep End If Wend K10=K10-nStep Wend MaxK01=MaxK01+1 MaxK10=MaxK10+1 K01=MaxK01 K10=MaxK10 End If While K10 MaxK10-1 K01=MaxK01 While K01 0 IsPass=True For i=1 To N If K01=K10 Then IsPass=False Exit For End If If Abs(C1(D0,V,K01,K10,T(i)-M(i)/M(i)=Ei Then IsPass=False Exit For End If Next i If IsPass Then GoTo Pass:Else K01=K01-nStep End If Wend K10=K10-nStep Wend While K10 0 K01=MaxK01 While K01 MaxK01-1 IsPass=True For i=1 To N If K01=K10 Then IsPass=False Exit For End If If Abs(C1(D0,V,K01,K10,T(i)-M(i)/M(i)=Ei Then IsPass=False Exit For End If Next i If IsPass Then GoTo Pass:Else K01=K01-nStep End If Wend K10=K10-nStep Wend If K10=d-p)cj(i)=4-j;else j=j+1;cj(i)=4-j;d=d-p;end end%a=4 4 3 3;4 3 4 2;3 4 1 2;4 3 3 3;3 4 3 2;3 1 4 3;4 3 2 3;3 4 4 2;3 3 4 3;1 3 4 2;1 2 3 4;4 3 2 4;3 2 1 4;1 3 4 3;4 3 2 3;3 4 3 2;a=a,cj;d(1:7)=0;b=3 4 2 4;4 3 3 2;4 3 3 2;2 2 4 4;2 2 4 4;2 3 3 4;2 3 3 4;b=b,d;%下面的程序求应聘者与部门要求的能力的相对差距矩阵t1(1:7,1:5)=0;for i=1:16 for j=1:7 t1(j,:)=a(i,:)-b(j,:);t(i-1)*7+j,:)=t1(j,:);end end a=t;%tt1(1:112)=0;tt2(1:112)=0;for j=1:112 for i=1:5 if i=0 tt1(j)=tt1(j)+landa2*a(j,i);else tt2(j)=tt2(j)+landa2*abs(a(j,i);end else if a(j,i)=0 tt1(j)=tt1(j)+landa1*a(j,i);else tt2(j)=tt2(j)+landa1*abs(a(j,i);end end end end d(1:16,1:7)=0;for i=1:16 for j=1:7 d(i,j)=tt1(i-1)*7+j);end end d1=d;d(1:16,1:7)=0;for i=1:16 for j=1:7 d(i,j)=tt2(i-1)*7+j);end end d2=d;d=d1-d2%上面的程序求应聘者与部门要求的能力的差距矩阵!下面是 Lingo 程序，求解招聘方案的解。!d2004.lg4 MODEL:SETS:w/1.16/:c;v/1.7/:d;