数学建模期末试卷A及答.pdf

1（10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。（1）模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求,收集各种必要的信息。(2）模型假设：为了利用数学方法,通常要对问题做出必要的、合理的假设,使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。（3）模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。4）模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设.（5）模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。(6）模型检验：分析所得结果的实际意义,与实际情况进行比较，看是否符合实际,如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模,不断完善.(7）模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益,在应用中不断改进和完善。2(10 分)试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数,销售速率为常数,。在每个生产周期内，开始一段时间（)边生产边销售，后一段时间()只销售不生产,存贮量的变化如图所示。设每次生产开工费为，每件产品单位时间的存贮费为，以总费用最小为准则确定最优周期，并讨论和的情况。单位时间总费用，使达到最小的最优周期。当时,，相当于不考虑生产的情况；当时，,因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。3(10 分）设表示时刻的人口,试解释阻滞增长（Logistic）模型中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。时刻；-时刻的人口数量;-人口的固有增长率；自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；初始时刻的人口数量人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用.且阻滞作用随人口数量增加而变大，从而人口增长率是人口数量的的减函数.假设为的线性函数：，其中，称为人口的固有增长率,表示人口很少时（理论上是)的增长率.当时人口不再增长，即增长率,代入有，从而有,根据 Malthus 人口模型，有4（25分）已知 8 个城市 v0,v1，v7之间有一个公路网（如图所示)，每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间(1）设你处在城市v0，那么从 v0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短？（1）到其它各点的最短路如下图：各点的父点如下：v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v0 v0 v0 v2 v3 v0 v5 v3 各点的最短路径及最短路长分别为：v0：0 v0v1:1 v0v2:2 v0v2v3:3 v0v2v3v4:6 v0v5:4 v0v5v6:6 v0 v2 v3v7:9（2)最小生成树如下图：7（10 分）有 12 个苹果，其中有一个与其它的11 个不同，或者比它们轻，或者比它们重,试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。先把苹果编号1 12，把 14 和 58 放在天平两边：（1）两边持平:就在 912 中，再把9 和 10 放在天平两边,再平就在11 或 12 中，若 9和 10 不平,则在 9 或 10 中;（2)两边不平:假设 1234 重 5678 轻，则进行第二次称量125 和 349;若平了就在678中且是轻的,再称 6 与 7 即可；若 125 重 349 轻则在 12 中且是重的，再称 1 与 2 即可；若125 轻 349 重，则坏的是5.某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50 元/个，椅子销售价格30 元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4 小时,油漆工 2 小时。生产一个椅子需要木工3 小时,油漆工 1小时。该厂每个月可用木工工时为120 小时，油漆工工时为50 小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）（10）解：（1）确定决策变量：x1=生产桌子的数量 x2=生产椅子的数量（2）确定目标函数:家具厂的目标是销售收入最大maxz=50 x1+30 x2（3）确定约束条件：4x1+3x2120（木工工时限制）2x1+x2 50(油漆工工时限制）（4）建立的数学模型为：maxS=50 x1+30 x2s.t。4x1+3x2 120 2x1+x250 x1,x2 0