2017年全国高中数学联赛模拟试题02.pdf
.-2017全国高中数学联赛模拟试题02 一、填空题每题8 分，共 64 分1.在如下列图所示的正方体DCBAABCD中，二面角CBDA等于用反三角函数表示2.如果三角形ABC的三个角CBA,满足CBAcot,cot,cot依次成等差数列，那么角B的最大值是3.实数列na满足条件：)2(2,12,12211121naanaaaannnn，那么通项公式na)1(n。4.21,FF是椭圆)0(2222babyax的两个焦点，P为椭圆上任意一点，如果21FPF的面积为1，,2tan,21tan1221FPFFPF那么a5.在同一直角坐标系中，函数)0(4)(aaxxf与其反函数)(1xf的图像恰有三个不同的交点，那么实数a的取值围是6.正实数12,na aa与非负实数12,nb bb满足(1)1212nnaaabbbn;(2)121212nna aab bb，那么121212nnnbbba aaaaa的最大值为 _7.20块质量为整数克的砝码可称出1,2,2014克的物品，砝码只能放在天平一端，那么最大砝码质量最小值为_克8.设)1()(xxxg是定义在区间1,0上的函数，那么函数)(xxgy的图像与x轴所围成图形的面积是二、简答题本大题共3 小题，共56 分9.16 分设数列na的前n项和nS组成的数列满足)1(796221nnnSSSnnn，,5,121aa求数列na的通项公式。10.20分设,3,2,1xxx是多项式方程011103xx的三个根。1,3,2,1xxx都落在区间)5,5(之中，求这三个根的整数局部；2证明：123arctanarctanarctan4xxx11.20分 如 下 列 图，椭 圆)1,0(),0,2(,14:22BAyx是 椭 圆上 的 两 点，直 线)0,0)(,(.1:,2:000021yxyxPylxl是上的一个动点，3l是过点P且与相切的直线，EDC,分别是直线1l与2l，2l与3l，1l与3l的交点，求证：三条直线BEAD,和CP共点。.-优选2017全国高中数学联赛模拟试题02 一、填空题每题8 分，共 64 分1.在如下列图所示的正方体DCBAABCD中，二面角CBDA等于解：1arccos32.如果三角形ABC的三个角CBA,满足CBAcot,cot,cot依次成等差数列，那么角B的最大值是解：3.记CzByAxcot,cot,cot，那么2yxz.由于,x y z至多一个负数，故0y，且1xyzxy.即1xyyzzx.消去z后，得到222(12)0 xxyy，方程有实根，所以21240y，故3cot3By即3B且3ABC时等号成立3.实数列na满足条件：)2(2,12,12211121naanaaaannnn，那么na)1(n解：12n.计算前几项可以猜出结果，再用数学归纳法可以证明.4.21,FF是椭圆)0(2222babyax的两个焦点，P为椭圆上任意一点，如果21FPF的面积为1，,2tan,21tan1221FPFFPF那么a解：152.不妨假定12(,0),(,0)(0),FcFcc设00(,)P xy.那么1F P的斜率为112k，2F P的斜率为22k，因此002xcy，002()yxc解得0054,33xc yc又12204=13PF FScyc，所以32c，点5 3 2 3(,)63P.从而12215aPFPF，所以152a5.设)1()(xxxg是定义在区间1,0上的函数，那么函数)(xxgy的图像与x轴所围成图形的面积是.-优选6.正实数12,na aa与非负实数12,nb bb满足(1)1212nnaaabbbn;(2)121212nna aabbb，那么121212nnnbbba aaaaa的最大值为 _解：12.由均值不等式知:112211221nnnnnababababababn,于是12121231231231nnnnna aabbbb a aaa b aaa a ab,即1212121 212112nnnnnbbba aaa aabbbaaa.取1212111,0,2nnnaaabbbb满足条件,且取到最大值.7.20块质量为整数克的砝码可称出1,2,2014克的物品，砝码只能放在天平一端，那么最大砝码质量最小值为 _克解：147.设这 20块砝码质量为1220aaa.首先用归纳法证明:12(11)kkak.1 当1k时,显然,2设结论对1,2,kn成立，假设12(10)nnan，那么由11212221nnnaaa知2n克的物品无法称量，矛盾！于是，7128122255aaa，所以9102020142551759aaa，所以20175914612a，即20147a，又当12(8)kkak，91020147aaa时，符合条件，故最小值为147克8.在同一直角坐标系中，函数)0(4)(aaxxf与其反函数)(1xf的图像恰有三个不同的交点，那么实数a的取值围是.-优选二、简答题本大题共3 小题，共56 分9.16 分设数列na的前n项和nS组成的数列满足)1(796221nnnSSSnnn，,5,121aa求数列na的通项公式。.-优选10.20 分设,3,2,1xxx是多项式方程011103xx的三个根。1,3,2,1xxx都落在区间)5,5(之中，求这三个根的整数局部；2证明：123arctanarctanarctan4xxx.-优选11.20分 如 下 列 图，椭 圆)1,0(),0,2(,14:22BAyx是 椭 圆上 的 两 点，直 线)0,0)(,(.1:,2:000021yxyxPylxl是上的一个动点，3l是过点P且与相切的直线，EDC,分别是直线1l与2l，2l与3l，1l与3l的交点，求证：三条直线BEAD,和CP共点。.-优选解答三：利用赛瓦定理2015全国高中数学联赛模拟试题02 一此题总分值40 分对任意实数,a b，定义运算“为：2abab在直角坐标系中，设点集(,)|03,02,(2)2(2)2 Axyxyxyyx，求A所对应的平面区域的面积.-优选PSHMACB二此题总分值40 分如图，在ABC中，ABAC，H为ABC的垂心，M 为边BC 的中点，点S在边BC上且满足BHMCHS，点A在直线HS上的射影为P.证明：MPS的外接圆与ABC的外接圆相切.三此题总分值50 分整数,a b c d满足1adbc.求2222abcdabcdacbdbc的最小值,并求出一切到达最小值的四元数组,a b c d四此题总分值50 分设整数2n,0,1,1Gn，,A BG，对xG，记()ABfx为满足(mod)abxn，aA，bB的数组(,)a b的个数，类似定义()AAfx，()BBfx.证明：2()()()ABAABBx Gx Gfxfxfx.-优选2015全国高中数学联赛模拟试题02 一此题总分值40 分对任意实数,a b，定义运算“为：2abab在直角坐标系中，设点集(,)|03,02,(2)2(2)2 Axyxyxyyx，求A所对应的平面区域的面积解：根据运算“的定义，2x为整数，进而(2)22(2)2 xyxy2(2)2xy22 22 xy2 2 22 2 2 xyxy，其中,xy表示,x y的小数局部同理可知(2)22 2 22 2 2 yxyxyx比拟、可知，(2)2(2)2xyyx当且仅当22 2 2 22 2 2 xyyx由于2,2 0,1xy，而22 2 x与222 y均是偶数，故上式成立的充分必要条件是222 22 2 xy，且2 2 xy假设,0,32 2)xy，那么2 20 xy，22 22 2xy假设1,32 2,)2xy，那么2 2 0 xy，22 22 3xy假设1,1)2xy，那么2 2 1xy，22 22 3xy当,xy取自0,32 2)、1322,)2、1,1)2中不同的区间时，不成立对0,1,2,0,1mn，记(,)(,)|(,),A m nx yx yAxmyn，那么根据上述讨论知，(,)A m n所对应的平面区域面积2221163(,)(32 2)0)(32 2)122 2222S m n，因此点集A所对应的平面区域面积为210063(,)622 2189132 22mnS m n二此题总分值40 分如图，在ABC中，ABAC，H为ABC的垂心，M 为边BC 的中点，点S在边BC上且满足BHMCHS，点A在直线HS上的射影为P.证明：MPS的外接圆与ABC的外接圆相切.证明：联接AH并延长交ABC的外接圆于点D，作/DEBC与ABC的外接圆交于点E，易知,D H关于BC对称，故HCBBCDCBE,因此/CHBE，由此推出EBAB，故AE为ABC外接圆的直径.又由CHCDEB，结合/CHBE知四边形CHBE为平行四边形，所以EH过点M.设,B C为,B C在,AC BC上的射影，延长EH交ABC的外接圆于点Q，由90AQHAQEAPH得，,A Q B H CP共圆，以AH为直径.由BHMCHS有B HQC HP，所以QBPC相等的圆周角所对弦长相等，故有/PQB C.由9090EABB C AAEBACB得，AEBC，所以AEPQ，结合AQQE有AQPAEQ，由此推出SDHSHDAHPAQPAEQADQQDH，所以点,Q S D共线，由QPSQPHQAHQADQEDQMS得，,P Q S M四点共圆.-优选过点Q作ABC外接圆的切线，由TQSTQDQEDQMS知，TQ也是圆的切线，故MPS的外接圆与ABC的外接圆相切，证毕.三此题总分值50 分整数,a b c d满足1adbc.求2222abcdabcdacbdbc的最小值,并求出一切到达最小值的四元数组,a b c d解:设原式,f a b c d,易知:22221,2fa b c dabcdacbdbc.(1)0bc,那么10adbc,故bc、同号,ad、同号.由于,f a b c dfabcd,故只须考虑如下两种情况:(i),0a b c d；(ii),0a d;,0b c.对于(i),由1abb,1cdc知:2221,111222bcfa b c dbcbcbc.对于(ii),由1acc,1bdb知:2221,111222bcfa b c dcbbcbc.(2)0bc.那么1ad,所以1ad.假设0b,那么22222211,111222fa b c dacdacdcc,等号成立当且仅当0c.同理，假设0c,那么,2fa b c d,等号成立当且仅当0b.(3)0bc.此 时,假 设3bc,那 么,3f a b c d.假 设2bc,那 么,2fa b c d,取 等 号 时 有abcd.但此时22b,与b为整数矛盾!故等号取不到.假设1bc,那么0ad,1fa b c d,取等号时有abcd.但0ad,1bc,这不可能!故,2fa b c d,取等号时,22222abaccdbd.由1bc知:221bc.由0ad知,a d中必有0.假设0a,那么bcd,故,0,1,1,1a b c d或0,1,1,1.同理，假设0d,那么abc,1,1,1,0a b c d或1,1,1,0.综上所述,f a b c d最小值为2,取等号当且仅当,a b c d为0,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1之一.四此题总分值50 分设整数2n,0,1,1Gn，,A BG，对xG，记()ABfx为满足(mod)abxn，aA，bB的数组(,)a b的个数，类似定义()AAfx，()BBfx.证明：2()()()ABAABBx Gx Gfxfxfx.证明：对xG，记(,)|(mod),xAs tstxns tA，(,)|(mod),xBs tstxns tB，.-优选(,)|(mod),xCs tstxnsA tB，那么由(),(),()AABBABfxfxfx的定义知，(),(),()AAxBBxABxfxAfxBfxC又记(,)|(mod),xPs tu vstuvxns tA u vB，(,)|(mod),xQs t u vsutvxns tA u vB，那么()()xxxAABBPABfxfx，2()xxxABQCCfx考虑(,)|(mod),Ss t u vstuvns tA u vB的元素个数S一方面，由于xx GSP，且其中各个xP两两不交，故()()xAABBx Gx GSPfxfx另一方面，注意到(,)|(mod),xx GSs t u vsutvns tA u vBQ，而其中各个xQ亦两两不交，因此2()xABx Gx GSQfx由、得，2()()()ABAABBx Gx GfxSfxfx
