五年级奥数教程上册.pdf

以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-1-前言同步奥数培优，内容力求体现：配套现行教材以新课标北师大版内容为知识体系，做到在已有知识基础上的拓展，重视知识的螺旋上升，在和教材同步的同时，培养学生的抽象思维能力。【适当加入一些同学们感兴趣的内容】。注重素质提高学好数学的前提是要有兴趣，这是编写此套丛书的出发点。为了更全面综合地提高学生的数学素质，此书适合大多数学生的学习与使用。强化思维训练数学的学习是思维的学习。此套丛书在章节安排上，重视对学生系统思维的训练，能结合学生学习的特点，相对形成知识编排上的系统性。即能以知识为章，以知识点为节，由浅入深，层层深入，使学生的认知相对完整。本书将本着自学能会，教师能辅导、家长能参考的宗旨，全心全意为莘莘学子、为酷爱奥数的同学们而编，望你们用心学习，对以后的学习有所帮助，由于编写时间仓促，书中难免有些不妥之处，敬请广大同学们在使用过程中批评指正，以使本书更加完善。全国奥数教练员：赵长林目录第一讲图形的面积（一）以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-2-第一课时复习准备：1、钝三角形的底是12 厘米，面积是 60 平方厘米。求高是多少？训练方法：这是一道已知面积和底求高的题，为了培养学生图形感觉，不生硬背公式，建议先画出三角形的高，再将两个完全一样的钝角三角形拼出平行四边形，理解三角形的高=三角形面积 2底的道理，还可以鼓励用方程解答，教材中有这样的例题。例题讲学例 1 已知平行四边形的面积是28 平方厘米，求阴影部分的面积。5 厘米【思路点拨】4 厘米既是平行四边形的高，也是阴影三角形的高，平行四边形的面积是28 平方厘米，它的底为 284=7（厘米），平行四边形的底减去5 厘米就是三角形的底，7-5=2（厘米）。根据三角形的面积公式直接求出阴影部分的面积。求阴影部分的面积最直接的方法是利用计算公式直接求阴影面积；还可以用总面积减去空白面积求得阴影部分面积。这两种是最常用最简便的方法。同步精练1.下面的梯形中，梯形上底是15 厘米，下底是 25 厘米，阴影部分的面积是 150 平方厘米，求梯形的面积。技巧4厘米以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-3-5 厘米6 常规解法：先求出阴影三角形的高，也就是梯形的高，再求梯形面积奥数解法：运用知识，比的知识和登高的两个三角形，底扩大几倍，面积就扩大几倍。150（1510+1）=375（平方米），这种做法，发散了学生思维，灵活运用知识，做到了算法多样化，有利于创新人才的培养。2已知平行四边形的面积是48 平方厘米，求阴影部分的面积。3如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用铁丝多少厘米？（单位：厘米）9审题：有哪些信息？引导学生说出平行第三讲图形的面积（一）第二课时例题讲学例 2 下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米）12 10 厘米15 厘米6厘米以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-4-【思路点拨】图中的阴影部分是一个三角形，它的三条边的长都不知道，三条边上的高也不知道。所以，无法用公式计算出它的面积。仔细观察本题的图，我们可以发现，如果延长GA 和 FC，它们会相交（设交点为 H），这样就得到长方形GBFH（如下图），它的面积很容易求，而长方形 GBFH 中除阴影部分之外的其他三部分（AGB、BFC 及AHC）的面积都能直接求出。同步精 练1、求右图中阴影部分的面积。（单位：厘米）2、求右图中阴影部分的面积。（单位：厘米）H C 4 6 B E F A G 乙甲C 4 6 B E F A G 乙甲4 3 4 3 以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-5-第三讲图形的面积（一）第三课时例题讲学例 3 如图所示：，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6 平方厘米，求 CE的长度。【思路点拨】题目中告诉我们，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6 平方厘米，即 甲-乙=6（平方厘米），而甲和乙分别加上四边形ABCF 后相减的结果还是 6 平方厘米，即：甲-乙=6（平方厘米）（甲+四边形 ABCF）-（乙+四边形 ABCF）=6（平方厘米）即：正方形 ABCD-ABE=6（平方厘米）8 8 5 5 4 厘米A D E F 乙B C 甲4厘米以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-6-这就是说正方形 ABCD 的面积比三角形ABE 的面积大 6 平方厘米。用正方形的面积减去 6 就得到三角形 ABE 的面积，再用三角形的面积乘以2 再除以 AB，就得到 BE 的长度，从而求出CE的长度。同步精练1、四边形 ABCD 是一个长为10 厘米，宽6 厘米的长方形，三角形 ADE 的面积比三角形CEF 的面积大 10 平方厘米。求 CF 的长是多少厘米？2、正方形 ABCD 的边长是 12 厘米，已知 DE 是 EC 长度的 2 倍，求：（1）三角形 DEF 的面积。（2）CF 的长。D A C E B F C E A D F B 以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-7-第四讲认识分数第一课时知识概述把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。其中的一份又叫分数单位。分数与除法的关系可以表示ab=ba（b0）。分数可以分为真分数和假分数；分子与分母是互质数，被称为最简分数。分数的分子与分母同时乘以或同时除以一个相同的数（0 除外），分数的大小不变，这就是分数的基本性质。例题精学例 1：分母是 91的真分数有多少个？最简真分数有多少个？【思路点拨】真分数是指分子小于分母的分数，最简真分数是指分子与分母互质的真分数。分母是 91 的真分数一共有 90 个，分别是911，912，9139190,其分子是 190 的自然数。在这其中有分子和分母有除1 之外的相同质因数。要求最简真分数，那么分子中凡是91 的质因数的倍数都应去掉。而91=713，在 190 的自然数中，7 的倍数有 131=12（个），13 的倍数有 71=6（个），这样分子可取的数一共有 90（12+6）=72（个）。同步精练1.分母是 51 的真分数有多少个？最简真分数有多少个？2.分子、分母的乘积是420 的最简真分数有多少个？以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-8-3.分数853aa中的 a 是一个非零自然数，为了使这个分数能够约分，a 最小是多少？第四讲认识分数第二课时例 2 把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等于1.（1）如果把这个分数的分母加上1，这个分数就等于98，原分数是多少？（2）如果把这个分数的分母加上2，这个分数就等于，原分数是多少？【思路点拨】这道题有两个小题，总的条件一样。由于其他的条件不同，两小题的得数是不同的。有总的条件来看，要求的两个分数的分子都比分母小1.（1）分母加上 1，分子应比分母小 2，现在98的分子比分母小 1，说明进行过约分了，未约分前的分子比分母小2，说明是用 2 约分的，也就是说原分数的分母加上1之后，再把分子分母同时除以2 所得到的分数是98，说明约分前是1816，这样原分数应是1716。第（2）题请你自己思考。同步精练1.一个最简分数的分子缩小5 倍，分母扩大 9 倍后是272，原分数是多少？2.一个分数约分成最简分数是73，原分子、分母的和是90，原分数是多少？以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-9-第四讲认识分数第三课时例 3 分数13673的分子和分母都减去同一个整数，所得的分数约分后是92，求减去的数。【思路点拨】一个分数的分子和分母同时间去一个相同的数后，分子与分母的差不变。原分数的分子与分母的差是13673=63，得到的新分数的分子与分母的差也是 63.而新分数约分后变成92，92=7，因此可知约去的数是637=9.新分数是9992=8118，这样就可以求出减去的数是多少了。同步精练1.133的分子、分母同时加上多少后就可以约分为31？2.一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数，如果分母加上4，这个分数约分后是32，原来这个数是多少？以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-10-3.一个分数，分子加上1 后，其值为 1，分子减去 1 后，其值为54，求这个分数第四讲认识分数第四课时例 4分数6455的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为134，求某数。【思路点拨】分子减去一个数，同时分母加上这个数，那么分子与分母的和不变。原分数的分子、分母之和为55+64=119，说明新分数的分子、分母之和也是 119，而新分数约分后是134，分子、分母的和是4+13=17，因此可知约去的数是 11917=7。新分数为912871374。这样可以推算出这个原数了。同步精练1.75的分子减去某数，而分母加上某数后约分为31，求某数。2.有一个分数，分子加上1 可约分为31，分子减去 1 可约分为51，求这个数。以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-11-3.一个分数，如果分子加上16，分母减去 166，那么约分后是43；如果分子加上 124，分母加上 340，那么约分后是21，求原分数是多少？练习卷1、填空题。（1）一个最简分数的分子、分母之积是 30，这个最简分数是（）。（2）一个最简真分数的分子、分母之和是15，这个最简真分数是（）。（3）分母是 85 的真分数共有（）个，分母是85 的最简真分数共有（）个。（4）一个分数的分子、分母之和是90，约分后是87，求原来的分数是（）。（5）一个最简真分数，把它的分母扩大5 倍，而分子缩小4 倍，化简后是521，求这个最简真分数是（）。2、分数121的分子分母同时加上同一个自然数，新分数化简得21，求这个自然数。3、分数169的分子加上一个数，分母减去同一个数，新分数化简为32，以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-12-求这个数。4、一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如果分母加上3 后，这个分数约分为43，求原分数是多少？第五讲相遇问题相遇问题中数量之间的基本关系式：速度和相遇时间相遇路程相遇路程速度和相遇时间相遇路程相遇时间速度和【例 1】：一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的辆两地相向而行，公共汽车每小时40 千米，小轿车每小时行50 千米，问几小时后两车相距90千米？【分析与解】两车在相距 450千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距90 千米，这时两车共行的路程应为（450-90）千米。需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距90 千米。这时两车共行的路程为（450+90）千米。所以：（450-90）（40+50）=4（小时）或（450+90）（40+50）=6（小时）以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-13-答：两车在出发后4 小时相距 90 千米，在出发后 6 再一次相距 90 千米。同步精练 1.一个圆形操场跑道的周长是500 米，两个学生同时同地相背而行。甲每分钟走 66 米，乙每分钟走 59 米。经过几分钟才能相遇？2、两地相距 1200 千米，甲乙两辆火车从两地相向而行，同时出发，甲每小时行 120 千米，乙每小时行180千米，多少小时后，两车相差300 千米？【例 2】甲乙两列火车从相距770 千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41 千米，乙车先出发 2 小时后，甲车才出发。甲车行几小时后与乙车相遇？【分析与解】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2 小树，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2 小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间。乙车先行的路程：41 2=82（千米），甲乙两车同时相对而行路程：770-82=688（千米），甲车行的时间：688（45+41）=8（小时）答：甲车行 8 小时后与乙车相遇。解题技巧：关键抓住先走的车，它所行的路程，把它所走的路程先刨除在外，然后计算两车（人）真正相距的路程，是解答此类问题的关键。同步精练小丽家距学校有1500 米，中午 11:40 分放学回家时，小丽从学校以每分钟 50 米的速度回家，走了4 分钟后，爸爸骑自行车从家出发去接小丽，爸爸的速度是每分钟150 米，爸爸出发多长时间会接到小丽？以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-14-某送货员从 A 乡镇往 B 乡镇去送货，他以每小时40 千米的速度开摩托车前往，走了 0.5 小时后，接货人开汽车去接他，结果接货人在出发2 小时后接到了送货员，已知接货人的速度是每小时60 千米。问：A、B 两个乡镇相距多少千米？【例 3】两地相距 900 米，甲乙二人同时同地向同一方向行走，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 100 米，当乙到达目标后，立即返回，与甲车相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？【分析与解】甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目的地后，然后返回，途中与甲相遇，这又变成了相遇问题，把同向走的时间与相遇走的时间相加就是共同经过的时间。已到达目的地时间：900100=9（分钟），甲 9 分钟走的路程：809=720（米），甲距目标还有：900-720=180（米），相遇时间：180（100+80）=1（分钟），共用的时间为：9+1=10（分钟）。同步精练1、兄妹二人同时离家上学，哥哥每分钟走90 米，妹妹每分钟走 60米，哥哥到校门时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行至离学校180 米处与妹妹相遇，他们家离校多远？以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-15-2、甲、乙二人同时从A地到 B地，甲每分钟走250 米，乙每分钟走 90 米。甲到达 B地后立即返回 A地，在离 B地 3.2 千米处与乙相遇，A、B两地间的距离是多少千米？【例 4】：甲乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米，甲每小时走6 千米，乙每小时走 4 千米，甲带着一只狗，狗每小时走10 千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇，问这只狗一共走了多少千米？【分析与解】要求狗一共走了多少千米，如果你认为求出狗与甲和乙相遇了多少次，每次用多长时间，那么你是求不出来的，因为这些都是无法知的量。问题可以这样看，我们可以求出狗一共行了多长时间，狗行的时间其实就是甲乙二人相遇的时间，因为狗在甲乙二人相遇前是一直走的，它中途并没有停下来，所以，问题的关键又转回了人身上。甲乙二人相遇时间：100（6+4）=10（小时）狗走的路程为：1010=100（千米）。以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-16-同步精练甲乙两队学生从相隔18 千米的两地同时出发，相向而行，一名学生骑自行车以每小时 14千米的速度在两队间不停地往返联络，甲队每小时行 5千米，乙队每小时行 4 千米，两队相遇时，骑自行车的学生共行多少千米？A、B两地相距 400 千米，甲乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行35 千米，乙车每小时行45 千米。一只鸽子以每小时50 千米的速度和甲同时出发，向乙飞去，遇到乙车又折回向甲车飞来，遇到甲车又往回飞向乙车，这样一直飞下去。鸽子飞多少千米时，两车正好相遇？练习卷1、一辆汽车和一辆摩托车同时从相距860米的两地出发，相向而行，汽车每小时行 45 千米，摩托车每小时行70 千米，6 小时后两车相距多少千米？2、小强和小明家相距2400 米，两人同时从家中出发相向而行，小强每分钟走50 米，小明每分钟走70 米。求：（1）他们经过多长时间相遇？（2）3 分钟时，他们还相距多少米？（3）15 分钟时，他们相距多少米？以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-17-3、甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时56 千米，乙车每小时48 千米，两辆车在离中点32 千米处相遇，求东西两地间相距多少千米？4、小明从甲地向乙地走，小强同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后，又迅速返回，行走过程中，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地400 米处，第二次相遇在距乙地150 米处。问，甲、乙两地之间相距多少米？第六讲公因数和公倍数第一课时【知识概述】我们知道：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数，一般地，把自然数a 和 b 的最大公因数记为（a，b）。几个数共有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数，一般地，把自然数a 和 b 的最小公倍数记为 a，b。两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即：（a，b）a，b=ab【例题 1】有两根彩带，分别长 45 厘米和 30 厘米。现在要把这两根彩带剪成长度相等的短彩带且没有剩余，每段短彩带最长是多少厘米？【点拨与解】这两根彩带要剪成长度一样的小段，且无剩余，每段长度必是 45 厘米和 30以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-18-厘米的公因数。又要求每段尽可能的长，所求的每段长度就是45 和 30 的最大公因数。（45,30）=15 答：每段短彩带最长是15厘米。同步精练1、陆老师买了 36 个本子、24 支钢笔，分别平均分给五（4）班三好学生，结果正好全部分完，问五（4）班最多共有多少名三好学生？2、把一张长 12 厘米、宽 20 厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的的正方形，裁完后没有剩余，至少可以裁多少个？、第二课时例 2 有一批地砖，每块长 45厘米，宽 30 厘米，至少要用多少块这样的地砖才能铺成正方形地？【点拨与解】要用这种地砖铺成正方形地，可知正方形地的边长是地砖长和宽的公倍数；又因为要用尽可能少的地砖铺地，可知铺成的正方形地要尽可能小，即正方形地的边长要尽可能小，所以正方形地的边长是地砖长和宽的最小公倍数。45,30=90 （9045）（9030）=23=6（块）答：至少要 6 块才能铺成正方形地。同步精练1、有一批强化地板，长150 厘米，宽 20 厘米，至少要用多少块这样的地板才能铺成正方形以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-19-地？2、一路和二路公交车早上6 点同时从汽车站发车，一路车每7 分钟发一辆车，二路车每8分钟发一辆车。这两辆车第二次同时发车是几时几分？3、柴油机上有两个互相咬合的齿轮，甲齿轮有72 个齿，乙齿轮有 28 个齿，其中某一对齿，从第一次相遇到第二次相遇，两个齿轮各转了多少圈？第三课时例 3 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是 300，已知其中一个数是75，求另一个数是多少？【点拨与解】根据两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，可以直接求出另一个数来。300 1575=60 同步精练1、两个数的最大公因数是21，最小公倍数是 126，已知其中一个数是42，求另一个数是多少？以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-20-2、已知两个自然数的积是3072，最大公因数是 16，求这两个数的最小公倍数是多少？3、已知两个数的最小公倍数是210，它们的积是 1260，那么这两个数的最大公因数是多少？第四课时例 4 从学校到少年宫的这段公路的一侧，一共有37 根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改为每两根之间相距60 米，除两端不需要移动外，中途还有多少根不必移动？【点拨与解】从学校到少年宫的这段公路的总长是50（37-1）=1800米，（因为有 37-1=36 个间隔）。从路的一端开始，是50 和 60 的公倍数处的那根电线杆就不必移动。因为50 和 60 的最小公倍数是300，所以，从第一根开始，每隔 300 米就有一根电线杆不必移动，1800300=6（根），就是有 6 根不以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-21-必移动，去掉最后的那一根，所以，中途共有5 根不必移动。50,60=300 50（37-1）300=6（根）6-1=5（根）答：中途还有五根不必移动。同步精练1、插一排彩旗共26 面。原来没两面之间的距离是4 米，现在改为 5 米。除起点一面不移动外，中间还有几面可以不移动？2、在长 288 米的河堤上，每隔4 米栽了一棵树。现在要改为每隔6 米栽一棵树，可以不拔出来的树有多少棵？3、一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90 米。原来每隔 2 米植一棵树。由于小树长大了，必须改为每隔5 米植一棵树。如果两端不算，中间有几棵不必移动？综 合 演 练以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-22-1、填写一个四阶幻方和一个七阶幻方四阶幻方七阶幻方2、有 129 个球，甲、乙两人用这些球进行取球比赛，比赛规则是：甲、乙两人轮流取，每人每次最多取 2 个，最少取 1 个，取最后一个球的人为胜利者。甲要想获胜，他应该如何安排？3、求下图阴影部分的面积。（单位：厘米）4、分子、分母的乘积是120的最简真分数有多少个？5、分数121的分子分母同时加上同一个自然数，新分数化简得21，求这12 12 9 9 以生本精神为指导，激发数学潜能，倡导提问、发现、探索，开放思维，启迪数学思想方法，培养质疑、创新精神，做真我。-23-个自然数。6、一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如果分母加上3 后，这个分数约分为43，求原分数是多少？7、甲乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时50 千米，乙车每小时 42 千米，两辆车在离中点 12 千米处相遇，求 A、B两地间相距多少千米？8、两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，其中一个数是54，另一个数是多少？9、甲、乙两列火车从相距470 千米的两城相向开出，甲车每小时行38 千米，乙车每小时行 40 千米。乙车先出发 2 小时后，甲车才出发。甲车行几小时后与乙车相遇？