近几年清华、北大自主招生数学试题.pdf
.-优选近年北大清华自主招生试题汇编2010北大自主招生三校联招1 仅文科做02，求证：sintan 25 分2AB为边长为1的正五边形边上的点证明：AB最长为512 25 分3AB为21yx 上在y轴两侧的点，求过AB的切线与 x 轴围成面积的最小值 25 分4向量OA与OB夹角，1OA，2OB，(1)OPt OA，OQtOB，01t PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t时，夹角的取值围 25 分5 仅理科做存不存在02x，使得 sin,cos,tan,cotxxxx 为等差数列 25分2009北大自主招生数学试题1 圆接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。求圆半径。2 一无穷等差数列中有3 项：13，25，41。求证：2009为数列中一项。3 是否存在实数x 使 tanx+根 3与 cotx+根 3为有理数？4 对任意 x 均有 acosx+bcos2x=-1 恒成立，求a+b 的最大值5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对 3 道及以下为不及格，6 道及以上为优秀。问不及格和优秀的人数哪个多？2008北大自主招生数学试题1 求证：边长为1 的正五边形对角线长为5122 六边形AC1BA1CB1中 AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,A+B+C=A1+B1+C1求证ABC面积是六边形AC1BA1CB1的一半。.-优选312312312233112233 1123123123123min(,)min(,)max(,)max(,)aaabbba aa aa abbb bb ba aab b ba a ab b b求证：4 排球单循坏赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队胜得1 分败得 0 分5 理科O-XYZ坐标系xoy平面系202yx绕y轴旋转一周构成一个不透光立体在点(1,0,1)设置一光源xoy平面有一以原点为圆心的圆C被光照到的长度为2求C上未被照到的长度2009年清华大学自主招生数学试题设5151的整数局部为a，小数局部为b1求,a b；2求222abab；3求2limnnbbb21,x y为实数，且1xy，求证：对于任意正整数n，222112nnnxy2,a b c为正实数，求证：3abcxyz，其中,x y z为,a b c的一种排列3请写出所有三个数均为质数，且公差为8 的等差数列，并证明你的结论4椭圆22221xyab，过椭圆左顶点,0Aa的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P求证：AQ，2OP，AR成等比数列5sincos1tt，设cossinstit，求2()1nf ssss6随机挑选一个三位数I1求I含有因子5 的概率；2求I中恰有两个数码相等的概率7四面体ABCD中，ABCD，ACBD，ADBC1求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；.-优选2设三个面与底面BCD所成的角分别为,，求证：coscoscos18证明当,p q均为奇数时，曲线222yxpxq与x轴的交点横坐标为无理数9设1221,na aa均为整数，性质P为：对1221,na aa中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等求证：1221,na aa全部相等当且仅当1221,na aa具有性质P2009年清华大学自主招生数学试题文科1数列na，且1nSnan n1求证：na是等差数列；2求,nnSan所在的直线方程212名职员其中3名为男性被平均分配到3 个部门1求此 3 名男性被分别分到不同部门的概率；2求此 3 名男性被分到同一部门的概率；3假设有一男性被分到指定部门，求其他2 人被分到其他不同部门的概率3一元三次函数fx的三次项数为3a，90fxx的解集为1,21假设70fxa，求fx的解析式；2假设fx在上单调增，求a的围42 2PMPN，2,0M，2,0N，求点P的轨迹W；直线2yk x与W交于点A、B，求S OABO为原点5设12nxxxann12231nnnSxaxaxaxaxaxa1求证：30S2求4S的最值，并给出此时1x，2x，3x，4x满足的条件3假设50S，求1x，2x，3x，4x，5x不符合时的条件.-优选A 0.90 B 0.95 C 0.95 D 0.94 E 0.94 2008届清华大学自主招生试题1.,a b c都是有理数，abc也是有理数，证明：,abc都是有理数；2.1一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形；2四面体一个顶点处的三个角分别是,arctan22 3，求3的面和arctan2的面所成的二面角；3.求正整数区间,()m n mn中，不能被3整除的整数之和；4.sincos1sin 2，求的取值围；5.假设20lim()(0)1,(2)()xf xffxf xx，求()f x；6.证明：以原点为中心的面积大于4的矩形中，至少还有两个格点。2007清华大学自主招生数学试题1.求()xef xx的单调区间及极值.2.设正三角形1T边长为a，1nT是nT的中点三角形，nA为nT除去1nT后剩下三个三角形切圆面积之和.求1limnknkA.3.某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件工作的概率如下列图所示.能听到声音，当且仅当A 与 B 中有一工作，C 工作，D 与 E 中有一工作；且假设D 和 E 同时工作那么有立体声效果.求：1能听到立体声效果的概率；2听不到声音的概率.4.(1)求三直线60 xy，12yx，0y所围成三角形上的整点个数；(2)求方程组21260yxyxxy的整数解个数.5.(1,1)A，ABC 是正三角形，且B、C 在双曲线1(0)xyx一支上.-优选(1)求证 B、C 关于直线yx对称；(2)求 ABC 的周长.6.对 于 集 合2MR，称M为 开 集，当 且 仅 当0PM，0r，使 得20PRPPrM.判断集合(,)4250 x yxy与(,)0,0 x y xy是否为开集，并证明你的结论.2006清华大学自主招生数学试题1求最小正整数n，使得niI)32121(为纯虚数，并求出I2ba、为非负数，44,1Mabab，求M的最值3sinsincos、为等差数列，sinsincos、为等比数列，求1cos2cos22的值4求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积5随机取多少个整数，才能有0.9 以上的概率使得这些数中至少有一个偶数62xy上一点 P(非原点)，在 P 处引切线交xy、轴于QR、，求PQPR7)(xf满足：对实数ba、有)()()(abfbafbaf，且1)(xf，求证:)(xf恒为零(可用以下结论：假设Mxfxgx)(,0)(lim，M为一常数，那么0)()(limxgxfx)2008大学自主招生数学试题1 求证：边长为1 的正五边形对角线长为512.-优选1xx1-xxx54321EDCBA略解：三角形 ABE三角形DAE 那么：1151251AC=1+x=2xxxx对角线2 六边形AC1BA1CB1中 AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,A+B+C=A1+B1+C1求证 ABC面积是六边形AC1BA1CB1的一半.-优选PBCAB1C1A1略解：如图得证3 123123122331122331123123123123min(,)min(,)max(,)max(,)aaabbba aa aa abbb bb ba aab b ba a ab b b求证：4 排球单循坏赛南方球队比北方球队多9 支南方球队总得分是北方球队的9 倍 求证冠军是一支南方球队胜得1 分 败得 0 分解：设北方球队共有x 支，那么南方球队有x+9 支所有球队总得分为229(29)(28)(29)(4)2xxxCxx南方球队总得分为9(29)(28)9(9)(4)10210 xxxx北方球队总得分为(29)(4)10 xx南方球队部比赛总得分29xC北方球队部比赛总得分2xC.-优选(29)(4)(1)0102xxx x解得：112291122911169333x因为(29)(4)10 xx为整数x=6 或 x=8 当 x=6 时所有球队总得分为229(29)(28)(29)(4)2xxxCxx=210 南方球队总得分为9(29)(28)9(9)(4)10210 xxxx=189 北方球队总得分为(29)(4)10 xx=21 南方球队部比赛总得分29xC=105 北方球队部比赛总得分2xC=15 北方胜南方得分=21-15=6 北方球队最高得分=5+6=11 因为 1115=165189 所以南方球队中至少有一支得分超过11分冠军在南方球队中当 x=8 时所有球队总得分为229(29)(28)(29)(4)2xxxCxx=300 南方球队总得分为9(29)(28)9(9)(4)10210 xxxx=270.-优选北方球队总得分为(29)(4)10 xx=30 南方球队部比赛总得分29xC=136 北方球队部比赛总得分2xC=28 北方胜南方得分=30-28=2 北方球队最高得分=7+2=9 因为 9 17=153270 所以南方球队中至少有一支得分超过9 分冠军在南方球队中综上所述，冠军是一支南方球队5 理科O-XYZ坐标系xoy平面系202yx绕y轴旋转一周构成一个不透光立体在点(1,0,1)设置一光源xoy平面有一以原点为圆心的圆C被光照到的长度为2求C上未被照到的长度.-优选.-优选.-优选
