2011年全国初中数学竞赛试题及答.pdf
第 1 页 共 3 页2011年全国初中数学竞赛试题考试时间 2011年 3 月 20 日 9301130 满分 150 答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答2、解答书写时不要超过装订线3、草稿纸不上交。一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1、设532x，则代数式(1)(2)(3)x xxx的值为（C）A0B1C1D2 2、对于任意实数,abcd，定义有序实数对(,)ab与(,)cd之间的运算“”为：(,)(,)(,)abcdacbdadbc。如果对于任意实数,uv，都有(,)(,)(,)uvxyuv，那么(,)xy为（B）。A(0,1)B(1,0)C(1,0)D(0,1)3、已知,AB是两个锐角，且满足225sincos4ABt，2223cossin4ABt，则实数t所有可能值的和为（C）A83B53C1D1134、如图，点,DE分别在 ABC 的边 AB，AC 上，BE，CD 相交于点 F，设1EA DFSS四 边 形，BD F2SS，BC F3SS，C EF4SS，则13S S与24S S的大小关系为（C）A13S S24S SB13S S24S SC13S S24S SD不能确定5、设33331111S1232011，则 4S的整数部分等于（A）A4B5C6D7 二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6、两条直角边长分别是整数,ab（其中2011b），斜边长是1b的直角三角形的个数为 31。7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这A B C E D F 第 2 页 共 3 页两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5 的概率是。918、如图，双曲线2(0)yxx与矩形 OABC 的边CB，BA 分别交于点 E，F 且 AFBF，连接 EF，则OEF 的面积为；239、O的三个不同的内接正三角形将O分成的区域的个数为。28 10、设四位数abcd满足3333110abcdcd，则这样的四位数的个数为。5 三、解答题（共 4 题，每题 20 分，共 80 分）11、已知关于x的一元二次方程20 xcxa的两个整数根恰好比方程20 xaxb的两个根都大 1，求abc的值。解：设方程20 xaxb的两个根为、，其中、为整数，且 则方程20 xcxa的两个整数根为 1、1，由根与系数关系得：a，(1)(1)a两式相加得：2210 即(2)(2)33212或1232解得：11或35又a()，b，c(1)(1)a0，b1，c2或a8，b15，c6 故abc3或abc29 12、如图，点 H 为ABC 的垂心，以 AB 为直径的1O和BCH 的外接圆2O相交于点 D，延长 AD 交 CH 于点 P，求证：点 P为 CH 的中点。证明：如图，延长AP 交2O于点 Q 连结 AH，BD，QC，QH AB 为直径 ADBBDQ900 BQ 为2O的直径于是 CQBC，BHHQ 点 H 为ABC 的垂心 AHBC，BH AC AHCQ，ACHQ，四边形 ACHQ 为平行四边形则点 P 为 CH 的中点。y x C A B E F O A B C 1OH 2OP D Q 第 3 页 共 3 页13、若从 1，2，3，n中任取 5 个两两互素的不同的整数1a，2a，3a，4a，5a，其中总有一个整数是素数，求n的最大值。解：若 n49，取整数 1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，n48，在 1，2，3，48中任取 5个两两互素的不同的整数1a，2a，3a，4a，5a，若1a，2a，3a，4a，5a都不是素数，则1a，2a，3a，4a，5a中至少有四个数是合数，不妨假设1a，2a，3a，4a为合数，设1a，2a，3a，4a的最小的素因数分别为p1，p2，p3，p4由于1a，2a，3a，4a两两互素，p1，p2，p3，p4两两不同设 p 是 p1，p2，p3，p4中的最大数，则 p7 因为1a，2a，3a，4a为合数，所以1a，2a，3a，4a中一定存在一个ajp27249，与 n49 矛盾，于是1a，2a，3a，4a，5a中一定有一个是素数综上所述，正整数n 的最大值为 48。14、如图，ABC 中，BAC60，AB2AC。点 P 在ABC 内，且 PA3，PB5，PC2，求 ABC 的面积。解：如图，作 ABQ，使得：QABPAC，ABQACP，则ABQ ACP，由于 AB2AC，相似比为 2 于是，AQ2 AP23，BQ2CP4 QAPQABBAPPACBAP BAC60由 AQ：AP2：1 知，APQ900 于是，PQ3AP3 BP225BQ 2PQ 2从而 BQP900作 AMBQ 于 M，由 BQA1200，知AQM600，QM3，AM 3，于是，AB2BM 2AM 2(43)2322883故 SABC21AB?ACsin60083AB 22376A C P B Q M
