2013年高考理科数学四川卷试题与答案word解析.pdf

2013 四川理科数学第 1 页2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第卷(选择题共 50 分)一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1(2013 四川，理1)设集合Ax|x20，集合Bx|x2 40，则AB()A 2 B 2 C 2,2 D2(2013 四川，理 2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()AA BB CC DD 3(2013 四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()4(2013 四川，理 4)设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集若命题p：xA,2xB，则()Ap：xA,2xB Bp：xA,2xB Cp：xA,2x B Dp：xA,2xB 5(2013 四川，理 5)函数f(x)2sin(x)0,22的部分图象如图所示，则，的值分别是()A2，3B2，6C4，6D4，36(2013 四川，理6)抛物线y24x的焦点到双曲线x223y1 的渐近线的距离是()A12 B32 C1 D37(2013 四川，理7)函数331xxy的图象大致是()2013 四川理科数学第 2 页8(2013 四川，理8)从 1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是()A9 B10 C18 D20 9(2013 四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4 秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2 秒的概率是()A14 B12 C34 D7810(2013 四川，理10)设函数f(x)exxa(a R，e 为自然对数的底数)，若曲线ysin x上存在点(x0，y0)使得f(f(y0)y0，则a的取值范围是()A1，e Be 11,1 C1，e1 De 11，e1 第卷(非选择题共 100 分)二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5 分，共 25分11(2013 四川，理11)二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数是_(用数字作答)12(2013 四川，理12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与 BD交于点 O，ABAD AO，则_.13(2013 四川，理13)设 sin 2 sin，,2，则 tan 2 的值是 _14(2013 四川，理14)已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x0 时，f(x)x24x，那么，不等式f(x 2)5 的解集是 _15(2013 四川，理15)设P1，P2，,，Pn为平面 内的n个点，在平面 内的所有点中，若点P到点P1，P2，,，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，,，Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16(2013 四川，理 16)(本小题满分12 分)在等差数列 an中，a1a38，且a4为a2和a9的等比中项，求数列 an 的首项、公差及前n项和2013 四川理科数学第 3 页17(2013 四川，理 17)(本小题满分12 分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 22cos2ABcos Bsin(AB)sin B cos(AC)35，(1)求 cos A的值；(2)若4 2a，b5，求向量BA在BC方向上的投影18(2013 四川，理 18)(本小题满分12 分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在 1,2,3，,，24 这 24 个整数中等可能随机产生(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i 1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表(部分)运行次数n 输出y的值为 1 的频数输出y的值为 2 的频数输出y的值为 3 的频数3014610,2 1001 027376697 2013 四川理科数学第 4 页乙的频数统计表(部分)运行次数n 输出y的值为 1 的频数输出y的值为 2 的频数输出y的值为 3 的频数3012117,2 1001 051696353 当n2 100 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i 1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3 次，求输出y的值为 2 的次数 的分布列及数学期望2013 四川理科数学第 5 页19(2013 四川，理19)(本小题满分12 分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA1，BAC120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA1MN的余弦值2013 四川理科数学第 6 页20(2013 四川，理 20)(本小题满分13 分)已知椭圆C：22221xyab(ab0)的两个焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P4 1,3 3.(1)求椭圆C的离心率；(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且222211|AQAMAN，求点Q的轨迹方程2013 四川理科数学第 7 页21(2013 四川，理21)(本小题满分14 分)已知函数f(x)22,0,ln,0,xxa xx x其中a是实数设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)为该函数图象上的两点，且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x20，求x2x1的最小值；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围2013 四川理科数学第 8 页2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第卷(选择题共 50 分)一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1答案：A 解析：由题意可得，A2，B 2,2，AB2 故选 A2答案：B 解析：复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称3答案：D 解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D4答案：D 5答案：A 解析：由图象可得，35341234T，T，则 22，再将点5,212代入f(x)2sin(2x)中得，5sin16，令562k2，kZ，解得，2k3，kZ，又 ,2 2，则取k0，3.故选 A6答案：B 解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3yx，即3xy0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离|30|322d.7答案：C 解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(，0)(0，)，故排除A；取x 1，y1113320，故再排除B；当x时，3x1 远远大于x3的值且都为正，故331xx0 且大于 0，故排除D，选C8答案：C 解析：记基本事件为(a，b)，则基本事件空间(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)共2013 四川理科数学第 9 页有 20 个基本事件，而lg alg blgab，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lgab的值相等，则不同值的个数为20218(个)，故选 C9答案：C 解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，则由题意可得，0 x4,0 y4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2 秒”(x，y)|xy|2，由图示得，该事件概率1643164SPS阴影正方形.10答案：A 解析：由题意可得，y0sin x0 1,1，而由f(x)exxa可知y0 0,1，当a0 时，f(x)exx为增函数，y00,1时，f(y0)1，e 1 f(f(y0)e 11.不存在y00,1使f(f(y0)y0成立，故B，D错；当ae 1时，f(x)ee 1xx，当y00,1时，只有y01 时f(x)才有意义，而f(1)0，f(f(1)f(0)，显然无意义，故C错故选 A第卷(非选择题共 100 分)注意事项：必须使用0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分11答案：10 解析：由二项式展开系数可得，x2y3的系数为35C25C10.12答案：2 解析：如图所示，在平行四边形ABCD中，ABADAC2AO，2.13答案：3解析：sin 2 sin，2sin cos sin.2013 四川理科数学第 10 页又,2，cos 12.sin 231cos2.sin 2 32，cos 2 2cos2112.tan 2 sin2cos23.14答案：(7,3)解析：当x0时，令x24x5，解得，0 x5.又因为f(x)为定义域为R的偶函数，则不等式f(x2)5 等价于 5x25，即 7x3；故解集为(7,3)15答案：解析：由“中位点”可知，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，故正确；对于假设在等腰RtABC中，ACB90，如图所示，点P为斜边AB中点，设腰长为2，则|PA|PB|PC|32|AB|3 2，而若C为“中位点”，则|CB|CA|43 2，故错；对于，若B，C三等分AD，若设|AB|BC|CD|1，则|BA|BC|BD|4|CA|CB|CD|，故错；对于，在梯形ABCD中，对角线AC与BD的交点为O，在梯形ABCD内任取不同于点O的一点M，则在MAC中，|MA|MC|AC|OA|OC|，同理在MBD中，|MB|MD|BD|OB|OD|，则得，|MA|MB|MC|MD|OA|OB|OC|OD|，故O为梯形内唯一中位点是正确的三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16解：设该数列公差为d，前n项和为Sn.由已知，可得2a12d8，(a13d)2(a1d)(a1 8d)所以，a1d4，d(d3a1)0，解得a14，d0，或a1 1，d3，即数列 an的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n项和Sn4n或Sn232nn.172013 四川理科数学第 11 页解：(1)由 22cos2ABcos Bsin(AB)sin Bcos(AC)35，得 cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B35，即 cos(AB)cos Bsin(AB)sin B35.则 cos(ABB)35，即 cos A35.(2)由 cos A35，0A，得 sin A45，由正弦定理，有sinsinabAB，所以，sin Bsin22bAa.由题知ab，则AB，故4B.根据余弦定理，有2(4 2)52c225c35，解得c1 或c 7(舍去)故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B22.18解：(1)变量x是在 1,2,3，,，24 这 24 个整数中随机产生的一个数，共有24 种可能当x从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这 12 个数中产生时，输出y的值为 1，故P112；当x从 2,4,8,10,14,16,20,22这 8 个数中产生时，输出y的值为 2，故P213；当x从 6,12,18,24这 4 个数中产生时，输出y的值为 3，故P316.所以，输出y的值为 1 的概率为12，输出y的值为 2 的概率为13，输出y的值为 3 的概率为16.(2)当n 2 100 时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1,2,3)的频率如下：输出y的值为 1 的频率输出y的值为 2 的频率输出y的值为 3 的频率甲1027210037621006972100乙1051210069621003532100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大(3)随机变量 可能的取值为0,1,2,3.P(0)0303128C3327，P(1)1213124C339，P(2)2123122C339，2013 四川理科数学第 12 页P(3)3033121C3327，故 的分布列为0123 P 8274929127所以，E082714922931271.即 的数学期望为1.19解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线lBC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面A1BC 由已知，ABAC，D是BC的中点，所以，BCAD，则直线lAD 因为AA1平面ABC，所以AA1直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l平面ADD1A1.(2)解法一：连接A1P，过A作AEA1P于E，过E作EFA1M于F，连接AF.由(1)知，MN平面AEA1，所以平面AEA1平面A1MN.所以AE平面A1MN，则A1MAE.所以A1M平面AEF，则A1MAF.故AFE为二面角AA1MN的平面角(设为)设AA11，则由ABAC 2AA1，BAC120，有BAD60，AB2，AD1.又P为AD的中点，所以M为AB中点，且AP12，AM1，所以，在RtAA1P中，A1P52；在 RtA1AM中，A1M2.从而1115AAAPAEA P，1112AAAMAFA M.所以 sin 25AEAF.所以 cos 222151 sin155.2013 四川理科数学第 13 页故二面角AA1MN的余弦值为155.解法二：设A1A1.如图，过A1作A1E平行于B1C1，以A1为坐标原点，分别以1AE，11AD，1AA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合)则A1(0,0,0)，A(0,0,1)因为P为AD的中点，所以M，N分别为AB，AC的中点故M3 1,122，N3 1,122.所以1AM3 1,122，1A A(0,0,1)，NM(3，0,0)设平面AA1M的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则1111,A MA Ann即11110,0,A MA Ann故有1111113 1,10,22,0,0,10,xy zxy z从而1111310,220.xyzz取x11，则y13，所以n1(1，3，0)设平面A1MN的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则212,A MNMnn即2120,0,A MNMnn故有2222223 1,10,22,3,0,00,xyzxyz从而2222310,2230.xyzx取y22，则z2 1，所以n2(0,2，1)设二面角AA1MN的平面角为，又 为锐角，则 cos 1212|nnnn1,3,00,2,115525.2013 四川理科数学第 14 页故二面角AA1MN的余弦值为155.20解：(1)由椭圆定义知，2a|PF1|PF2|2222414111223333，所以2a.又由已知，c1.所以椭圆C的离心率1222cea.(2)由(1)知，椭圆C的方程为22xy21.设点Q的坐标为(x，y)(1)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，1)两点，此时点Q的坐标为3 50,25.(2)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2.因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx12)，(x2，kx2 2)，则|AM|2(1k2)x12，|AN|2(1 k2)x22.又|AQ|2x2(y2)2(1 k2)x2.由222211|AQAMAN，得22222212211111kxkxkx，即212122222212122211xxx xxxxx x.将ykx2 代入22xy21 中，得(2k21)x28kx6 0.由(8k)24(2k21)6 0，得k232.由可知，x1x22821kk，x1x22621k，代入中并化简，得2218103xk.因为点Q在直线ykx2 上，所以2ykx，代入中并化简，得10(y2)23x218.由及k232，可知 0 x232，即x6,0260,2.又3 50,25满足 10(y2)23x218，故x66,22.2013 四川理科数学第 15 页由题意，Q(x，y)在椭圆C内，所以 1y1.又由 10(y 2)2183x2有(y 2)29 9,5 4且1y1，则y13 5,225.所以，点Q的轨迹方程为10(y2)2 3x218，其中x66,22，y13 5,225.21解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为 1,0)，(0，)(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f(x1)，点B处的切线斜率为f(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f(x1)f(x2)1.当x0 时，对函数f(x)求导，得f(x)2x2.因为x1x20，所以，(2x12)(2x2 2)1.所以 2x120,2x220.因此x2x112 (2x12)2x22 1222 22xx1，当且仅当(2x12)2x22 1，即132x且212x时等号成立所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x2x1的最小值为1.(3)当x1x20 或x2x10 时，f(x1)f(x2)，故x1 0 x2.当x10 时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1)处的切线方程为y(x122x1a)(2x12)(xx1)，即y(2x12)xx12a.当x20 时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2)处的切线方程为yln x221x(xx2)，即y21xxln x21.两切线重合的充要条件是12221122,ln1.xxxxa由及x10 x2知，1x10.由得，ax1211ln22x1x12ln(2x12)1.设h(x1)x12ln(2x12)1(1x10)，则h(x1)2x1111x0.所以，h(x1)(1x10)是减函数则h(x1)h(0)ln 2 1，所以a ln 2 1.又当x1(1,0)且趋近于 1 时，h(x1)无限增大，所以a的取值范围是(ln 2 1，)故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(ln 2 1，)