五年级上册解简易方程.pdf

由于解方程这个单元众说纷纭，仁者见仁，智者见智，今年我终于有机会一睹庐山真面目。用天平平衡的原理来解答方程，在我没有接触到新教材之前，非常有抵触情绪，用各部分数量关系式来解答非常方便，适用于各种形式的方程，为什么一定要用天平平衡的原理来解答呢？以前学习简易方程，用借助数量关系的算术思维来理解，来逆推理，已知什么，求什么，在头脑中开始套公式，对数的感觉变得较为复杂。新教材在学习解方程之前作了很多铺垫，在学习用字母表示数，天平保持平衡的原理的基础上，再学习解方程学生想象不到地轻松接受了，真正感受到这种方法对于学困生来说，是十分有利的，十分顺畅。参考书上是这样解释的：以等式的基本性质为基础，而不是依据逆运算关系解方程。长期以来，在小学教学简易方程，方程变形的依据总是加减运算的关系或乘除运算之间的关系。这实际上是用算术的思路求未知数。到了中学又要另起炉灶，引入等式的基本性质或方程的同解原理，然后重新学习依据等式的基本性质或方程的同解原理解方程，而且小学的思路及其算法掌握的越牢固，对中学代数起步教学的负迁移就越明显。现在，根据标准的要求，从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法。这就较为彻底地避免了同一内容两种思路、两种算理解释的现象，有利于加强中小学数学教学的衔接。翻阅新旧教材，“比拼”两个版本教材可以发现：1、在小学数学旧的教学大纲中，解简易方程的根据是加减乘除法各部分之间的关系：加数+加数=和加数=和-加数被减数-减数=差被减数=差=减数减数=被减数-差因数 因数=积因数=积 因数被除数 除数=商被除数=商 除数除数=被除数 商在解简易方程时，根据方程的主结构类型：加减乘除中的某一种，搞清为止书（或捍卫指数的式子）在方程中相当于四则运算中的哪一种数（是加数还是因数，是被减数还是减数，是被除数还是除数），找出相应的关系式，根据关系式将方程变形为较简单的方程；再观察新的方程的次结构类型：加减乘除中的某一种，将方程变形为更简单的方程；直到最后求出未知数的解。如解方程：20-2=4 主结构为减法解：2=12-4 减数=被减数-差2=8 结构为乘法=8 2 因数=积 因数=4 分析一：利用加减乘除各部分之间的关系可以解出所有的简易方程。2、在小学数学新课程标准中规定：理解等式的性质，会用等式性质解简单的方程（如3+2=5，2-=3）。等式性质一：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式性质二：等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，等式仍然成立。例解方程：1.2+3=2.4 解：1.2+3-1.2=2.4-1.2 方程两边同减1.2 3=1.2 方程两边整理化简3 3=1.2 3 方程两边同时除以3=0.4 方程两边化简【课堂实录】一、模拟游戏、激趣引新师：上课前，我们一起做个游戏好吗？生：（齐）好！师：我说、你们做，看谁学得最象！（学生趣味盎然地按指示分别模仿大象、猴子、小兔和大树、天平等物体。）师：很有表演天赋！为什么大家能学得这么象呢？生 1：因为我们对大象、猴子、小兔这些物体都很了解，知道这些小动物的特点。生 2：对，因为抓住了这些小动物的特点来模仿，所以学什么象什么！师：真聪明！知道找准特点进行模仿，谁能说说天平有什么特点？生 1：天平左右两边一样重时是平衡的。生 2：对，当它两边不一样重的时候，就不平衡了。师：大家能模仿一下天平平衡时的样子吗？（学生将双手侧平举表示天平平衡）师：天平不平衡的时候是怎样的？生：左右两边上下会晃动，哪边重哪边就会往下沉。（学生将双臂上下倾斜表示不平衡）师：如果天平左边重呢？右边重呢？（学生随着老师的指示模仿天平左边重和右边重的情况）师：看来大家对天平挺了解的。谁愿意到这来配合一下，暂时充当一台天平？（请一名学生到讲台前配合老师，表演天平。）师：老师这有几张卡片做的砝码，我在天平的左、右两边各放100g 的砝码，天平会怎样？（该生两手各拿一张写有100 克的卡片，伸平双臂，表示天平平衡）生：（齐）保持平衡。师：天平左边增加50g，会怎样变化？怎样才能使天平平衡？（学生将双臂倾斜，表演不平衡的状态。）生：天平的右边也要跟着增加50g 的砝码，天平才能平衡。（表演天平的学生右手增加一张50g 的卡片，双臂平衡。）师：现在天平左边有多少克？右边呢？生：天平左边有150 克，右边也是150 克。师：天平两边 生：（齐）一样重。师：所以天平处于生：（齐）平衡状态。师：现在我从天平左边拿走100g，天平会发生什么变化？生：天平会失去平衡！师：怎样才能使天平平衡呢？生：天平的右边也要拿走100g 的砝码，两边一样重了天平才能平衡。师：天平到底要怎样变化才能保持平衡状态呢？同桌互相说一说。（给学生足够的时间交流各自的看法。）师：谁能说给大家听？生 1：天平两边一定要一样重才能保持平衡。生 2：天平左右两边一定要同时增加和减少同样的重量，才能保持平衡。生 3：天平的左右两边同时增加或减少同样的重量，天平会平衡。师：观察仔细，善于总结！评析：课伊始趣已生，激趣是新课导入的抓手，“喜欢和好奇心”比什么都重要。课前一个简单的模拟游戏，可谓一举两得，既激发了学生极大的参与热情，同时也通过学生对天平平衡和不平衡两种状态的模拟，以及同学表演的天平左右两边增、减变化情况，让学生在生动活泼的氛围中再次深切感受天平平衡的原理，为学习新知识作好充分的铺垫。之后继续借助天平来研究与方程有关的新知识。（揭示课题 解简易方程）二、知识迁移、掌握原理师：看来大家对天平平衡的原理掌握得不错，今天我们继续借助天平来研究与方程有关的新知识。（揭示课题 解简易方程）师：（对表演的学生说）谢谢你！聪明的小天平！老师在电脑中画了4 台小天平，请同学们仔细观察再填空！（课件演示：4 台天平都是平衡状态，天平左右两边是以下几种情况：）左：500+80g 右：500g+80g 左：50g+Xg 右：50g+Xg 500+500+50+50+左：300g+30g（删除符号）右：300g+30g（删除符号）300+30-300+30-左：200g+ag（删除符号）右：200g+ag（删除符号）200+a-200+a-师：能说说你是怎么填的吗？（根据学生汇报，教师在电脑中完成填空。）师：不用天平帮忙，我们仔细观察这4 个等式。电脑演示：去掉天平图，屏幕上只剩下4 个等式和文字：500+80=500+80 50+X=50+X 300+30-50=300+30-50 200+a-a=200+a-a 小组合作研究：1等式的左右两边是怎样变化的？变化之后还相等吗？2.等式要怎样变化，左右两边才能保持相等？师：小组合作学习，找到等式两边相等的奥秘。比一比，看哪个小组先找到答案。（学生分组研究，给学生足够的时间进行组内的交流和讨论。）师：找到答案了吗？哪个小组想跟大家交流？生 1：我们小组发现，等式和的左右两边同时加上了相同的数，等式还相等。生 2：等式和的左右两边，都是同时减去一个相同的数，等式的左右两边也还相等。师：观察仔细！其他小组同意吗？生：（齐）同意！师：那等式怎样变化左右两边才能保持相等呢？谁能说说你的看法？生 1：我发现等式和天平很像，只要左右两边同时加、减同样的数，就能保持相等！生 2：对！等式也具有天平平衡的原理！等式两边同时加上或减去一个相同的数，仍然相等。生 3：我们小组的出的结论是：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。师：善于总结，了不起！（板书：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。）师：你们得出的结论很重要！大家能给它起个名字吗？生 1：就叫等式平衡原理或者等式相等原理。生 2：简单点，就叫等式原理。师：你们喜欢哪个名字？生：（齐）等式原理！师：好！请齐读等式原理，并记住它！（学生齐读：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。）师：根据这个等式原理，可以解决生活中的许多难题。评析：通过学生对天平图的观察、思考完成填空，并引发学生思考：等式要怎样变化才能左右两边相等？很自然的将天平平衡的原理迁移到等式的基本性质上来，让学生通过自己的观察、理解总结出等式的基本性质，并自己命名为“等式原理”，印象极为深刻，比较完美的实现了知识的迁移。三、自主学习、探求新知师：明明每天都要喝一杯果汁，他想知道这杯果汁有多少克，你们能帮忙算一算吗？请看大屏幕！电脑演示：（动态演示以下3 个画面。）在天平的左边放100g 的杯子，右边放一个100g 的砝码，天平平衡。在天平左边的杯中慢慢倒入果汁，右边不变，天平渐渐失去平衡，杯子装满后右边高高跷起。在天平的右边每增加一个50g 的砝码，就下降一些，增加到250g 时，天平平衡。师：现在天平平衡了，说明什么？生 1：一个杯子加上杯中果汁的重量正好是250 克。生 2：其实也就是杯子和果汁一共重250g。师：你们能根据图意列出方程吗？生（齐）能！（学生独立列出方程。）师：谁能把你写的方程告诉大家？（老师根据学生回答，板书：100+X=250）师：方程左边表示什么？右边呢？生 1：方程左边表示100g 的杯子加Xg 的果汁，右边是250g。师：X 的值到底是多少呢？请同学们先独立思考，然后在小组中交流各自的想法和计算的依据。（给学生足够的时间思考、交流各自的想法）师：找到X 的值了吗？谁能告诉大家，你是怎么想的？生 1：X 是 150，我是看出来的。生 2：因为 250-100 150，所以 X 150 生 3：因为 150+100=250，所以X=150 生 4：我是看天平看出来的，天平左右两边都减去100 克，就知道X 是 150 克了。师：好办法！利用天平平衡的原理，找到X 的值。生 5：和天平原理一样，方程两边同时减去100，等式就变成X=150 了。生 6：对，根据刚才我们发现的等式原理，方程两边同时减去100，就知道 X=150 了。师：这么多的方法，你们觉得哪种方法最实在？最好用？生 1：用天平原理好！生 2：没有天平的时候用等式原理吧。师：没错！通常我们会用等式原理来求X 的值。你们能试试这种方法吗？生：（齐）能！师：请试着写一写。（学生试写等式，师巡视）师：谁能告诉大家你是怎样写的？等式左边是什么？右边呢？生：等式左边是100+X-100，等式右边是250-100，（板书：100+X-100，右边是250-100）师：你们的等式也是这样写的吗？生：（齐）是！师：老师不明白了，为什么方程左边边要减去100 呢？生 1：减去 100，方程左边就只剩下X 了呀。生 2：对呀！就是为了使方程左边只剩下X。师：为什么要让方程左边只剩下X 呢？生：方程左边只剩下X，就能很快找到X 的值。师：我听懂了！你们是说只有想办法让方程左边只剩下X，才能很快找到X 的值。是吧？生：（齐）是！师：看方程左边是多少？生：X+100 师：减去100 呢？生：只剩下X。师：最后X 等于多少？生：（齐）X 等于 150。评析：教师充分给学生独立思考、合作交流的时间，让学生自主探索方程x+100=250各种求 X 值的方法，在小组交流各自的想法和计算依据，通过探索、交流、整合、辨析，最终在多种方法中寻找到解方程的最佳方法。让全体学生自始至终主动积极参与学习过程，有效地避免解方程时的机械模仿和死记硬背，降低学生思维难度，同时又与中学的代数教学衔接。师：仔细看，我把X=150 写在刚才这个等式的下面，两个等式的“=”对齐，在第一个等式的前面写上一个“解”字，就是完整的解方程的过程。师：你们写的格式和老师一样吗？生：不一样！（只有少部分学生知道正确的解方程的书写格式）师：能按照这种格式正确书写一次吗？（学生按照正确格式书写，师巡视发现问题及时纠正）评析：让学生自己试写解方程的过程，与教师的板书对比之后，再按规范的解方程格式书写一次。两次书写的对比令学生印象深刻，便于学生掌握规范的书写格式。师：像 150 这样能使方程左右两边相等的未知数的值，人们给它起了个名字，叫什么呢？请仔细阅读课本57 页。（给学生足够的时间阅读、理解概念）师：谁能告诉大家你知道了什么？生：我知道使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。师：找到这句话了吗？齐读！（学生齐读概念）师：X=150 是谁的解？生：X=150 是方程 100+X=250的解。师：还知道什么？生：我知道求方程的解的过程叫做解方程。师：一个是方程的解、一个是解方程，这两个概念有什么不同？同桌可以互相交流。（学生独立思考后交流、讨论。）师：谁能说说你的想法？生 1：方程的解是一个得数，解方程是计算。生 2：解方程是计算的过程，方程的解是计算的结果。生 3：解方程是为了找到方程的解。师：没错！正如你们所说，解方程是求方程的解的一个计算过程。评析：充分信任学生，把学习的主动权交给学生，让学生通过自行阅读课本理解“方程的解”和“解方程”两个概念，并通过自己的思考、小组内的交流、辨析找到两个概念的异同，加深对概念的理解。师：能试着独立解一道方程吗？生：（齐）能！师：请看大屏幕！电脑演示：例题1 的图示，盒中有X 个皮球，加上盒外的3 个，一共有9 个皮球。师：请同学们看清图意，列出方程并解答。（学生独立完成）师：X 的值是多少？生：（齐）X 等于 6。师：X 等于 6 是不是方程的解呢？请仔细阅读课本58 页，对比例题1 和你的解题过程，看看你又有什么收获。（给学生足够的时间观察、阅读课本。）师：说说看，你们都看明白了什么？有什么想说的？生 1：我知道方程两边同时减去同一个数，左右两边仍然相等。生 2：我看懂了例题1 解方程的步骤和方法跟我们是一样的，都是用等式的原理。生 3：我还学会了验算方法。师：你们学会了方程验算的方法吗？生：（齐）学会了！师：请大家列式检验X=150 是不是方程x+100=250的解。（学生独立验算方程的解。）师：X=150 是这个方程的解吗？谁能说说你的验算过程？生：把方程左边的X 换成 150，150+100等于 250，和方程右边相等，所以150 是方程的解。教师根据学生回答板书验算过程：方程左边=100+X=100+150=250=方程右边所以，X=150 是方程的解。师：通过验算可以确定，一杯果汁有生：（齐）150 克。师：那就请大家喝下你算出的这杯果汁吧！（众生笑）评析：学生再次阅读课本，既检查、对比了自己的解题方法和思路，又寻找到方程验算的方法，再次让学生体会到自学所带来的快乐与成功感。四、巩固内化，拓展升华师：品尝过鲜美的果汁，让我们和明明一起参加过五关斩六将的智力闯关游戏，好吗？生：（齐）好！师：请看第一关！电脑演示：东岭关的模糊背景，屏幕中央是第一关三个大字，下方写有东岭关三个小字。点击鼠标出现题目：仔细观察再填空。（1）X+2.8=4.9（2）X-16=100 X+2.8-2.8=4.9 X-16+16=100（3）X+54=110（4）X-0.9=10.3 X+54=110 X-0.9 =10.3 （学生先独立思考，再根据老师的指挥以抢答的形式完成填空。）师：恭喜过关！第二关我们要抢占洛阳城！看！这有两员大将把着城门呢！（众生笑）电脑演示：洛阳城门的背景，屏幕上方是第二关3 个大字，屏幕中央是题目：解方程，并验算。X+30=90 X-30=90 师：同学们要注意解方程的书写格式。（请两位学生演板，教师巡视，发现问题及时指导。）电脑演示解题过程：x+30=950 x-30=90 解：x+30-30=90-30 解：x-30+30=90+30 x=60 x=120 师：请同学们仔细观察、对比这两个方程，小组同学互相说一说它们有什么相同的和不同的地方。（给学生足够的时间观察、讨论）生 1：两个方程里的数都是一样的，但是运算符号不同。生 2：解方程的方法也不同，一个同时加30，另一个同时减30。生 3：也可以说解方程的方法一样，都是根据等式原理。师：为什么一个是同时加，另一个是同时减呢？生 1：方程左边是X+30 就要减去30，30-30=0，方程左边就可以只剩下X。生 2：方程左边是X-30，就要加 30，减 30 和加 30 抵消，就只剩下X 了。如果再减30 就变成 X-60，更麻烦了。生 3：我发现要使方程左边只剩下X，就要做相反的计算，方程左边如果是X 加几，就要两边同时减去几，方程左边如果是减几，就要两边同时加上几。师：观察仔细、思路清晰，能够准确地找到规律！掌声祝贺自己闯关成功！（学生为自己鼓掌）评析：通过两道相似的方程，启发学生观察、比较，寻找不同点与相同点，让每个学生都有充分发表自己见解的机会，体现了课标倡导的“自主探索与合作学习是学生学习数学的重要方式”的理念。同时通过小组讨论，辨析来帮助学生理解并建立运用等式基本性质来解方程的依据，真正掌握解简易方程的基本方法，达到水到渠成的效果。师：顺利的攻占了洛阳城我们来到汜水关。大家准备好了吗？生：（齐）准备好了！电脑演示：汜水关背景图和第三关3 个大字，屏幕中央是题目和图1、图 2。根据题中的数量关系列出方程，并求出方程的解。跳远比赛：X 米 小军：2.7 米小明：6.9 米师：谁能说说图1 的意思？生：跳远比赛中，小军跳了X 米，小明跳了6.9 米，比小军多跳2.7 米。小军跳了多少米？师：思路清晰，表达流畅。同桌互相说说图2 的意思。（同桌同学互相交流。）师：请大家根据题中的数量关系列出方程，并求出方程的解。原价：X 元优惠：45元（录音机图）现价：128元（学生独立看图列出方程，求出方程的解。然后集体讲评：）（1）X+2.7=6.9（2）X-45=128 解：X+2.7-2.7=6.9-2.7 解：X-45+45=128+45 X=4.2 X=173 师：了不起！能利用新知识去解决生活中遇到的问题。师：第四关荥阳到了，对自己有信心吗？请看题！电脑演示：荥阳背景图和第四关3 个大字，屏幕中央是题目：先找出错误，再改正。（1）X+25=120（2）X-0.4=2.6 解：X+25+25=120+25 解：X-0.4+0.4=2.6-0.4 X=145 X=2.2（学生找出错误，并更正。）师：这两道题提醒大家要注意什么？生 1：要经过思考再决定方程的两边是同时加还是同时减。生 2：解完方程最好要验算一下。师：验算是个好办法！可以帮助大家避免类似的错误。最后一关，攻占滑州，有信心吗？生：（齐）有！师：请看题！电脑演示：在 里填上适当的数，使每个方程的解都是X=5。（1）+X=13（2）X-=2.3（3）X+=50（学生独立思考，完成填空再讲评）师：你是怎么想的？把你的方法告诉同桌同学。（同桌交流）师：谁能把你的方法介绍给大家？生 1：因为题目要求每个方程的解都是X=5，所以把题目中的X 换成 5，第（1）题就变成：+5=13，就可以算出=8。第（2）、（3）题也是用一样的方法。生 2：没错，其实这三题的未知数不是X，而是 。X 是知道的，都等于5。师：观察仔细，眼光独到！只要仔细观察、认真思考，相信任何难题你们都能解决。评析：计算教学比较枯燥、乏味，结合学生的年龄特点创设“过五关斩六将”的游戏形式，将层次反名的五道练习串联起来，使学生完善认知，增强解决问题的灵活性和综合运用知识的能力，形成灵活的解题策略，将新知的学习与应用紧密结合，从而达到学以致用的目的。让全体学生经历：模拟天平（感知天平平衡）指挥同学表演小天平（思考如何让天平平衡）看天平填空（借助天平图实现从天平平衡到等式相等的知识迁移）发现等式的基本性质（学生命名为等式原理）的全过程，让学生通过自己的观察、思考、理解和小组同学之间的合作交流、讨论辨析，用自己的知识经验和自己语言概括出等式的基本性质，为探索解方程的方法作好充分的铺垫。（3）调整简易方程的内容，突显利用等式基本性质解方程的优势。引进等式基本性质作为解简易方程的认知基础之后，一个相应的措施就是调整简易方程的基本内容，暂不出现形如a-x=b 和 a x=b 的简易方程。这是因为小学生还没有学习正负数的四则运算，利用等式的基本性质解a-x=b，方程变形的过程及其算理解释比较麻烦。至于形如a x=b 的方程，本质上是分式方程，依据等式的基本性质解需要先去分母，同样不适合在小学阶段学习。事实上，回避这两种类型的简易方程，并不影响学生列方程解决实际问题。因为当需要列出形如a-x=b 或 a x=b 的方程时，总可以根据实际问题的数量关系，列成形如 x+b=a 或 bx=a 的方程。这也体现了列方程解决问题，常常可以化逆向思维为顺向思维的优势。内容调整后，利用等式基本性质解方程的优越性就比较容易显现出来了，比如，解形如 x+a=b 与 x-a=b 的方程，都可以归结为，等式两边减去（加上）a，得 x=b-a 与 x=b+a。解形如 ax=b 与 x a=b 的方程，都可以归结为，等式两边除以（乘上）a，得 x=ba 与 x=ab。显然比原来依据逆运算关系解方程，思路更为统一。分析二：在小学数学中，利用等式的性质，不能解减数、除数含有未知数的方程。例解方程：25-4=1 解法一：25-4-25=1-25 方程两边同时减去25-4=-24 下一步要方程两边同时除以（-4），对于负数的运算，小学生没有学习过，所以无法继续进行。解法二：25-4+4=1+4 方程两边同时加上425=1+4 方程两边同时加上一个代数式4，对于小学生是由一定困难的，因为等式的性质涉及的只是同加、同减一个数。例解方程：42=6 解：42 =6 方程两边同时乘 42=6 对于小学生同样具有一定的困难，因为等式的性质只涉及到同时乘或同时除以一个不为 0 的数，而已经是一个代数式了。而上面的两个方程，根据加减乘除各部分之间的关系，很容易解出。思考：新课标规定利用等式的性质来解简易方程，本意是与中学解一元一次方程等的解法保持一致。在实践中却是事与愿违。一是造成某些简易方程在小学不能解；二是小学生用等式性质解简易方程，经常出现各种莫名其妙的错误；三是小学生熟悉的加减乘除法各部分之间的关系不能在解简易方程时得到进一步的运用和巩固。由此，我认为在小学数学中解简易方程时，我们老师要让学生掌握根据加减乘除各部分之间的关系来解方程的方法，不能盲目的听从教材中的安排。使学生切实理解、掌握加减乘除法各部分之间的数量关系，把小学的数学知识学好，也为在中学数学中的进一步徐徐打下坚实的基础。.例 3。编写意图例 3 的内容是关于地球表面海洋面积和陆地面积的计算。它的特点是问题含有两个未知数，一般通常用两个已知条件说明两个未知数的关系。如给出两个未知数的和与差，或给出两个未知数的倍数关系与两个未知数的和（或差）。具有这种数量关系的问题，在算术中称为“和差”、“和倍”、“差倍”问题。若用算术方法解，思路特殊，需要分别教学。改用方程解，都可归结为解形如axbx=c 的方程，思路统一，解法一致，学会其中之一的解法，其他几种就很容易类推解决。在实际生活中，也常常会遇到一些具有这种数量关系的问题。特别是当两个数的倍数关系用分数、百分数表示时，这样的问题就更常见了。像这样含有两个未知数的问题，在本单元之前，学生还没接触过。但它与学生以前学过的不少内容有关。比如，已知两数，可以求出它们的和、差及倍数关系，这是小学低年级的小学内容。现在，从两数的和、差及倍数关系中选取两项作已知条件，反过来求两数各是多少，这就是我们在这里讨论的问题。可见，所谓的“和差”、“和倍”、“差倍”问题，实际上是已知两数，求它们的逆思考问题。在小学中年级，曾出现过只有两个已知条件，却要两步计算解决的实际问题。如，舞蹈队有男生20 人，女生人数是男生的2 倍，舞蹈队共有学生多少人？女生比男生多多少人？这类问题的特点是选取两数之一作一个条件，再从两数的和、差及倍数关系这三个量中选取一个为另一个条件，然后求三个量中的其他两个量。不难看出，例 3 也是这类两步计算问题的逆思考问题。解答例3，首先碰到的第一个问题是设未知数。学生已有的经验是“求什么设什么”。现在面临一道题中要求两个未知数各是多少，究竟设哪个为x，另一个又怎样表示？这是必须突破的一个难点。就数学本身来说，和差倍关系的两个未知数，任选一个设为x 都是可行的。同样，另一个未知数的表示方法也有两种，即选用两个已知条件中的任何一个都能表示。比较而言，在各种解法中，把作为比较标准的未知数设为x，则用含 x 的式子表示另一个未知数就比较容易。教材采用的就是这种方法。设陆地面积为x 亿平方千米，根据两个量的倍数关系这个条件表示海洋面积，再根据另一个已知条件（两部分面积的和即地球表面积），列出方程。这里第一次出现了形如ax bx=c 的方程。考虑到学生的知识水平和接受能力，教材没有出现合并同类项等术语，而是启发学生运用乘法分配律，将原方程转化为学生已会解的形式（ab）xc。这与合并同类项的方法实质上是一致的。求出陆地面积后，接下去怎样求海洋面积？有两种选择。即任选两个已知条件中的任何一个都可以。教材以两个同学互相交流的形式，对两种算法都作了介绍。教学建议（1）教学例3 前，可以采用口答形式进行一些写出含有字母式子的填空练习。如：学校科技组有女同学x 人，男同学是女同学的3 倍，男同学有（）人，男女同学一共有（）人，男同学比女同学多（）人。还可以给出复习题：地球上的陆地面积为1.5 亿平方千米，海洋面积约为陆地面积的2.4 倍。地球的表面积是多少亿平方千米？让学生列式计算出地球表面积是5.1 亿平方千米，作为新授的铺垫和过渡。（2）教学例 3 时，可以先让学生说出已知条件，并根据已知条件画出线段图（暂不标出“x”）。再让学生说出所求问题，明确要求的未知数有两个。然后利用线段图启发学生思考，先设哪一个未知数为x，根据已知条件，另一个未知数该怎样用含有字母的式子来表示。根据学生的回答在线段图上标注x 和 2.4x。然后引导学生想：一个条件已经用来表示第二个未知数了，还可以根据哪个条件找出等量关系列方程？由此列出课本介绍的方程。然后将方程和复习题的算式进行对比：1.51.52.4 5.1 x 2.4x5.1 帮助学生沟通新旧知识的联系，进一步理解数量关系。如果学生提出不同的方法，可酌情加以比较，如：让学生观察这些方程，容易看出解方程都比较麻烦。如果学生求出陆地面积后，怎样求海洋面积，有两种方法。学生喜欢用哪一种都可以，不必强求一律。（3）例 3 的检验，应予以重视。可以提出问题：除了代入方程检验之外，还有没有其他的验算方法？学生一般能够想到，验算两个得数的和与商，看是否等于已知数。教师可以指出，在解决实际问题时，这样验算比先检查方程，再把 x 的值代入方程检验，更有效，也更简便。（4）引导学生小结时，可以着重明确以下三点：第一，两个未知数怎么办？可以先选择其中一个设为x，列方程解，再求另一个；第二，两个已知条件怎么用？可以把其中一个用来写出含有字母的式子，表示另一个未知数，另一个用来列方程；第三，怎样验算？可以通过列式计算，检验两个得数的和及倍数关系是否符合已知条件。