六年级奥数-体育比赛中的数学问题.pdf

体育比赛中的数学问题一 知识点总结1.单循环赛：每两个队之间都要比赛一场，无主客场之分。（通俗的说就是除了不和自己比赛，其他人都要比）2.双循环赛：每两个队都要比赛一场，有主客场之分。（每个队和同一个对手交换场地赛两次）一共比赛场数=（人数-1）人数3.淘汰赛：每两个队用一场比赛定胜负，经过若干轮之后，最后决出冠军。（每场比赛输者打包回家）二 做题方法1.点线图2.列表法3.极端性分析-根据个人比赛场数，猜个人最高分根据得分，猜“战况”三 例题分析例题 1：三年级四个班进行足球比赛，每两个班之间都要赛一场，每个班赛几场？一共要进行多少场比赛？解析：除了不和自己赛，和其他班都要赛，所以每个班赛4-1=3场一共进行的场数：342=6场学案 1：每个学校都要赛一场，共赛了28 场，那么有几个学校参加比赛？解析：方法一：“老土方法”：1+2+3+4+,7=28 7+1=8个方法二：（人数-1）人数=282=56 78=56，所以为 8 人例题 2：20 名羽毛球运动员参加单打比赛，淘汰赛，那么冠军一共要比赛多少场？解析：第一轮：202=10（场），10 名胜利者进入下一轮比赛第二轮：102=5（场），5 名胜利者进入下一轮比赛第三轮：52=2（场）.1人，3 名胜利者进入下一轮比赛第四轮：22=1（场）胜利者和第三轮中剩下的一人进入下一轮比赛第五轮：22=1（场）冠军一共参加了 5 场比赛。决出冠军 一共要比赛的场数：一场比赛淘汰一人，除了冠军不被淘汰20-1=19场例题 3：规定投中一球得5 分，投不进得 2 分，涛涛共投进 6 个球，得了 16 分，涛涛投中几个球？解析：方法一：（鸡兔同笼）6 个球全投进得 56=30分少得了 30-16=14 分有 1 个不进的球就少得5+2=7分，不但没得 5 分，反而倒扣 2 分所以没进的个数 147=2个进的个数 6-2=4 个方法二：5（）-2（）=16 根据个位数字特点猜数，5（4）-2（2）=16 进了 4 个学案 2：规定投进一球得3 分，投不进倒扣 1 分，如果大明得 30 分，且知他有 6 个球没进，他共进几个球？解析：方法一：（鸡兔同笼）假设 6 个没进的球也进，30+6（3+1）=54分共投 543=18个方法二：3（）-1（6）=30（30+6）3=12个 12+6=18个例题 4：A,B,C,D,E,五位同学一起比赛象棋，单循环比赛，A 已经赛了 4 盘，B 已经赛了 3盘，C赛了 2 盘，D 赛了 1 盘，此时 E赛了几盘？解析：利用点线图所以 E赛 2 盘例题 5：A,B,C,D,E,五位同学一起比赛乒乓球，单循环比赛，胜者得2 分，负者不得分，比赛结果如下：(1)A与 E并列第一(2)B是第三名(3)C和 D 并列第四名求 B 得分？解析：根据个人比赛场数猜最高分每人比赛 4 场，全胜得 8 分，有并列第一，就没有全胜，所以不可能得8 分；有并列倒数第一，所以没有全败，没有0 分；而每个人得分是个偶数，在0 和 8 之间的偶数只有 2,4,6，三个分数，三个名次，所以B 得 4 分学案 3：四名同学单循环比赛，胜者得2 分，负者得 0 分，平者各得 1 分。已知甲乙丙三人得分分别为 3 分，4 分，4 分，且丙无平局，甲有胜局，乙有平局，那么丁同学得分？解析：共比赛场数342=6场每场比赛两人共得2 分，6 场比赛共得 62=12分所以丁得分 12-2-4-4=1 分例题 6：A,B,C,D,E,进行单循环比赛，每场比赛胜者得3 分，负者得 0 分，平局各得 1 分，若 A,B,C,D分别得分为 1,4,7,8，问 E最到得几分？最少得几分？解析：根据得分猜“战况”要想 E得分最高，希望总分最高，在 3,0,1赛制中，出现一场平局，总分少1 分，所以希望平局的场数少，也就是B 的战况为 1 胜，1 平，2 负；根据平的总场数是偶数，ABCD四人平的场数之和为5 场，希望平的场数少，所以E为 1 平；胜的总场数等于负的总场数，所以 E是 2 胜 1 负 1 平，得分为 7 分要想 E得分最低，希望总分最低，平局出现的越多越好，即B 的战况是 4 平，ABCD平的场数之和为 8 平，此四人胜的场数之和恰好等于负的场数之和，所以E 的战况为 4 平，得分为 4 分。学案 4：四个球队单循环比赛，有一个队没有输球但是倒数第一，有可能吗？解析：有可能。虚线表示平局，箭头表示有胜负，箭头指向胜者A得 3 分，B,C,D 都得 4 分，所以 A没输球但倒数第一。例 1 A、B、C、D、E 五人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘，规定胜者得2 分，负者不得分，已知比赛结果如下：（1）A 与 E 并列第一名；（2）B 是第三名；（3）C 和 D 并列第四名；求 B 的得分。分析：共五名选手参加乒乓球比赛，每人都要赛4 场，每场比赛不是得2 分，就是得0 分，所以每名选手的总分一定是0、2、4、6、8 五数之一，四场都负得0 分，四场都胜得8 分，因此，B 的得分比 0 分多，比8 分少（他不是第一，也不是第四），只可能是2、4、6 三数之一。同时不要忘记“两个并列第一，两个并列第四”这两个重要条件。解 因为五个人一共比赛（452）10（场）。所以十场球一共得分（210=）20（分）。有两个并列第一，两个并列第四，决定了没有全胜的，也没有全败的，也就是没有得8 分的，也没有得 0 分的，只有2 分、4 分、6 分三种得分情况。因此，并列第一的一共得（62=）12（分）。并列第四的一共得22 4（分），第三名得20（124）=4（分）。所以，B 得 4 分。例 2 在一次射击练习中，甲、乙、丙三位战士各打了四发子弹，全部中靶，其命中情况如下：（1）每人四发子弹所命中的环数各不相同；（2）每人四发子弹所命中的总环数均为17 环；（3）乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另两发命中的环数与丙其中两发一样；（4）甲与丙只有一发环数相同；（5）每人每发子弹的最好成绩不超过7 环。问甲与丙命中的相同环数是几？分析 条件这样多，一下子满足所有的条件有困难，我们把条件归类，逐条逐步去满足。首先，我们找出符合条件（1）、（2）、（5）的所有情况：其次，再从这些情况中去掉不符合条件（3）与条件（4）的，剩下的就是全部符合题目要求的答案。解 满足（1）、（2）、（5）的只有如下四种情况：173617（环）；174517（环）；264517（环）；273517（环）；从上述四个式子中看出，式与式有数字1、7 相同；式与式有数字4 和 5 相同；式既与式有两个数字相同，又有另两个数字与式相同，式就是乙。式和式就是甲和丙。式和式相同的数字是6，所以甲和丙相同的环数是6。例 3 一场足球赛，有A、B、C、D 四队参加，每两队都赛一场。按规则，胜一场得2 分，平 1 场得一分，负一场得0 分，比赛结果，B 队得 5 分，C 队得 3 分，A 队得 1 分。所有场次共进了9 个球。B 队进球最多，共进了4 个球，C队共失了3 个球，D 队一个球也没有进。A 队和 C 队的比分是23。问 A 队与 B 队的比分是多少？解 四个队每队都赛一场，共赛6 场。每一场两队得分之和是2 分，因此所有队在各场得分之和是2612（分）。D 队的得分是125313（分）。因为 D 队一球未进，至多与其他队打平，所以D 队赛的三场，都是打平。现在，把已知的比赛成绩用一张表格来表示：每一队都赛三场，得5 分一定是胜2 场平 1 场，得 1 分是负 2 场平 1 场。C 队以 32 胜 A 队，它得 3 分，一定是胜、平、负各一场。C队与 A 队比赛，C队进了 3 球，A 队进了 2 球，这一场共进了5 个球。B 队进球数是4，因此，所有场次共进9 个球已够数，C队和 A 队在其他场都没有进球。B 队与 D 队是 0 0 打平，它进4 个球，一定是与C 队或 A 队比赛时进的，C队共失 3 球，与A队比赛失2 球，因此与 B 队比赛失（3-2=）1（球），比分是01。B 队与 A 队比赛进（41）3（球），比分是 30。所以，A 队与 B队的比分是03。例 4 A、B、C、D、E 五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A 已经赛 4 盘，B 赛 3 盘，C 赛 2 盘，D 赛一盘。问此时E同学赛了几盘？分析 可以把题目所给的条件用图表示出来，用5 个点表示5 位同学，如果两人进行了比赛，那么用线段连接起来。解 根据题意，A 已经赛 4 盘，说明了A 与 B、C、D、E各赛一盘，A 应与 B、C、D、E 点相连。D 赛 1 盘，是与A 点相连的。B 赛 3 盘，是与A、C、E 点相连的。C赛 2 盘，是与A、B 点相连的。从图上 E点的连线条数可知，E同学已赛过2 盘。想 想 练 练1.四年级三个班参加运动会，运动会上举行跳高、跳远和百米赛跑三项比赛，各取前三名。第一名得 5 分，第二名得3 分，第三名得1 分。已知一班进入前三名的人数最少，二班进入前三名的人数是一班的2 倍，而且这两个班所得总分相等，并列年级组的第一名。三班得了多少分？2.四个小朋友进行三项田径比赛。规定第一名得5 分，第二名得3 分，第 3 名得 2 分，第四名得1 分。最后统计四个人的总分情况是：甲得10 分，乙得12 分，丙得4 分，丁得7 分。试求每人每项所得分数中的一种情况。3.德国队、意大利队和荷兰队进行一次足球比赛，每一队与另外两队各赛一场。现在知道：（1）意大利队总进球数是0，并且有一场打了平局；（2）荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且它恰好胜了一场。按规则，胜一场得2 分，平一场得1 分，负一场得0 分。那么德国队得了多少分？4.A、B、C、D、E、F 六个足球队进行比赛，每队都已赛过三场。（1）A 队三战得6 分；（2）B 队三战都负；（3）C 队三战皆平；（4）D、F 两队进行过一场比赛，D 队的三场比赛积分为1 分。比赛中凡是胜一场的都得了2 分，平局的都得1 分，负一场的得0 分。你知道 E队的三场比赛都与哪个队进行的吗？比分如何？5.一场足球赛（每队赛一场）尚未结束，小马虎把已赛过的成绩列成下面表格：后来发现这张表中有两个数是错的，另外，还知道A 已与 E赛过；D 已与 B 赛过；B 没有打两场平局；进球最多的是B与 E的一场比赛。改正错误，并把这张表填全。