五年级上册奥数讲义(20220223204655).pdf

优才家教Page 1 优才家教优等生同步奥数提高五年级（下）第一讲整数问题第 1 课 数的整除一、知识要点1.整除因数、倍数2.相关基础知识点回顾（1）0 是任何整数的倍数。（2）1 是任何整数的因数。3.数整除的性质性质 1：如果 a、b都能被 m 整除，那么它们的和与差也能被m 整除。即：如果 ma，mb，那么 m（ab）。例如：如果210，26，那么 2（106），并且2（106）。性质 2：如果 a 能同时被 m、n 整除，那么a 也一定能被m 和 n 的最小公倍数整除。即：如果 ma，na，那么m，na。例如：如果636，936，那么 6，9 36。性质 3：如果 m、n 都能整除 a，且 m 和 n 互质，那么m 与 n 的积能整除a。即：如果 ma，na，且（m，n）=1，那么（mn）a。例如：如果272，972，且（2，7）=1，那么 1872。必要条件：（1）a、b、c 三个数是整数（2）b0（3）ab=c 结论：整数 a 能被整数 b 整除，或 b 能整除 a，则 a 叫做 b 的倍数，b 叫做 a 的因数。记作：ba 整数 a 除以整数b（b0）等于 c（c 是整数且没有余数），那么说a 能被 b 整除，或b 能整除 a，a 叫做 b 的倍数，b 叫做 a 的因数。优才家教Page 2 性质 4：如果 a 能整除 b，b 能整除 m，那么 a 能整除 m。即：如果 ab，bm，那么 am。例：如果714，1428，那么 728。4.数的整除特征（1）能被 2 整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、4、6、8、0），那么它必能被 2 整除。（2）能被 5 整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0 或 5，那么它必能被5 整除。（3）能被 3（或 9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或 9）整除，那么它必能被 3（或 9）整除。（4）能被 4（或 25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或 25）整除，那么它必能被 4（或 25）整除。例：1864 能否被 4 整除？解：1864=1800+64，因为 464，4 是 1864 的因数，1864 是 4 的倍数，所以41864。（5）能被 8（或 125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或 125）整除，那么它必能被 8（或 125）整除。例：29375 能否被 125 整除？解：29375=29000+375，因为 125375，125 是 375 的因数，375 是 125 的倍数，所以125 29375。（6）能被 11 整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被 11 整除，那么它必能被11 整除。(奇数位指：这个数的个位、百位、万位,；偶数位指：这个数的十位、千位、十万位,)例：判断13574 是否是 11 的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（451）-（73）0。因为 0是任何整数的倍数，所以110。因此 13574 是 11 的倍数。例：判断123456789 这九位数能否被11 整除？解：这个数奇数位上的数字之和是97531=25，偶数位上的数字之和是864220.因为25205，又因为11 5，所以 11 123456789。（7）能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11 或 13）整除。例：判断1059282 是否是 7 的倍数？解：把 1059282 分为 1059 和 282 两个数。因为1059-282 777，又因为7 777，所以 71059282。因此 1059282 是 7 的倍数。例：判断3546725 能否被 13 整除？解：把 3546725 分为 3546 和 725 两个数.因为 3546-725=2821.再把 2821 分为 2 和 821 两个数，因为8212819，又 13819，所以 132821，进而 133546725。优才家教Page 3 二、典型例题详解猜猜会是什么数？【例 1】：一个 8563、4、5 整除，这样的五位数中，最小的一个是多少？解：先将856，看做 856ab。3856ab，则 3 8+5+6+a+b，3 19+a+b，a+b=2 或 a+b=5 或 a+b=8。4856ab，则 4 ab，ab=偶数 5856ab，则 b=0 或 b=5，又 ab 为偶数，b=0 a+b=2 或 a+b=5 或 a+b=8，且 b=0，a=2 或 a=5 或 a=8 当 a=2，b=0 时，这个数为85620；当 a=5，b=0 时，这个数为85650；当 a=8，b=0 时，这个数为85680。答：五位数中最小的一个是85620。【例 2】：一本老账本上记着：7267.9解：先将67.9，看做整数a679b。72=8 9，且（8，9）=1，8a679b，且 9a679b。若 8a679b，则 879b，所以 b=2。若 9a679b，b=2，则 9a6792，9a+6+7+9+2，9a+24，所以 a 应是 3。所以这个数应是答：这笔账应是元。【例 3】：173在其中的方框中先后填入三个数字，所得到的三个四位数，依次可以被9、11、6 整除。先后填入的三个数字的和是多少？方法一 试商法解：方法二 倍数特征解：优才家教Page 4 三、课后作业1.在中填入适当的数字，使所组成的数能够被4 整除。784 7653 8633.一个六位数2356是 22 的倍数，那么这样的六位数中，最大的一个是多少？2.71450至少加上多少后就能被4 整除？4.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除 4875，那么这两个数的差是多少？5.一位采购员买了同样的72 只热水杯，可是发票不慎弄湿，单价无法辨认，总价数字也不全，只能看出：173.元。你能算出热水杯的单价吗？优才家教Page 5 第一讲整数问题第 2 课 倍数与因数（一）一、知识要点1.质数与合数质数：一个数除了1 和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数。（素数）合数：一个数除了1 和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。1 不是质数，也不是合数。2.质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：30 分解质因数。解：30=235 答：2、3、5 是 30 的质因数。分解质因数的方法：可以用短除式来求质因数100 以内的质数（要会背的）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.3.公因数与公倍数优才家教Page 6 公因数：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数。公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。一个数的因数的个数是（）的，倍数的个数是（）的。几个数的公因数的个数是（）的，公倍数的个数是（）的。4.最大公因数与最小公倍数最大公因数：在几个自然数的公因数中，最大的一个称为这几个数的最大公因数。a、b 的最大公因数=(a，b)最小公倍数：在几个自然数的公倍数中，除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数。a、b 的最小公倍数=a、b（18，30）=23=6 18，30=2 3 35=90 二、典型例题详解【例 1】五年级三个班分别有30、24、42 人参加课外科技活动，现在要把参加的人分成人数相等的小级，并且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？一共可以分成多少个小组？解：30=2 35 24=2322 42=237（30，24，42）=23=6（人）306=5（个）246=4（个）426=7（个）547=16（个）答：每组最多可以分6 人，一共可以分16 个组。【例 2】有一种长16 厘米，宽 12 厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一个正方形，最少需要多少块？1 8 3 0 2 9 3 3 5 用公有的质因数 2除用公有的质因数 3除除到两个商是互质数为止15 用短除法计算：优才家教Page 7 解：16=22 22 12=22 3 16，12=2 222 3 =48（厘米）4816=3（块）4812=4（块）34=12（块）答：最少需要12 块扣板。【例 3】甲对乙说：“我现在的年龄是你的7 倍，过几年是你的6 倍，再过若干年就分别是你的5 倍、4 倍、3倍、2 倍。”求出甲、乙现在的年龄。解：甲现在的年龄是乙的7 倍，则甲的年龄比乙大6 倍；当甲的年龄是乙的6 倍时，则甲的年龄比乙大5 倍；当甲的年龄是乙的5 倍时，则甲的年龄比乙大4 倍；当甲的年龄是乙的4 倍时，则甲的年龄比乙大3 倍；当甲的年龄是乙的3 倍时，则甲的年龄比乙大2 倍；当甲的年龄是乙的2 倍时，则甲的年龄比乙大1 倍；甲、乙的年龄差是6、5、4、3、2 的公倍数。6，5，4，3，2=6 543 2=60（岁）60（7-1）=10（岁）10+60=70（岁）答：甲的年龄是70 岁，乙的年龄是10 岁。【例 4】写出三个小于20 的自然数，它们的最大公因数为1，但两两均不互质，共有几组?解：假设这三个数分别是a、b、c a、b、c 两两不互质，且a20，b20，c20，则两两间的质因数互不相同且乘积小于20（a，b）=2 或（a，b）=3 或（a，b）=5；（a，c）=2 或（a，c）=3 或（a，c）=5；(b，c）=2 或(b，c）=3 或(b，c）=5；a，b，c 三数有可能是23=6，25=10，3 5=15，26=12，36=18。又（a，b，c）=1；（6，10，15）=1；（10，15，12）=11；（10，15，18）=答：共有三组，分别是（6、10、15），（10、12、15），（10、15、18）。三、课后习题用短除法计算：优才家教Page 8 1.求 56，36，284 的最小公倍数。3.三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别为半分钟、45 秒钟、1 分 15 秒。三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次在起点相会？5.把一张长120cm，宽 80cm 的长方形纸裁成同样大小的正方形(纸不能有剩余)，至少能裁成多少张这样的正方形纸，每张裁成的纸是多大？2.有 336 个苹果、252 个梨子、210 个桔子，用这三种水果最多可以分成多少份相同的礼物？每份礼物中，三种水果各占多少？4.有一个表，每走 9 分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃。中午 12 点时既亮灯又响铃。下次既亮灯又响铃在几点？6.用一个数去除31，61，76 都余 1，这个数最大是多少？第 3 课 倍数与因数（二）优才家教Page 9 一、知识要点1.最小公倍数与最大公因数之间的关系定理一：两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。即：如果（a，b）=d，那么（ad，bd）=1定理二：两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。即：a，b（a，b）=ab定理三：两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数二、典型例题详解【例 1】甲数是 36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数。解：设乙数是a 36 a=4288 a=428836 a=32 答：乙数是32。【练一练】甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是 90，且小数不能整除大数，求这两个数。【例2】已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？解：设这两个数分别为a、b 12621=6 6=32 或6=16 a=321=63 a=121=21 b=221=42 b=621=126 63+21=84 21+126=147 答：这两个数的和是84 或 147。【练一练】两个自然数的和是56，它们的最大公因数是 7，求这两个数。【例 3】两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个数的差。【练一练】已知两个自然数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个数。优才家教Page 10 解：设这两个自然数分别是5a、5b 5a+5b=50 a+b=10(a，b)=1 且 a+b=10 91ba或73ba当91ba时，5a=5，5b=45 5b-5a=40 当73ba时，5a=15，5b=35 5b-5a=20 答：这两个数的差是40 或 20.【例4】两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与最大公因数的差是114，求这两个自然数。解：设这两个数是A、B。且 A=am；B=bm A+B=54，则 am+bm=54 m(a+b)=54(A、B)=m；a、b 为 A、B 两数的非有公因数，(a、b)=1 A、B=mab A、B(A、B)=114，则 ma bm=114 m(ab1)=114 m(a+b)=54 且 m(ab1)=114 则 m 是 54 和 114 的公因数又（54，114）=6，6=16=23 m=1 或 m=6 或 m=2 或 m=3 如果 m=1，则 1(a+b)=54，a+b=54；1(ab 1)=114，ab=115 115=1115 或 115=523 115+154 且 5+2354 m1 如果 m=6，则 6(a+b)=54，a+b=9；6(ab 1)=114，ab=20(a、b)=1，则 20=120 或 20=45 1+20 9，4+5=9 则 m=6，a=4，b=5；A=46=24，B=56=30 如果 m=2，则 2(a+b)=54，a+b=27 2(ab 1)=114，ab=58(a、b)=1，则 58=158 或 58=229 1+5827 且 2+2927 m2（接【例4】）如果 m=3，则 3(a+b)=54，a+b=18 3(ab1)=114，ab=39 (a、b)=1，则是 39=139 或 58=313 1+3918 且 3+1316 m3 答：这两个自然数是24 和 30。【练一练】两个数的差是4，最大公因数与最小公倍数的积是252，求这两个数。三、课后作业（1）某数与 24 的最大公因数是4，最小公倍数是168，（2）已知两个自然数的最大公因数为4，最小公倍优才家教Page 11 这个数是多少？数为 120，求这两个数。（3）两个数的和是70，它们的最大公因数是7，求这两个数的差是多少？（4）已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为 60，求这两个数。（5）两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求两个数的和。（6）已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为450，求这两个自然数。（7）两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，这两个数的和是多少？（8）两个自然数的差是3，它们的最大公因数与最小公倍数的积是180，求这两个数。复习练习第 2 课（1）有一种地砖，长20 厘米，宽15 厘米，至少需优才家教Page 12 要多少块这样的地砖才能拼成一个实心的正方形？（2）一箱鸡蛋，四个四个数多3 个，五个五个数多4 个，七个七个数多6 个，这箱鸡蛋至少有多少个？（10）已知 a 与 b、a 与 c 的最大公因数分别是12 和15，a、b、c 的最小公倍数是120，求 a、b、c。（3）有一个班的同学包车旅游，如果增加一辆车，正好每辆车坐10 人，如果减少一辆车，正好每辆车坐 15 人，这个班共有多少人？（4）一条路长96 米，从一端起，每隔4 米栽一棵树（路两旁都栽）。现要再每隔6 米栽一棵，已栽上的地方不用重栽，这条路上共需新栽多少棵树？第二讲图形的面积优才家教Page 13 第 1 课 巧求图形面积一、知识要点1.基本平面图形特征及面积公式特征面积公式正方形四条边都相等。四个角都是直角。有四条对称轴。S=a2 长方形对边相等。四个角都是直角。有二条对称轴。S=ab 平行四边形两组对边平行且相等。对角相等，相邻的两个角之和为180平行四边形容易变形。S=ah 三角形两边之和大于第三条边。两边之差小于第三条边。三个角的内角和是180。有三条边和三个角，具有稳定性。S=ah2 形只有一组对边平行。中位线等于上下底和的一半。S=(a+b)h2 2.基本解题方法：由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先根据图形的基本关系，再运用分解、组合、平移、割补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。二、典型例题详解【例 1】已知平行四边表的面积是28 平方厘米，求阴影部分的面积。【练一练】如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用多少厘米铁丝？（单位：厘米）【例 2】下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米）【练一练】求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）优才家教Page 14【例 3】如图所示，甲三角形的面积比乙三角形的面积大 6 平方厘米，求CE的长度。【练一练】【例 4】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。【练一练】下面的梯形ABCD 中，下底是上底的2直角三角形BCE 的直角边 EC长 8 厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG 的面积大10 平方厘米。求CF的长。平行四边形ABCD的边长 BC=10厘米，优才家教Page 15 已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：厘米）倍，E是 AB的中点，求梯形 ABCD的面积是三角形EDB面积的多少倍？【练一练】【练一练】计算下面图形的面积。三、课后作业一 个 长 方 形 的 草坪，中间有两个人行道。高是14 求草坪的面积。(单位：厘米)32 28 B 优才家教Page 16 13.求图中阴影部 分 的 面积。单位：厘米2.5.4.梯形 ABCD的面积是45 平方厘米，高6 厘米。三角形 AED的面积是5 平方厘米，BC=10 厘米，求阴影部分的面积。6.求图形中梯形ABCD的面积。（单位：厘米）下面的梯形中，阴影部分面积是150平方厘米，求梯形的面积。正方形ABCD 的边长是 12 厘米，已知 DE是 EC长度的2 倍，求：（1）三 角 形DEF的面积。（2）CF的长。正方形ABCD 的面积是100 平方厘米，AE=8厘米，CF=6厘米，求阴影部分的面积。优才家教Page 17 第 2 课 等积变形求面积一、知识要点等底等高的三角形面积相等平行四边形如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的2 倍，大三角形高是小三角形高的。如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的3 倍，大三角形高是小三角形高的。如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的4 倍，大三角形高是小三角形高的。如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的n 倍，大三角形高是小三角形高的。如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的2 倍，大平行四边形高是小平行四边形高的。如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的3 倍，大平行四边形高是小平行四边形高的。如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的4 倍，大平行四边形高是小平行四边形高的。如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的n 倍，大平行四边形高是小平行四边形高的。二、典型例题分析【例 1】四边形ABCD中，M 为AB的中点，N 为 CD的中点，如果四边形ABCD的面积是80 平方厘米，求阴影部分BNDM 的面积是多少？【练一练】如图，六边形 ABCDEF的面积是 16 平方厘米，M、N、P、Q 分别是 AB、CD、DE、AF的中点。求图中阴影部分的面积。优才家教Page 18【例 2】如图，平行四边形 ABCD中，AE=EF=FB，AG=2CG，三角形 GEF的面积是 6 平方厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米？【练一练】如图，在一个等边三角形中任意取一点P，连接 PA、PB、PC，过 P点作三角形的垂线，E、F、G 分别为垂足。三角形ABC被分成 6 个三角形。已知三角形ABC的面积为40 平方厘米，求图中阴影部分的面积。【例3】下图中正方形ABCD的 边 长 是4 厘 米，长方 形DEFG 的长 DG=5 厘米，问长方形的宽DE为多少厘米？【练一练】两个相同的直角三角形叠放在一起，求阴影部分的面积。（单位：分米）优才家教Page 19【例 4】两个正方形拼成一个图形，其中小正方形的边长是 4厘米，求阴影部分的面积。【练一练】如图，AE=ED，AF=FCABC的面积为100 平方厘米，求阴影部分的面积。三、课后作业1.平行四边形的面积为50 平方厘米，P是其中任意一点，求阴影部分的面积。2.长方形 ABCD，三角形ABG 的面积为20 平方厘米，三角形CDQ的面积为35 平方厘米，求阴影部分的面积。优才家教Page 20 3.ABCD 是直角梯形，其中AD=12 厘米，AB=8 厘米，BC=15 厘 米，且 三 角 形ADE、四边形DEBF 及三角形 CDF的面积相等，三角形EBF（阴影部分）的面积是多少？4.如图，AD=2AB，CF=3AC，BE=4BC，ABC的面积为5 平方厘米，DEF的面积。5.如图，AB=4 厘米，BC=6厘米，AC=2CD，BE=BD，求三角形 ADE的面积。6.图中 BD=2DC，AE=BE，已知三角形ABC的面积是 18 平方厘米，求四边形 AEDC的面积是多少？第三讲分数的基本性质第 1 课 分数的认识一、知识要点1.分数的意义和性质分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。（分母表示把一个物体平均分成几份,分子是表示这样几份的数。把1 平均分成分母份，表示这样的分子份。）优才家教Page 21 分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位。分数的性质：分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0 除外），分数的大小不变。2.分数的分类真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数。真分数大于1。假分数：分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1 或等于 1。带分数：带分数就是将一个分数写成整数部分+一个真分数。带分数与假分数的互换：带分数假分数：分母不变,分子为整数部分乘以分母的积再加上原分子的和。例：753=7573=726假分数带分数：分母不变,整数部分为原分子除以分母的商,分子则为原分子除以分母的余数。例：314=3314=324带分数真分数3.计算方法：分数加减法（1）同分母分数相加减，分母不变，即分数单位不变，分子相加减，最后要化成最简分数。例：737175=7315=73（2）异分母分数相加减，先通分，即运用分数的基本性质将异分母分数转化为同分母分数，改变其分数单位而大小不变，再按同分母分数相加减法去计算，最后要化成最简分数。例：215465=301530243025=30152425=3034分数乘除法（1）分数乘整数，分母不变，分子乘整数，最后要化成最简分数。例：695=965=310（2）分数乘分数，用分子乘分子，用分母乘分母，最后要化成最简分数。例：7692=7962=214（3）分数除以整数，分母不变，如果分子是整数的倍数，则用分子除以整数，最后要化成最简分数。例：498=948=92优才家教Page 22（4）分数除以整数，分母不变，如果分子不是整数的倍数，则用这个分数乘这个整数的倒数，最后要化成最简分数。例：692=6192=271（5）分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，最后不是最简分数要化成最简分数。例：3292=2392=31二、典型例题分析【例 1】分母是 91 的真分数有多少个？最简真分数有多少个？【练一练1】分子、分母的乘积是420 的最简真分数共有多少个？【例 2】把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等于 1。（1）如果把这个分数的分母加上1，这个分数就等于98，原分数是多少？（2）如果把这个分数的分母加上2，这个分数就等于98，原分数是多少？【练一练 2】一个分数约分成最简分数是73，原分子、分母的和是90，原分数是多少？【例3】分数13673的分子和分母都减去同一个整数，所得的分数约分后是92，求那个整数是多少？【练一练3】一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数，如果分母加上4，这个分数约分后是32，原来这个分数是多少？优才家教Page 23【例 4】分数6455的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为134，求某数。【练一练4】一个分数，分子加上1 可约分为31，分子减去 1 可约分为51，求这个分数。【练一练5】分数121的分子、分母同时加一个自然数，新分数化简得一个分数21；求这个自然数。【练一练 6】487a是最简真分数，a可取的整数共有多少个？三、课后作业【1】分母是51 的真分数有多少个？最简真分数有多少个？【2】一个最简分数的分子缩小5 倍，分母扩大9 倍后是272，原分数是多少？【3】133的分子、分母同时加上多少后可以约分为31？【4】一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是43；如果分子加上124，分母加上340，那么约分后是21，求原分数是多少？优才家教Page 24【5】填空题：（列式、计算、填空）(1)一个最简真分数的分子、分母之积是30，这个最简真分数是。(2)分母是85 的真分数共有个，分母是85的最简真分数共有个。(3)一个最简真分数，把它的分母扩大5 倍，而分子缩小 4 倍，化简后是521，求这个最简真分数是。（4）一个最简真分数，分子、分母之和是15，这个最简真分数是。【6】一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数，如果分母加上3 后，这个分数约分为43，求原分数是多少？【7】分数121的分子、分母同时加同一个自然数，新分数化简后得21，求这个自然数。第 2 课 比较分数大小一、知识要点1.分数的基本性质分数的性质：分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0 除外），分数的大小不变。2.比较分数大小的基本方法 分母相同：分母相同的分数，比较分子，分子大的分数大。优才家教Page 25 分子相同：分子相同的分数，比较分母，分母小的分数大。假分数与真分数：假分数大于真分数。3.分子、分母都不同的两个分数：先通分，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。4.比较分数大小的巧算：“通分子”当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。化为小数。这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。先约分，后比较。有时已知分数不是最简分数，可以先约分。倒数比较大小。分数 m 和 n，如果m1n1，那么 mn。大分数比较大小若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母与分子相加得到的和较大的分数比较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母与分子相加得到的和较小的分数比较大。借助第三个数比较大小对于分数m 和 n，若 m-kn-k，则 mn。对于分数m 和 n，若 mk，kn，则 mn。对于分数m 和 n，若 k-mk-n，则 mn。优才家教Page 26 5.典型 8 例题【例 1】把下面每组中的分数按从大到小的顺序排列。（1）85、127、2011、60378，12，20，60=120 85=158155=12075127=1012107=120702011=620611=120666037=260237=12074120751207412070120668560371272011（2）2730、1315、1720、111230，15，20，12=60 2730=227230=54601315=413415=52601720=317320=51601112=511512=556051605260546055601720131527301112【练一练1】把下面的分数按从小到大的顺序排列：3315、2310、176、135分数175、196、3310、9730、4615中，哪一个最大？【例 2】比较7777577771和8888788883的大小17777577771=77775418888788883=88887477775488887477775777718888788883【例 3】已知a=mn，b=11mn（m，n 都是非零自然数，且 mn），a，b 的大小关系是（）A.可能 a=b B.a 一定大于b C.有时 ab D.a 一定小于b 如果 a=21，b=1211=32，3221，ba 如果 a=87，b=1817=98，9887，ba【练一练2】比较4444544443和5555955557的大小【练一练3】下列分数中最大的是（）A.999998B.9998C.99999998D.98优才家教Page 27【例 4】比72大，比31小，分子是17 的分数共有多少个？2，1，17=34 72=177172=1193431=343341=10234172=34 1192=59 1 1022=51 答：分母可以是：51，52，53，54，55，56，57，58，59 共 8 个。【练一练4式成立。5717710【练一练5】在1411、16531650、987984、8784这四个分？、数中，最大的是哪个？最小的是哪个？【练一练 6】写出三个大于73而小于74的最简真分数。【练一练7】分子是 3，比657小，但与657最接近的分数是哪一个？【练一练 8】已知195419，、为连续自然数，求 和。二、课后作业【1】将4136、6760、2924、8372、1312、5948从小到大排列，排在第三个位置上的数是多少？【2】把五个分数57、1217、2941、7099、160239按从小到大的顺序排列。优才家教Page 28【3】设 a=123456789987654321，b=20081234567892008987654321，试比较 a 与 b 的大小。【4】在下面的中填入适当的整数，使不等式成立。里应填的整数有哪些？0.25170.26【5】比较490487和7473的大小。【6】比41大，比107小，分母是 40 的最简分数有多少个？【7】比较222222221111111110与888888887444444443的大小。【8】有七个数，24.0，73，2611，442.0，6126是，其中的五个，已知从小到大排的第三个是2611，求从大到小排的第三个数。第四讲行程问题第 1 课 行程中的追及问题一、知识要点1.行程中的基本数量关系：路程=速度时间2.追及问题中的基本数量关系：优才家教Page 29 路程差（追及路程）=速度差追及时间路程差（追及路程）速度差=追及时间路程差（追及路程）追及时间=速度差3.追及问题中的应注意的规律：追赶者所用的时间=被追赶都所用的时间=追及时间二、典型例题【例 1】一辆面包车的速度是每小时60 千米，在面包车开出 30 分钟后，一辆小轿车以每小时84 千米的速度从同一地点出发沿着同一路线行驶去追赶面包车，多长时间能追上？60（3060）=30（千米）30（84-60）=1.25（小时）1.25 小时=1 小时 15 分钟答：小轿车需要1 小时 15 分钟追上面包车。解题过程中用到的公式路程差（追及路程）速度差=追及时间【练一练1】一个人骑自行车，一个人骑摩托车，两人同时从甲地出发去乙地。自行车每小时行18 千米，摩托车每小时行45 千米。自行车先出发1.5 小时，摩托车沿着同一条路线追赶自行车，追上自行车时，摩托车行了多少千米？【例2】甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地，甲车每小时行40 千米，乙车每小时行35 千米。途中甲车因故障修车用了3 小时，结果甲车比乙车迟1 小时到达目的地。两地间的路程是多少千米？35（3-1）=352=70（千米）70（40-35）=705=14（小时）4014=560（千米）答：两地间的路程是560 千米。【练一练2】红星小学组织学生步行去郊游，步行的速度是每分钟60 米，队尾的老师以每分钟150 米的速度赶到排头，然后立即返回共用的了10 分钟，学生的队伍有多长？追及时间追 及 路 程面包车小轿车追及时间先行 30 分钟优才家教Page 30【例 3】兄弟两人同时离家去上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60 米。哥哥到校门口时，发现忘了带课本，立即沿原路回家去取，行到离学校180 米处与妹妹相遇，他们家离学校有多远？1802（90-60）=36030=12（分钟）9012-180=900（米）答：他们家离学校900 米。【练一练 3】小红每分钟行80 米，小英每分行60 米，两人在同一地点同时相背而行，走了3 分钟后，小红掉头去追小英。追上小英时，两人各行了多少米？【例4】小华、小丽和小霞三人都要从甲地到乙地，早上 6 时小华和小丽两人一起从甲地出发，小华每小时走 5 千米，小丽每小时走4 千米。小霞上午8 时才从甲地出发。傍晚6 时，小华和小霞同时到达乙地。小霞什么时间追上小丽的？18-8=10（小时）8-6=2（小时）5（2+10）10=6010=6（千米/小时）42（6-4）=82=4（小时）8+4=12 答：小霞是12 点追上小丽的。【练一练4】小明从家里出发，步行去公园。10 分钟后，爸爸骑自行车从家里出发，在离家800 米的地方追上小明，发现忘了带照相机，立即回家去拿。拿到后立即追赶小明，在离家1200 米的地方又追上小明，求两人的速度各是多少？【练一练5】猎狗追赶前方15 米的野兔，猎狗步子大，它跑 5 步的路程兔子要跑8 步，但是兔子动作快，猎狗跑 3 步的时间，兔子能跑4 步，猎狗至少跑多远才能追上野兔？【练一练 6】甲乙两人练习跑步，若甲让乙先跑10 米，则甲跑 5 秒钟可追上乙；若甲让乙先跑了3 秒钟，则甲跑 6 秒钟就追上乙。问甲、乙两人的速度各是多少？优才家教Page 31 三、课后作业【1】某小学有一个300 米的环形跑道，扬扬和宁宁同时从起跑线起跑，扬扬每秒跑6 米，宁宁每秒跑4 米。问：扬扬第一次追上宁宁时两人各跑了多少米？【2】姐姐步行的速度是每分75 米，妹妹步行的速度为每分 65 米。在妹妹出发20 分钟后，姐姐出发沿同一路线去追赶妹妹，她多长时间能追上?【3】一辆卡车以每小时64 千米的速度开出1 小时 25分钟后，一辆吉普车以每小时82 千米的速度追赶卡车。在吉普车赶上卡车2分钟前，两车相距多远？【4】一辆卡车以每小时30 千米的速度从A 地驶往 B地，出发 1 小时后，一辆轿车以每小时50 千米的速度也从 A 地驶往 B 地，比卡车早半小时到达B地。A、B两地相距多远？【5】小红每分钟行80 米，小英每分钟行60 米，两人在同一地点同时相背而行，走了3 分钟后，小红掉头去追小英。追上小英时，两人各行了多少米？【6】一到队伍长450米，以每秒1.5 米的速度行进。一个战士因事需要从排尾赶到排头，并立即返回排尾。如果他的速度是每秒3 米，那么，这位战士往返共需要多少时间？优才家教Page 32【7】快、中、慢三辆汽车同时从A 地出发到B 地去，出发后 6 分钟，快车超过了一名长跑运动员，过两分钟后中车也超过去了。又过了2 分钟，慢车也超过去了。已知快车每分钟行驶1000 米，中车每分钟行驶800 米，慢车的速度是多少？【8】当甲在60 米赛跑中冲过终点时，比乙领先10米，比丙领先20 米。如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那乙到终点时将比丙领先多少米？【9】好马每天走240 里，劣马每天走150 里，劣马先走 12 天，好马几天可以追上劣马？【10】哥哥放学回家，以每小时6 千米的速度步行，18 分钟后，弟弟也从同一所学校放学回家。弟弟骑自行车以每小时15 千米的速度追哥哥。经过几分钟弟弟可以追上哥哥？