小学数学奥数基础教程(四年级)--03.pdf

小学数学奥数基础教程(四年级)本教程共30 讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1234,99100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1100299398,49525051。1100正好可以分成这样的50 对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）10025050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为 数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为 首项，最后一项称为 末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为 公差。例如：（1）1，2，3，4，5，,，100；（2）1，3，5，7，9，,，99；（3）8，15，22，29，36，,，71。其中（1）是首项为 1，末项为 100，公差为 1 的等差数列；（2）是首项为 1，末项为 99，公差为 2 的等差数列；（3）是首项为 8，末项为71，公差为 7 的等差数列。由高斯的巧算方法，得到 等差数列的求和公式：和=（首项+末项）项数 2。例 1 123,1999？分析与解：这串加数 1，2，3，,，1999 是等差数列，首项是1，末项是1999，共有 1999 个数。由等差数列求和公式可得原式=（11999）199921999000。注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例 2 111213,31？分析与解：这串加数 11，12，13，,，31 是等差数列，首项是11，末项是 31，共有 31-11121（项）。原式=（11+31）212=441。在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）公差+1，末项=首项+公差（项数-1）。例 3 3711,99？分析与解：3，7，11，,，99 是公差为 4 的等差数列，项数=（993）4125，原式=（399）2521275。例 4 求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。解：末项=253（40-1）142，和=（25142）4023340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。例 5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12 厘米2，边长是 1 根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有 8 层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。解：（1）最大三角形面积为（135,15）12（115）8212 768（厘米2）。（2）火柴棍的数目为369+,+24（324）82=108（根）。答：最大三角形的面积是768 厘米2，整个图形由 108 根火柴摆成。例 6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成 3 只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成 3 只球后放回盒子里,第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成 3 只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成 3 只球，实际上多了 2 只球。第一次多了2 只球，第二次多了 22 只球,第十次多了210 只球。因此拿了十次后，多了2122,210 2（12,10）255110（只）。加上原有的 3 只球，盒子里共有球1103113（只）。综合列式为：（3-1）（12,10）3 2（110）1023113（只）。练习 31.计算下列各题：（1）246,200；（2）171921,39；（3）581114,50；（4）3101724,101。2.求首项是 5，末项是 93，公差是 4 的等差数列的和。3.求首项是 13，公差是 5 的等差数列的前 30 项的和。4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求 100 以内除以 3 余 2 的所有数的和。6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？答案与提示 练习1.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780。2.1127。提示：项数=（93-5）4+1=23。3.2565。提示：末项=13+5（30-1）=158。4.180 次。解：（1+2+,+12）2+24=180（次）。5.1650。解：2+5+8+,+98=1650。6.45 个。提示：十位数为 1，2，,，9 的分别有 1，2，,，9 个。