小学数学奥数基础教程(四年级)--08.pdf
小学数学奥数基础教程(四年级)本教程共30 讲找规律（二）整数 a 与它本身的乘积，即aa 叫做这个数的 平方，记作 a2，即 a2aa；同样，三个 a 的乘积叫做 a 的三次方，记作 a3，即 a3aaa。一般地，n个 a 相乘，叫做 a 的 n 次方，记作 an，即本讲主要讲 an的个位数的变化规律，以及an除以某数所得余数的变化规律。因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以an的个位数只与 a 的个位数有关，而a 的个位数只有 0，1，2，,，9 共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。为了找出一个整数a 自乘 n 次后，乘积的个位数字的变化规律，我们列出下页的表格，看看a，a2，a3，a4，,的个位数字各是什么。从表看出，an的个位数字的变化规律可分为三类：（1）当 a 的个位数是 0，1，5，6 时，an的个位数仍然是 0，1，5，6。（2）当 a 的个位数是 4，9 时，随着 n 的增大，an的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中 a 的个位数是 4 时，按 4，6 的顺序循环出现；a 的个位数是 9 时，按 9，1 的顺序循环出现。（3）当 a 的个位数是 2，3，7，8 时，随着 n 的增大，an的个位数按每四个数为一周期循环出现。其中a 的个位数是 2 时，按 2，4，8，6 的顺序循环出现；a 的个位数是 3 时，按 3，9，7，1 的顺序循环出现；当a的个位数是 7 时，按 7，9，3，1 的顺序循环出现；当a 的个位数是 8 时，按 8，4，2，6 的顺序循环出现。例 1 求 67999的个位数字。分析与解：因为 67 的个位数是 7，所以 67n的个位数随着 n 的增大，按 7，9，3，1 四个数的顺序循环出现。9994249,3，所以 67999的个位数字与 73的个位数字相同，即67999的个位数字是 3。例 2 求 291+3291的个位数字。分析与解：因为 2n的个位数字按 2，4，8，6 四个数的顺序循环出现，91422,3，所以，291的个位数字与 23的个位数字相同，等于8。类似地，3n的个位数字按 3，9，7，1 四个数的顺序循环出现，291472,3，所以 3291与 33的个位数相同，等于7。最后得到 291+3291的个位数字与 8+7的个位数字相同，等于5。例 3 求 28128-2929的个位数字。解：由 128432 知，28128的个位数与 84的个位数相同，等于6。由 29214,1 知，2929的个位数与 91的个位数相同，等于9。因为 69，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为1697。例 4 求下列各除法运算所得的余数：（1）78555；（2）5553。分析与解：（1）由 55413,3 知，7855的个位数与 83的个位数相同，等于 2，所以 7855可分解为 10a2。因为 10a 能被 5 整除，所以 7855除以 5 的余数是 2。（2）因为 a3 的余数不仅仅与 a 的个位数有关，所以不能用求555的个位数的方法求解。为了寻找5n3 的余数的规律，先将5 的各次方除以 3 的余数列表如下：注意：表中除以 3 的余数并不需要计算出5n，然后再除以 3 去求，而是用上次的余数乘以5 后，再除以 3 去求。比如，52除以 3 的余数是 1，53除以 3 的余数与 15=5除以 3 的余数相同。这是因为5238+1，其中 38 能被 3 整除，而53=（38+1）5=（38）5+15，（38）5 能被 3 整除，所以 53除以 3 的余数与 15 除以 3 的余数相同。由上表看出，5n除以 3 的余数，随着 n 的增大，按 2，1 的顺序循环出现。由 552=27,1 知，5553 的余数与 513 的余数相同，等于2。例 5 某种细菌每小时分裂一次，每次 1 个细茵分裂成 3 个细菌。20 时后，将这些细菌每 7 个分为一组，还剩下几个细菌？分析与解：1 时后有 13=31（个）细菌，2 时后有 313=32（个）细菌,20 时后，有 320个细菌，所以本题相当于“求3207 的余数”。由例 4（2）的方法，将 3 的各次方除以 7 的余数列表如下：由上表看出，3n7 的余数以六个数为周期循环出现。由 2063,2 知，3207 的余数与 327 的余数相同，等于 2。所以最后还剩 2 个细菌。最后再说明一点，anb 所得余数，随着 n 的增大，必然会出现周期性变化规律，因为所得余数必然小于b，所以在 b 个数以内必会重复出现。练习 81求下列各数的个位数字：（1）3838；（2）2930；（3）6431；（4）17215。2求下列各式运算结果的个位数字：（1）92225731；（2）615+487+349；（3）469-6211；（4）3748+59610。3求下列各除法算式所得的余数：（1）51004；（2）81116；（3）4887。答案与提示 练习1.（1）4；（2）1；（3）4；（4）3。2.（1）7；（2）7；（3）8；（4）2。3.（1）1；（2）2；（3）4。提示：（1）任何数除以 4 的余数都等于这个数的后两位数除以4 的余数，5 的任何（大于 2）次方的后两位都是25。（2）8n除以 6 的余数，当 n 是奇数时等于 2，当 n 是偶数时等于 4。（3）与例 4 类似可得下表：4n除以 7 的余数，随着 n 的增大，按 4，2，1 的顺序循环出现。由883=29,1 知，4887 的余数与 417 的余数相同，是 4。练习 81.（1）4；（2）1；（3）4；（4）3。2.（1）7；（2）7；（3）8；（4）2。3.（1）1；（2）2；（3）4。提示：（1）任何数除以 4 的余数都等于这个数的后两位数除以4 的余数，5 的任何（大于 2）次方的后两位都是25。（2）8n除以 6 的余数，当 n 是奇数时等于 2，当 n 是偶数时等于 4。（3）与例 4 类似可得下表：4n除以 7 的余数，随着 n 的增大，按 4，2，1 的顺序循环出现。由883=29,1 知，4887 的余数与 417 的余数相同，是 4。
