小学数学奥数基础教程(五年级)--02(20220223233737).pdf

小学数学奥数基础教程(五年级)本教程共30 讲数字谜（二）这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例 1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相分析与解：这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个（100000+x）3=10 x+1，300000+3x=10 x+1，7x=299999，x=42857。这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。例 2 在内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。求竖式。例 3 左下方的除法竖式中只有一个8，请在内填入适当的数字，使除法竖式成立。解：竖式中除数与 8 的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位数，所以 x=112，被除数为 989112=110768。右上式为所求竖式。代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。例 4 在内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。分析与解：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）。可以看出，除数与商的后三位数的乘积是1000=2353的倍数，即除数和商的后三位数一个是23=8 的倍数，另一个是 53=125的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是 8 的倍数。又由竖式特点知 a=9，从而除数应是 96 的两位数的约数，可能的取值有96，48，32，24 和 16。因为，c=5，5 与除数的乘积仍是两位数，所以除数只能是16，进而推知 b=6。因为商的后三位数是 125 的奇数倍，只能是 125，375，625 和 875 之一，经试验只能取 375。至此，已求出除数为16，商为 6.375，故被除数为 6.37516=102。右式即为所求竖式。求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现 n 个 0，则在除数和商中，一个含有因子2n（不含因子 5），另一个含有因子 5n（不含因子 2），以此为突破口即可求解。例 5 一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖式（2），求这个五位数。分析与解：由竖式（1）可以看出被除数为10*0（见竖式（1），竖式（1）的除数为 3 或 9。在竖式（2）中，被除数的前两位数10 不能被整数整除，故除数不是2 或 5，而被除数的后两位数*0 能被除数整除，所以除数是 4，6 或 8。当竖式（1）的除数为 3 时，由竖式（1）知，a=1 或 2，所以被除数为 100*0 或 101*0，再由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖式（2）的除数为 4，被除数为 10020；当竖式（1）的除数为 9 时，由能被 9 整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和应为8。因为竖式（2）的除数只能是 4，6，8，由竖式（2）知被除数的百位数为偶数，故被除数只有10080，10260，10440和10620四种可能，最后由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被除数整除，可得竖式（2）的除数为 8，被除数为 10440。所以这个五位数是10020或 10440。练习 2 1.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的2.用代数方法求解下列竖式：3.在内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：练习 21.（1）4285；（2）461538。7(1000A+B)=6(1000BA)，化简后得 538A=461B，由于 538与 461互质，且 A，B 均为三位数，所以 A=461，B=538。所求六位数是 461538。2.（1）12481=10044；（2）11768412=9807。提示：（1）设被乘数为 a，由 8a999，81a10000，推知所以 a=124。（2）根据竖式特点知，商是9807。设除数是 a，根据竖式特点由8a100，9a100，推知所以 a=12。3.（1）先将竖式化为整数除法竖式如左下式：易知 f=2，g=0；由 g=0知 b，d 中有一个是 5，另一个是偶数而f=2，所以 b=5，进而推知 d=6；再由 d=6，f=2 知 a=2或 7，而 e=3或 4，所以 a=7；最后求出 c=5。见上页右下式。（2）先将除法竖式化为整数除法竖式如左下式：由竖式特点知 b=c=0；因为除数与 d 的乘积是 1000 的倍数，d 与 e都不为 0，所以 d 与除数中必分别含有因子23和 52，故 d=8，除数是 125的奇数倍，因此 e=5；又 f0，e=5，所以 f=g=5；由 g=5，d=8得到除数为 50008=625，再由 625a 是三位数知 a=1，所以被除数为6251008=630000，所求竖式见右上式。