小学数学奥数基础教程(六年级)--06(20220225230809).pdf

小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共30 讲工程问题（二）上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。例 1 一项工程，如果甲先做5 天，那么乙接着做 20 天可完成；如果甲先做 20 天，那么乙接着做8 天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：从上图可直观地看出：甲 15 天的工作量和乙 12 天的工作量相等，即甲 5 天的工作量等于乙4 天的工作量。于是可用“乙工作 4 天”等量替换题中“甲工作 5 天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24（天）甲、乙合做这一工程，需用的时间为例 2 一项工程，甲、乙两队合作需6 天完成，现在乙队先做7 天，然后么还要几天才能完成？分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作们把“乙先做 7 天，甲再做 4 天”的过程转化为“甲、乙合做4 天，乙再单独例 3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2 天完成，乙则要超过规定时间 3 天才能完成。如果甲、乙二人合做 2 天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？分析与解：乙单独做要超过3 天，甲、乙合做 2 天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做 2 天等于乙做 3 天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的，乙需要 10+5=15（天）。甲、乙合作需要例 4 放满一个水池的水，若同时打开1，2，3 号阀门，则 20 分钟可以完成；若同时打开2，3，4 号阀门，则 21 分钟可以完成；若同时打开1，3，4 号阀门，则 28 分钟可以完成；若同时打开1，2，4 号阀门，则30 分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4 号阀门，那么多少分钟可以完成？分析与解：同时打开 1，2，3 号阀门 1 分钟，再同时打开2，3，4号阀门 1 分钟，再同时打开1，3，4 号阀门 1分钟，再同时打开1，2，4号阀门 1 分钟，这时，1，2，3，4 号阀门各打开了 3 分钟，放水量等于一例 5 某工程由一、二、三小队合干，需要8 天完成；由二、三、四小队合干，需要 10 天完成；由一、四小队合干，需 15 天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、,的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪个队最后完成？分析与解：与例 4 类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是例 6 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流件工作，要用多少天才能完成？分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。由最后一轮完成的工作量相同，得到练习 6 1.甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。甲完成有多少个？需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天？3.加工一批零件，王师傅先做6 时李师傅再做 12 时可完成，王师傅先做 8 时李师傅再做 9 时也可完成。现在王师傅先做 2 时，剩下的两人合做，还需要多少小时？独修各需几天？5.蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依次需要 10，12，15 时。上午 8 点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午 2 点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭？6.单独完成某项工作，甲需9 时，乙需 12 时。如果按照甲、乙、甲、乙、,的顺序轮流工作，每次 1 时，那么完成这项工作需要多长时间？7.一项工程，乙单独干要 17 天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，这样交替轮流干，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙干，第二天甲干，这样交替轮流干，那么比上次轮流的做法多用半天完工。问：甲单独干需要几天？答案与提示 练习 61.360 个。2.甲 18 天，乙 12 天。3.7.2 时。解：由下页图知，王干2 时等于李干 3 时，所以单独干李需12+623=21（时），王需 2132=14（时）。所求为5.上午 9 时。6.10 时 15 分。7.8.5 天。解：如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同（见左下图）。甲乙甲乙,甲乙甲乙甲乙,甲乙甲现在乙先比甲先要多用半天，所以甲先时，完成的天数一定是奇数，于是得到右上图，其中虚线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做 1 天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做 8.5 天。