小学数学奥数基础教程(三年级)--18.pdf
小学数学奥数基础教程(三年级)本教程共30 讲第 18 讲 能被 2，5 整除的数的特征同学们都知道，自然数和 0 统称为(非负)整数。同学们还知道，两个整数相加，和仍是整数；两个整数相乘，乘积也是整数；两个整数相减，当被减数不小于减数时，差还是整数。两个整数相除时，情况就不那么简单了。如果被除数除以除数，商是整数，我们就说这个被除数能被这个除数整除；否则，就是不能整除。例如，84能被 2，3，4 整除，因为 842=42，843=28，844=21，42，28，21都是整数。而 84 不能被 5 整除，因为 845=16,4，有余数 4。也不能被 13整除，因为 8413=6,6，有余数 6。因为 0 除以任何自然数，商都是0，所以 0 能被任何自然数整除。这一讲的内容是能被2 和 5 整除的数的特征，也就是讨论什么样的数能被 2 或 5 整除。1.能被 2 整除的数的特征因为任何整数乘以2，所得乘数的个位数只有0，2，4，6，8 五种情况，所以，能被 2 整除的数的个位数一定是0，2，4，6 或 8。也就是说，凡是个位数是 0，2，4，6，8 的整数一定能被 2 整除，凡是个位数是1，3，5，7，9 的整数一定不能被2 整除。例如，38，172，960等都能被 2 整除，67，881，235 等都不能被 2整除。能被 2 整除的整数称为偶数，不能被2 整除的整数称为奇数。0，2，4，6，8，10，12，14，,就是全体偶数。1，3，5，7，9，11，13，15，,就是全体奇数。偶数和奇数有如下运算性质：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数，偶数奇数=奇数，奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数，偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数。例 1 在 1199 中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？分析与解：由于 1，2，3，4，,，197，198，199 是奇、偶数交替排列的，从小到大两两配对：(1，2)，(3，4)，,，(197，198)，还剩一个 199。共有 1982=99(对)，还剩一个奇数 199。所以奇数的个数=1982+1=100(个)，偶数的个数=1982=99(个)。因为每对中的偶数比奇数大1，99 对共大 99，而 199-99=100，所以奇数之和比偶数之和大，大100。如果按从大到小两两配对：(199，198)，(197，196)，,，(3，2)，那么怎样解呢？例 2(1)不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？(2)数(42+30-147)能被 2 整除，那么，里可填什么数？(3)下面的连乘积是偶数还是奇数？1357911131415。解：根据奇偶数的运算性质：(1)因为 524，42 是偶数，所以(524+42)是偶数。又因为 429 是奇数，所以(524+42-429)是奇数。(2)数(42+30-147)能被 2 整除，则它一定是偶数。因为 147是奇数，所以数(42+30)必是奇数。又因为其中的30 是偶数，所以，数42必为奇数。于是，里只能填奇数1，3，5，7，9。(3)1，3，5，7，9，11，13，15 都是奇数，由 13 为奇数，推知 135 为奇数,推知13579111315 为奇数。因为 14 为偶数，所以(13579111315)14为偶数，即1357911131415为偶数。由例 2 得出：(1)在全部是加、减法的运算中，若参加运算的奇数的个数是偶数，则结果是偶数；若参加运算的奇数的个数是奇数，则结果是奇数。(2)在连乘运算中，只要有一个因数是偶数，则整个乘积一定是偶数。例 3 在黑板上先写出三个自然数3，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和。照这样进行 100 次后，黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何？它们的乘积是奇数还是偶数？为什么？解：根据奇偶数的运算性质知：第一次擦后，改写得到的三个数是6，3，3，是“二奇一偶”；第二次擦后，改写得到的三个数是6，3，3 或 6，9，3 或 6，3，9，都是“二奇一偶”。以后若擦去的是偶数，则改写得到的数为二奇数之和，是偶数；若擦去的是奇数，则改写得到的数为一奇一偶之和，是奇数。总之，黑板上仍保持“二奇一偶”。所以，无论进行多少次擦去与改写，黑板上的三个数始终为“二奇一偶”。它们的乘积奇数奇数偶数=偶数。故进行 100 次后，所得的三个自然数的奇偶性为二奇数、一偶数，它们的乘积一定是偶数。2.能被 5 整除的数的特征由 05=0，25=10，45=20，65=30，85=40，,可以推想任何一个偶数乘以 5，所得乘积的个位数都是0。由 15=5，35=15，55=25，75=35，95=45，,可以推想，任何一个奇数乘以5，所得乘积的个位数都是5。因此，能被 5 整除的数的个位数一定是0 或 5。也就是说，凡是个位数是 0 或 5 的整数一定能被 5 整除；凡是个位数不是 0 或 5 的整数一定不能被 5 整除。例如，870，6275，1234567890等都能被 5 整除，264，3588等都不能被 5 整除。例 4 由 0，3，5 写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5 整除？解：因为个位数为 0 或 5 的数才能被 5 整除，所以由 0，3，5 写成的没有重复数字的三位数中，只有350，530，305 三个数能被 5 整除。例 5 下面的连乘积中，末尾有多少个0？123,2930。解：因为 25=10，所以在连乘积中，有一个因子2 和一个因子 5，末尾就有一个 0。连乘积中末尾的 0 的个数，等于 130 中因子 2 的个数与因子 5 的个数中较少的一个。而在连乘积中，因子 2 的个数比因子 5 的个数多(如 4 含两个因子 2，8 含三个因子 2)，所以，连乘积末尾0 的个数与连乘积中因子 5 的个数相同。连乘积中含因子5 的数有 5，10，15，20，25，30，这些数中共含有七个因子 5(其中 25含有两个因子 5)。所以，123,2930的积中，末尾有七个0。练习 18 1.在 20200 的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁大？大多少？2.不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：(1)12345；(2)1234567；(3)123,910；(4)135,2123；(5)13-1211-10,3-21。3.由 4，5，6 三张数字卡片能组成多少个能被2 整除的三位数？4.两个质数之和是 13，这两个质数之积是多少？5.下面的连乘积中，末尾有多少个0？202122,4950。6.用 0，1，2，3，4，5 这六个数码组成的没有重复数字的两位数中，能被 5 整除的有几个？能被2 整除的有几个？能被10 整除的有几个？答案与提示练习 18 1.解：偶数有(200-20)21=91(个)，奇数有(200-20)290(个)，偶数之和比奇数之和大19020=110。2.(1)奇数；(2)偶数；(3)奇数；(4)偶数；(5)奇数。3.6 个。提示：卡片 6 可以看成 9，能被 2 整除的有564，654，594，954，456，546。4.22。解：13 为奇数，它必是一奇一偶之和。因为质数中唯一的偶数是2，所以这两个质数中的偶数是2，奇数是 13-211，乘积为 211=22。5.9 个 0。6.有 9 个能被 5 整除；有 13 个能被 2 整除；有 5 个能被 10 整除。
