二元一次方程组竞赛题集(答案+解析).pdf

二元一次方程组竞赛题集（答案+解析）【例 1】已知方程组的解 x，y 满足方程5x-y=3，求 k 的值.【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.（）由已知方程组消去k，得 x 与 y 的关系式，再与5x-y=3 联立组成方程组求出x，y 的值，最后将x，y 的值代入方程组中任一方程即可求出k 的值.（）把 k 当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3 建立关于 k 的方程，便可求出k 的值.（）将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知 5x-y=3，所以整体代入即可求出 k 的值.把代入，得，解得k=-4.解法二：3，得17y=k-22，解法三：+，得5x-y=2k+11.又由 5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解法了.【例 2】某种商品价格为每件元，某人身边只带有元和元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品.若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出元和元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？【思考与分析】本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解.我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式.然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解.最后，比较各个解对应的x+y 的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少.解：设付出元钱的张数为x，付出元钱的张数为y，则 x，y 的取值均为自然数.依题意可得方程：2x+5y=33.因为 5y 个位上的数只可能是或，所以 2x 个位上数应为或.又因为 x 是偶数，所以x 个位上的数是，从而此方程的解为：由得 x+y=12；由得 x+y=15.所以第一种付款方式付出的张数最少.答：付款方式有种，分别是：付出张元钱和张元钱；付出张元钱和张元钱；付出张元钱和张元钱.其中第一种付款方式付出的张数最少.【例 3】解方程组【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.解：由，得 y=4 mx，把代入，得 2x+5（4mx）=8，解得（25m）x=-12，当 25m0，即 m 时，方程无解，则原方程组无解.当 25m 0，即 m 时，方程解为将代入，得故当 m 时，原方程组的解为【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同，但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况对于 x、y 的方程组中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知数，且a1与 b1、a2与 b2都至少有一个不等于零，则时，原方程组有惟一解；时，原方程组有无穷多组解；时，原方程组无解.【例 4】某中学新建了一栋4 层的教学大楼，每层楼有8 间教室，这栋大楼共有4 道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4 道门进行了训练：当同时开启一道正门和两道侧门时，2 分钟内可以通过560 名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4 分钟可以通过800 名学生.（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5 分钟内通过这4 道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有 45 名学生，问：建造的这4 道门是否符合安全规定？请说明理由.【思考与解】（1）设平均每分钟一道正门可通过x 名学生，一道侧门可以通过y 名学生.根据题意，得所以平均每分钟一道正门可以通过学生120 人，一道侧门可以通过学生80 人.（2）这栋楼最多有学生4845=1440（人）.拥挤时 5 分钟 4 道门能通过52（120+80）（1-20%）=1600（人）.因为 16001440，所以建造的4 道门符合安全规定.答:平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120 名学生、80 名学生；建造的这4 道门符合安全规定.【例 5】某水果批发市场香蕉的价格如下表：张强两次共购买香蕉50 千克（第二次多于第一次），共付款264 元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克，我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段，分别是 6 元、5 元、4 元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购买香蕉的千克数.解：设张强第一次购买香蕉x 千克，第二次购买香蕉y 千克由题意，得0 x25当 0 x20，y40 时，由题意，得当 040 时，由题意，得（与 0 x20，y40 相矛盾，不合题意，舍去）当 20 x25 时，25y30此时张强用去的款项为5x+5y=5（x+y）=550=250264（不合题意，舍去）.综合可知，张强第一次购买香蕉14 千克，第二次购买香蕉36 千克.答：张强第一次、第二次分别购买香蕉14 千克、36 千克.【反思】我们在做这道题的时候，一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事大吉了，要进行分类讨论，考虑所有的可能性，看有几种情况符合题意.【例6】用如图中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有张正方形纸板和000 张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？【思考与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数1000，长方形纸板的总数2，未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数.而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成，如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和长方形纸板，就能建立起如下的等量关系：每个竖式纸盒要用的正方形纸板数 竖式纸盒个数 +每个横式纸盒要用的正方形纸板数 横式纸盒个数=正方形纸板的总数每个竖式纸盒要用的长方形纸板数 竖式纸盒个数 +每个横式纸盒要用的长方形纸板数 横式纸盒个数=长方形纸板的总数通过观察图形，可知每个竖式纸盒分别要用张正方形纸板和张长方形纸板，每个横式纸盒分别要用张正方形纸板和张长方形纸板.解：由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系.设竖式纸盒做x 个，横式纸盒做y 个.根据题意，得 4-，得y=2000，解得 y=400.把 y=400 代入，得 x+800=1000，解得 x=200.所以方程组的解为因为 200 和 400 均为自然数，所以这个解符合题意.答：竖式纸盒做个，横式纸盒做个，恰好将库存的纸板用完.