苏教版六年级上册数学知识点(20220225233709).pdf
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苏教版六年级上册数学知识点(20220225233709).pdf
新苏教版六年级数学上册知识点总结(一)长方体和正方体长方体和正方体的特征:长方体和正方体的表面积:概念:长方体或正方体 6 个面的总面积,叫做它们的表面积计算公式:长方体表面积=(长宽+长高+宽高)2 或 S 表=(a 正方体表面积=棱长棱长 6 或 2 S=a 注:不足 6 个面的实际问题根据具体情况计算,例如鱼缸、无盖纸盒等等。体积(容积)单位进率换算:1 立方米=1000 立方分米 1 立方分米=1000 立方厘米 1m 3=1dm 3=1000cm 3 1 升=1000 毫升 1 立方分米=1 升 1 立方厘米=1 毫升1L=1000m L 1dm3=1L 1cm 3=1m L 长方体和正方体的体积(容积):概念:物体所占空间的大小叫做它们的体积(容器所能容纳其它物体的体积叫做它的容积)。计算公式:长方体体积公式=长宽高或 V 正方体体积公式=棱长棱长棱长或 3 V 长方体和正方体的体积=底面积高或 V 底h(二)分数乘法分数与整数相乘及实际问题:1.分数与整数相乘:用整数与分数的分子相乘的积作为分子,分数的分母作为分母,最后约分成最简分数。或者先将整数与分数的分母进行约分,再应用前面计算法则。注:【任何整数都可以看作为分母是 1 的分数】2.求一个数的几分之几是多少,可以用乘法计算。3.解题时可以根据表示几分之几的条件,确定单位 1 的量,想单位 1 的几分之几 是哪个数量,找出数量关系式,再根据数量关系式列式解答。分数与分数相乘及连乘:1.分数与分数相乘:用分子相乘的积作为分子,用分母相乘的积作为分母,最后约分成最简分数。2.分数连乘:通过几个分数的分子与分母直接约分再进行计算3.一个数与比 1 小的数相乘,积小于原数;一个数与比 1 大的数相乘,积大于原 数。倒数的认识:1.乘积是 1 的两个数互为倒数。2.求一个数(不为 0)的倒数,只要将这个数的分子与分母交换位置。【整数 是分母为 1 的分数】3.1 的倒数是 1,0 没有倒数。4.假分数的倒数都小于或等于 1(或者说不大于 1);真分数的倒数都大于 1。(三)分数除法分数除法:1.分数除法计算法则:甲数除以乙数(不为 0)等于甲数乘乙数的倒数。2.分数连除或乘除混合计算:可以从左向右依次计算,但一般是遇到除以一个数,把它改写成乘这个数的倒数来计算。【转化成分数的连乘来计算】3.除数大于 1,商小于被除数;除数小于 1,商大于被除数;除数等于 1,商等于被除数。4.分数除法的意义:已知一个数的几分之几是多少,求这个数?可以用列方程的方法来解,也可以直接用除法。注:在单位换算中,要弄清需要换算的单位之间的进率是多少比的认识:1.比的意义:比表示两个数相除的关系。2.比与分数、除法的关系:a:b=a b=a/b(b 0)3.比值:比的前项除以比的后项,所得的商就叫比值。注:比值是一个数,可以是整数、分数、小数,不带单位名称。4.比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0 除外),比值不变。5.最简整数比:比的前项和后项是互质数。也就是比的前项和后项除了 1 意外没 有其它公因数。6.化简:运用比的基本性质对比进行化简,方法:先把比的前、后项变成整数,再除以它们的最大公因数。注:化简比和求比值是不同的两个概念【意义不同,方法不同,结果不同】7.按比例分配问题:将一个数量按照一定比例,分成几个部分,求每个部分是多少,这类问题称为按比例分配问题。解决方法:先求出总份数,再求各部分数占总数的几分之几,转化成分数乘法来计算。(四)解决问题的策略用“替换”策略解决实际问题:问题:小明把 720 毫升果汁倒入 6 个小杯和 1 个大杯,正好都倒满,已知小杯 的容量是大杯的 1 3,小杯和大杯的容量各是多少毫升?如果把 720 毫升果汁全部倒入小杯,需要(6+3)个小杯。如果把 720 毫升果汁全部倒入大杯,需要(1+2)个大杯。用“假设”策略解决实际问题:问题:在 1 个大盒和 5 个同样的小盒中装满球,正好是 80 个,每个大盒比每个 小盒多装 8 个,大盒里装了多少个球?小盒呢?分析:假设 6 80 小,把 1 个大盒换成小盒球的总数比 80 少 8 80-8)6=12 大盒:12+8=20(五)分数四则混合运算分数四则混合运算的顺序:分数四则混合运算的顺序与整数相同。先算乘除法,后算加减法;有括号的先算括号里面的,后算括号外面的。分数四则混合运算的运算律:加法的交换律:a 加法的结合律:(a 乘法的交换律:a乘法的结合律:(a乘法的分配律:(a 稍复杂的分数乘法实际问题:1.甲占(是)乙的几分之几几分之几=甲乙;甲=乙几分之几;乙=甲几分之几;2.甲占(是)总量的几分之几,求乙?乙=总量-甲几分之几3.甲比乙多(增加、上升、提高)几分之几几分之几=(甲-乙)乙;甲=乙(1+几分之几);乙=甲(1+几分之几)4.乙比甲少(减少、下降、降低)几分之几几分之几=(甲-乙)甲;甲=乙(1-几分之几);乙=甲(1-几分之几)(六)百分数百分数的意义及读写:1.百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫百分比或百分率。2.百分数的读写:百分数不写成分数形式,先写分子,再写百分号。注:百分数后面不带单位名称。(常出现在判断题中)百分数与小数的互化:百分数与分数的互化:求一个数是另一个数的百分之几的实际问题:公式:(一个数另一个数)100%生活中常见的一些百分率:合格率合格产品数产品总数100%出勤率实际出勤人数应出勤人数100%发芽率发芽种子数试验种子总数100%成活率成活棵数种植总棵数100%出油率油的重量油料重量100%命中率命中次数总次数100%及格率及格人数参加考试人数100%纳税问题:求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少,也就是把应该纳税部分的总收入乘以税率百分之几,就求出了应纳税额。利息问题:利息=本金利率存期折扣问题:折扣=实际售价原售价 100%列方程解决稍复杂的百分数实际问题:1解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同。2用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量,找出数量间的相等关系。根据求一个数的百分之几是多少用乘法列方程求解,或者根据除法的意义,直接解答。3“已知比一个数多(少)百分之几的数是多少,求这个数”的实际问题,可 以根据数量间的相等关系列方程求解;或者根据除法的意义,直接解答。4 灵活运用本单元所学知识,解决稍复杂的百分数实际问题,沟通分数、百分 数应用题之间的联系。【典型例题】例 1、(列方程解答和倍问题)一根绳子长 48 米,截成甲、乙两段,其中乙绳长度是 甲绳的 60。甲、乙两绳各长多少米?分析与解:乙绳长度是甲绳的 60,把甲绳长度看作单位“1”。等量关系式:甲绳长度 +乙绳长度 =总长度解答:设甲绳长米,则乙绳长 60 米。+60 =48 1.6 =48 =30 60=30 60=18 答:甲绳长 30 米,则乙绳长 18 米。检验:30+18=48(米),符合甲、乙两绳共长 48 米。18 30=60,符合乙绳长度是甲绳的 60。例 2、(列方程解答差倍问题)体育馆内排球的个数是篮球的 75,篮球比排球多 6 个。篮球和排球各有多少个?分析与解:排球的个数是篮球的 75,是把篮球个数看作单位“1”。等量关系式:篮球 排球=6 个解答:设篮球有个,则排球有 75 个。-75 =6 0.25 =6 =24 75=24 0.75=18 答:篮球有 24 个,排球有 18 个。你会自己检验吗?检验:24-18=6(个),符合篮球比排球多 6 个。18 24=75,符合排球的个数是篮球的 75。点评:在列方程解答和倍、差倍问题的题目时,要注意找准单位“1”的量,通常情况 下设单位“1”的量为,再用另一个量和单位“1”之间的关系,用含有的式子表示出另一个量,最后根据它们的和或差列出方程。例 3、六年级男生比女生少 40 人,六年级女生人数相当于男生人数的 140,六年级男生有多少人?错误解法:设:女生有人,男生就有 140人。140-=40 0.4 =40 =100 140=100 1.4=140 分析与解:根据“六年级女生人数相当于男生人数的 140”,可以把男生人数看作单 位“1”的量,设男生人数为人,女生人数就是 140人,再根据“六年级男生比女生少 40 人”,可以得出数量关系式:“女生人数 男生人数 =40”,根据此数量关系式列出方程。正确解答:设男生有人,女生就有 140 人。140-=40 0.4 =40 =100 答:男生有 100 人。点评:解错此题的原因是单位“1”的量找错了,要记住找单位“1”的量时候,首先要 去找分率(百分率),因为没有分率就没有单位“1”的量,就不能看到“比”,而“比”后面的那个量就是单位“1”的量。例 4、(列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少,求这个数”的百分数实际 问题)白兔有 36 只,比灰兔少 20。灰兔有多少只?分析与解:白兔比灰兔少 20,把灰兔看作单位“1”。等量关系式:灰兔的只数 白兔比灰兔少的只数 =白兔的只数解答:设灰兔有只。-20 =36 0.8 =36 =45 答:灰兔有 45 只。检验:45 45 20 =36 或(45 36)45=20,符合题意。点评:和前面例题一样,都是去求单位“1”的量。在解题时同样要注意找准单位“1”的量,看问题求什么,确定用什么方法计算。例 6、(难点突破)某商品如果按现价 18 元出售,则亏了 25,原来成本是多少元?如果想盈利 25,应按多少元出售该商品?分析与解:不管是亏 25,还是盈利 25,单位“1”都是这件商品的成本。所以要先求这件商品的成本。18 元亏 25,说明 18 元比成本少 25,即是成本的(1-25)。盈 利 25,说明盈利的是原来成本的 25,实际售价是原来成本的(1+25)。解答:设原来成本是元。-25 =18 0.75 =18 =24 24 (1+25)=30(元)答:原来成本是 24 元,应按 30 元出售该商品。点评:通常情况下,商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的。解答这道题目的关 键是确定好单位“1”,这也是解百分数应用题时最重要的。例 7、(考点透视)水果批发部要运进一批水果,第一次运进总量的 22,第二次运进 1.5 吨,两次共运进这批水果的 62,这批水果一共有多少吨?分析与解:根据题意可以画出下面的线段图:从图中可以看出:两次一共运的吨数-第一次运的吨数 =1.5 吨,单位“1”的量是这批水果的总吨数,设这批水果一共有吨,那么两次一共运了 62 吨,第一次运进了 22 吨。解:设这批水果一共有吨。62-22 =1.5 40=1.5 =3.75 答:这批水果一共有 3.75 吨。点评:在解答稍复杂的百分数应用题时,要学会画线段图,它的好处是:使题目的条件 变得简洁,找数量关系式时更加容易、方便。画图的时候,要先找准单位“1”的量,用一根线段表示出单位“1”的量之后,再去表示其他的量。【模拟试题】(答题时间:40 分钟)一、基本训练:1、找出下列各题中的单位“1”。男生人数占女生人数 60%。男生人数比女生人数多 20%。女生人数比男生人数少 25%。加工一批零件,已完成了 80%。今年的猪肉单价比去年上涨了 80%。2、根据所给信息,说出数量间的相等关系一条路,已修了全长的 60%一种彩电,现价比原价降低 10%松树的棵数比柏树多3、看图列式。4、列式计算:(1)一个数的 75%比 30 的 25%多 1.5,求这个数。(2)一个数的 25%比它的 75%少 30,求这个数。二、解决问题:1、对比练习(1)某工厂六月份用煤 60 吨,六月份比五月份少用煤 25,五月份用煤多少吨?(2)某工厂六月份用煤 60 吨,五月份比六月份多用煤 25,五月份用煤多少吨?2、一张课桌比一把椅子贵 10 元,如果椅子的单价是课桌单价的 60%,课桌和椅子的单价各是多少元?3、果园里的梨树和苹果树共有 360 棵,其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。苹果 树和梨树各有多少棵?4、一套桌椅的价格是 78 元,其中椅子的价格是桌子的 30%。桌子和椅子的价格各是多少元?5、一条绳子,第一次剪去全长的 25%,第二次剪去全长的 35%,两次共剪去 6 米,这条绳子共长多少米?6、一条绳子,第一次剪去全长的 25%,第二次剪去全长的 35%,第二次比第一次多剪了 1 米,这条绳子长多少米?7、根据问题列式。平山茶场去年原计划种茶 20 公顷,实际种茶 25 公顷,_?实际种茶的公顷数是原计划的百分之几?计划种茶的公顷数是实际的百分之几?实际种茶的公顷数比原计划多百分之几?计划种茶的公顷数比实际少百分之几?8、根据算式填条件果园里有苹果树 200 棵,-,梨树有多少棵?20020%20020%200(1+20%)200(1-20%)200(1-20%)200(1+20%)【试题答案】一、基本训练:1、找出下列各题中的单位“1”。男生人数占女生人数 60%。把女生人数看作单位“1”男生人数比女生人数多 20%。把女生人数看作单位“1”女生人数比男生人数少 25%。把男生人数看作单位“1”加工一批零件,已完成了 80%。把一批零件看作单位“1”今年的猪肉单价比去年上涨了 80%。把去年的猪肉单价看作单位“1”2、根据所给信息,说出数量间的相等关系一条路,已修了全长的 60%全长 60%=已修一种彩电,现价比原价降低 10%原价 10%=降价原价(1-10%)=现价松树的棵数比柏树多柏树 =松树比柏树多的棵数柏树(1+)=松树3、看图列式。4、列式计算:(1)一个数的 75%比 30 的 25%多 1.5,求这个数。75 30 25%=1.5 =12(2)一个数的 25%比它的 75%少 30,求这个数。75 25%=30 =60 二、解决问题:1、对比练习(1)某工厂六月份用煤 60 吨,六月份比五月份少用煤 25,五月份用煤多少吨?解:设五月份用煤吨。25%=60 =80 (2)某工厂六月份用煤 60 吨,五月份比六月份多用煤 25,五月份用煤多少吨?60+60 25%=75(吨)2、一张课桌比一把椅子贵 10 元,如果椅子的单价是课桌单价的 60%,课桌和椅子的单价各是多少元?解:设课桌的单价是元,椅子的单价是 60%元。60%=10 =25 25 60%=15(元)或 25 10=15(元)答:课桌的单价是 25 元,椅子的单价是 15 元。3、果园里的梨树和苹果树共有 360 棵,其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。苹果 树和梨树各有多少棵?解:设梨树的棵树是棵,苹果树的棵树是 20%棵。+20%=360 =300 300 20%=60(棵)或 360 300=60(棵)答:梨树的棵树是 300 棵,苹果树的棵树是 60 棵。4、一套桌椅的价格是 78 元,其中椅子的价格是桌子的 30%。桌子和椅子的价格各是多少元?解:设课桌的单价是元,椅子的单价是 30%元。+30%=78 =60 60 30%=18(元)或 78 60=18(元)答:课桌的单价是 60 元,椅子的单价是 18 元。5、一条绳子,第一次剪去全长的 25%,第二次剪去全长的 35%,两次共剪去 6 米,这条绳子共长多少米?解:设这条绳子共长米。25%+35%=6 =10 答:这条绳子共长 10 米。6、一条绳子,第一次剪去全长的 25%,第二次剪去全长的 35%,第二次比第一次多剪了 1 米,这条绳子长多少米?解:设这条绳子共长米。35%-25%=1 =10答:这条绳子共长 10 米。7、根据问题列式。平山茶场去年原计划种茶 20 公顷,实际种茶 25 公顷,_?实际种茶的公顷数是原计划的百分之几?25 20=125%计划种茶的公顷数是实际的百分之几?20 25=80%实际种茶的公顷数比原计划多百分之几?(25 20)20=25%计划种茶的公顷数比实际少百分之几?25 20)25=20%8、根据算式填条件果园里有苹果树 200 棵,-,梨树有多少棵?20020%苹果树是梨树的 20%20020%梨树是苹果树的 20%200(1+20%)苹果树比梨树多 20%200(1-20%)苹果树比梨树少 20%200(1-20%)梨树比苹果树少 20%200(1+20%)梨树比苹果树多 20%