全国初中数学竞赛试题及答案(1998年).pdf
中国数学教育网http:/第 1 页http:/http:/一九九八年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、填空题1.设15m,那么mm1的整数部分是 .2.在直角三角形 ABC 中,两条直角边 AB,AC 的长分别为 1 厘米,2 厘米,那么直角的角平分线的长度等于厘米.3.已知013xx,那么代数式123xx的值是 .4.已知m,n是有理数,并且 方程02nmxx有一个 根是25,那么nm的值是 .5.如图,ABCD为正方形,A,E,F,G在同一条直线上,并且 AE=5 厘米,EF=3厘米,那么 FG=厘米.6.满足 19982+2m=19972+2n)19980(nm的整数对),(nm,共有个.7.设平方数2y是 11 个相继整数的平方和,则y的最小值是 .8.直角三角形ABC 中,直角边 AB 上有一点M,斜边 BC 上有一点P,已知BMPBCMP,的面积等于四边形MPCA 的面积的一半,BP=2 厘米,PC=3 厘米,那么直角三角形 ABC 的面积是 _平方厘米.9.已知正方形 ABCD的面积 35平方厘米,E,F分别为边 AB,BC上的点,AF,CE相交于点 G,并且ABF的面积为 5 平方厘米,BCE的面积为 14 平方厘米,那么四边形 BEGF 的面积是 _ 平方厘米.中国数学教育网http:/第 2 页http:/http:/共 7 页10.把 100 个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有 _ 人.11.设),(ba为实数,那么bababa222的最小值是 _.12.1,2,3,98共 98 个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_.13.在右边的加法算式中,每一个表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么 A 与 B 乘积的最大值是 _.14.直线 AB和 AC 与圆 O 分别为相切于 B,C 两点,P 为圆上一点,P到 AB,AC的距离分别为 4 厘米,6 厘米,那么 P 到 BC 的距离为厘米.15.每一本书都有一个国际书号:A B C D E F G H I J,其中 A B C D E F G H I 由九个数字排列而成,J 是检查号码.令 S=10A+9B+8C+7D+6E+5F+4G+3H+2I,r 是 S除以 11所得的余数,若 r 不等于 0 或 1,则规定 J=11-r.(若 r=0,则规定J=0;若 r=1,规定 J 用x表示)现有一本书的书号是962y707015,那么y=.第二试1.求所有正实数a,使得方程043aaxx仅有整数根.2.已知 P 为?ABCD 内一点,O为 AC 与 BD 的交点,M、N 分别为 PB,PC 的中点,Q 为 AN 与 DM 的交点,求证:(1)P,Q,O三点在一条直线上;(2)PQ=2OQ.3.试写出 5 个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.一 九 九 八 年第 一 试13 中国数学教育网http:/第 3 页http:/http:/共 7 页15m，4151511m，435451mm，31mm.2322如图，AD 为直角 A的平分线，过 B作DABE/交 CA 的延长线于点 E.EBA45BAD，1ABAE，2EB，又C D ACBE，32CEACEBAD，32232EBAD.32 2)1()(122233xxxxxxx22)1()1(22xxxxx.43 因为 m、n 为有理数，方程一根为25，那么另一个根为25，由韦达定理.得4m，1n，3nm.5316由原图AEFGEFAEEGEDBEEFAE，EFEFAEFG23163352(厘米).616 47175399522mn,47175)(mnmn.中国数学教育网http:/第 4 页http:/http:/共 7 页显然，对 3995的任意整数分拆均可得到(m,n)，故满足条件的整数对(m,n)共162222(个).711 11 个相继整数的平方和为22222)5()4()4()5(xxxxx22)10(11yx,则 y 最小时，从而12x，11y.839MBPCBA，3:1:CBAMBPSS，3:1:BABP,32BA，13AC.39133221ABCS.92720472ABCABFSSBCBF，同理54BABE,由原图，连 BG.记aSAGE，bSEGB，cSBGF，dSEGc.又由已知5cba，14dcb，解之得2728b，27100c.)(2720427128平方厘米cbSBEGF.1013 由题意，设有 n人，分苹果数分别为1,2,n2)1(321nnn100,n13，所以至多有 13 人.11-1 中国数学教育网http:/第 5 页http:/http:/bababa222bbaba2)1(22412343)21(22bbba1)1(43)21(22bba-1.当021ba，01b，即0a，1b时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1.1273 对)(22mnmnmnx(1 mn98 m,n 为整数)因为 n+m 与 n-m 同奇同偶，所以 x 是奇数或是 4 的倍数，所以 1 至 98 共 98个自然数中，满足条件的数有49+24=73个.1315 设算式 A6.35876543219)(2BA.8BA.欲令 AB 最大，取 A=5，B=3，此时 b,e为 6,8;a,c,f 为 2,4,7，故 AB 最大值为 15.1462如图，ABPM，ACPN，BCPQ.P,Q,C,N 四点共圆，P,Q,B,N 四点共圆,NPQNCQMBQMPQ180180，QNPBCPMBPMQP，MPQQPN，a c f B b e A d h+g 显然：g=1,d=9,h=0.a+c+f=10+Bb+e=9+A中国数学教育网http:/第 6 页http:/http:/共 7 页NPPQPQMP，62NPMPPQ(厘米).157 213047506778296109yS S 被 11 除所得的余数等于17 y被 11 除所得的余数.由检查号码可知，S被 11 除所得的余数是11-5=6，因此 7y被 11 除所得余数为 6-1=5,y=7 第 二 试一、设两整数根为x,y(xy)，则04,0axyayx2aya,4 x8.可推出4x，42xxa，由于 x 为整数,5x时，25a，20y；6x时，18a，12y；7x时，a 不是整数；8x时，16a，8y.于是25a或 18 或 16均为所求.说明没有说明理由，仅指出a 的每一个正确值给4 分.二、证明如原图，连 PO，设 PO 与 AN，DM 分别交于点Q,Q.在PAC中，OCAO，NCPN，Q为重心，2OQPQ在PDB中，BODO，MPBM，Q为重心，2 OQPQ这样 QQ，并且Q,Q就是 AN，DM 的交点 Q.故 P,Q,O 在一条直线上，且OQPQ2.三、1680，1692，1694，1695，1696 为满足条件的 5 个数（注：答案不唯一）中国数学教育网http:/第 7 页http:/http:/共 7 页以上 5 个数可用以下步骤找出：第一步：2,3,4 为满足要求的三个数.第二步：设 a,a+2,a+3,a+4 为满足条件的四个数，则a 可被 2,3,4整除.取a=12，得满足条件的四个数12，14，15，16.第三步：设 b,b+12,b+14,b+15,b+16.取 12,14,15,16的最小公倍数为b.即b=1680，得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696.
