2009年全国高中数学联合竞赛试题及答案.pdf

阳光家教网全国最大家教平台找家教上阳光家教网2009 年全国高中数学联合竞赛一试试题（考试时间：10月 11 日上午 800920）一、填空题：本大题共8 小题，每小题7 分，共 56 分把答案填在横线上1若函数21xfxx，且()()nnfxffffx，则(99)1f2已知直线L：90 xy和圆M：22228810 xyxy，点A在直线L上，B、C为圆M上两点，在ABC中，45BAC，AB过圆心M，则点A横坐标范围为3在坐标平面上有两个区域M和N，M为：02yyxyxN是随t变化的区域，它由不等式1txt所确定，t的取值范围是01t，设M和N的公共面积是函数f t，则ft4使不等式1111200712213annn对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为5椭圆22221xyab（0ab）上任意两点P，Q，若OPOQ，则乘积OPOQ的最小值为6若方程lg2lg1kxx仅有一个实根，那么k的取值范围是7 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）8某车站每天800900，9001000 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻810 910 830 930 8 50 9 50 概率161213一旅客 820 到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）二、解答题：本大题共3 小题，共44 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1（本小题满分14 分）设直线l：ykxm（其中k，m为整数）与椭圆2211612xy交于不同两点A，B，与双曲线221412xy交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量0ACBD，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由2（本小题满分15 分）已知p，q（0q）是实数，方程20 xpxq有两个实根，数列na满足1ap，22apq，12nnnapaqa（n3，4，）（I）求数列na的通项公式（用，表示）；（II）若1p，14q，求na的前n项和3（本小题满分15 分）求函数2713yxxx的最大值和最小值阳光家教网全国最大家教平台找家教上阳光家教网2009 年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）（考试时间：10 月 11日上午 9401210）一、如图，M，N分别为锐角三角形ABC（AB）的外接圆上弧BC、AC的中点过点C作PC/MN交圆于P点，I为ABC的内心，连接PI并延长交圆于T（I）求证：当MP MTNP NT；（II）在弧AB（不含点C）上任取一点Q（QA，T，B），记AQC，QCB的内心分别为1I，2I，求证：Q，1I，2I，T四点共圆二、求证不等式：2111ln12nkknk，n1，2，三、设k，l是给定的两个正整数求证：有无穷多个正整数mk，使得kmC与l互素四、在非负数构成39数表111213141516171819212223242526272829313233343536373839xxxxxxxxxPxxxxxxxxxxxxxxxxxx中每行的数互不相同，前 6 列中每列的三数之和为1，1728390 xxx，27x，37x，18x，38x，19x，29x均大于 1如果P的前三列构成的数表111213212223313233xxxSxxxxxx满足下面的性质（O）：对于数表P中的任意一列123kkkxxx（k1，2，9）均存在某个i1，2，3 使得minikixu1ix，2ix，3ix 求证：（I）最小值miniu1ix，2ix，3ix，i1，2，3 一定取自数表S的不同列（II）存在数表P中的唯一的一列1*2*3*kkkxxx，*k1，2，3 使得3 3数表11121*21222*31323*kkkxxxSxxxxxxTIPNMABCQ阳光家教网全国最大家教平台找家教上阳光家教网仍然具有性质（O），即对于数表P中的任意一列123kkkxxx（k1，2，9）均存在某个i1，2，3 使得minikixu1ix，2ix，*ikx.