主成分分析法的步骤和原理.pdf

（一）主成分分析法的基本思想主成分分析（Principal Component Analysis）是利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量（即主成分），其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息，且所含的信息互不重叠。2采用这种方法可以克服单一的财务指标不能真实反映公司的财务情况的缺点，引进多方面的财务指标，但又将复杂因素归结为几个主成分，使得复杂问题得以简化，同时得到更为科学、准确的财务信息。（二）主成分分析法代数模型假设用 p 个变量来描述研究对象，分别用X1，X2Xp来表示，这 p 个变量构成的 p 维随机向量为 X=(X1，X2Xp)t。设随机向量 X 的均值为，协方差矩阵为。对 X 进行线性变化，考虑原始变量的线性组合：Z1=11X1+12X2+1pXpZ2=21X1+22X2+2pXp Zp=p1X1+p2X2+ppXp主成分是不相关的线性组合Z1，Z2Zp，并且 Z1是 X1，X2Xp的线性组合中方差最大者，Z2是与 Z1不相关的线性组合中方差最大者，Zp是与 Z1，Z2Zp-1都不相关的线性组合中方差最大者。（三）主成分分析法基本步骤第一步：设估计样本数为n，选取的财务指标数为p，则由估计样本的原始数据可得矩阵 X=(xij)mp，其中 xij表示第 i 家上市公司的第 j 项财务指标数据。第二步：为了消除各项财务指标之间在量纲化和数量级上的差别，对指标数据进行标准化，得到标准化矩阵（系统自动生成）。第三步：根据标准化数据矩阵建立协方差矩阵R，是反映标准化后的数据之间相关关系密切程度的统计指标，值越大，说明有必要对数据进行主成分分析。其中，Rij（i，j=1，2，p）为原始变量 Xi与 Xj的相关系数。R为实对称矩阵（即 Rij=Rji），只需计算其上三角元素或下三角元素即可，其计算公式为：2211)()()()(jkjnkikjjkjnkikjijXXXXXXXXR第四步：根据协方差矩阵R求出特征值、主成分贡献率和累计方差贡献率，确定主成分个数。解特征方程0RE，求出特征值 i（i=1，2，p）。因为 R是正定矩阵，所以其特征值i 都为正数，将其按大小顺序排列，即12 i 0。特征值是各主成分的方差，它的大小反映了各个主成分的影响力。主成分 Zi 的贡献率 Wi=pjjj1，累计贡献率为pjjmjj11。根据选取主成分个数的原则，特征值要求大于 1 且累计贡献率达 80%-95%的特征值 1，2，m所对应的 1，2，m（m p），其中整数 m即为主成分的个数。第五步：建立初始因子载荷矩阵，解释主成分。因子载荷量是主成分Zi与原始指标 Xi的相关系数 R（Zi，Xi），揭示了主成分与各财务比率之间的相关程度，利用它可较好地解释主成分的经济意义。第六步：计算企业财务综合评分函数Fm，计算出上市公司的综合值，并进行降序排列：Fm=W1Z1+W2Z2+WiZi2 朱星宇，陈勇强.SPSS多元统计分析方法及应用M.北京：清华大学出版社，2011.241