【2009各地初中数学竞赛集锦】(3).pdf
二 00 九年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42 分，每小题7 分）1.设71a，则32312612aaa（A）A.24.B.25.C.4 710.D.4 712.2在 ABC 中，最大角 A 是最小角 C 的两倍，且AB 7，AC 8，则 BC（C）A.7 2.B.10.C.105.D.7 3.3用 x表示不大于x的最大整数，则方程22 30 xx的解的个数为（C ）A.1.B.2.C.3.D.4.4设正方形ABCD 的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（B）A.314.B.37.C.12.D.47.5如图，在矩形ABCD 中，AB 3，BC2，以 BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE，则sinCBE（D）A.63.B.23.C.13.D.1010.6设n是大于 1909 的正整数，使得19092009nn为完全平方数的n的个数是（B）A.3.B.4.C.5.D.6.二、填空题（本题满分28 分，每小题7 分）1已知t是实数，若,a b是关于x的一元二次方程2210 xxt的两个非负实根，则22(1)(1)ab的最小值是 _3_.2 设 D 是 ABC 的边 AB 上的一点，作DE/BC 交 AC 于点 E，作 DF/AC 交 BC 于点 F，已知 ADE、DBF 的面积分别为m和n，则四边形DECF 的面积为 _2 mn_.3如果实数,a b满足条件221ab，22|12|21ababa，则ab_1_.DABCE4已知,a b是正整数，且满足15152()ab是整数，则这样的有序数对(,)a b共有 _7_对.第二试（A）一（本题满分20 分）已知二次函数2(0)yxbxcc的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为 C.设 ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：P 与y轴的另一个交点为定点.（2）如果 AB 恰好为 P的直径且2ABCS，求b和c的值.解（1）易求得点C的坐标为(0,)c，设1A(,0)x，2B(,0)x，则12xxb，12x xc.设 P与y轴的另一个交点为D，由于 AB、CD 是 P 的两条相交弦，它们的交点为点O，所以 OAOBOCOD，则121x xcOA OBODOCcc.因为0c，所以点C在y轴的负半轴上，从而点 D 在y轴的正半轴上，所以点 D 为定点，它的坐标为(0,1).（2）因为 AB CD，如果 AB 恰好为 P 的直径，则C、D 关于点 O 对称，所以点C的坐标为(0,1)，即1c.又222121212()4()44ABxxxxx xbcb，所以2114 1222ABCSAB OCb，解得2 3b.二（本题满分25 分）设 CD 是直角三角形ABC 的斜边 AD 上的高，1I、2I分别是 ADC、BDC的内心，AC 3，BC4，求1I2I.解作1IEAB 于 E，2IFAB 于 F.在直角三角形ABC 中，AC3，BC4，22AB=AC+BC5.又 CDAB，由射影定理可得2AC9A D=AB5，故16BD=ABAD5，2212CD=ACAD5.因为1IE 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以1I E13(ADCDAC)25.连接 D1I、D2I，则 D1I、D2I分别是 ADC 和 BDC 的平分线，所以1IDC1IDA 2IDC2IDBFEI1I2DBAC45，故1ID2I 90，所以1ID2ID，1113I E3 25DIsinADIsin 455.同理，可求得24I F5，24 2D I5.所以1I2I2212D ID I2.三（本题满分25 分）已知,a b c为正数，满足如下两个条件：32abc14bcacababcbccaab证明：以,abc为三边长可构成一个直角三角形.证法 1将两式相乘，得()()8bcacababcabcbccaab，即222222()()()8bcacababcbccaab，即222222()()()440bcacababcbccaab，即222222()()()0bcacababcbccaab，即()()()()()()0bca bcacab cababc abcbccaab，即()()()()0bcaa bcab cabc abcabc，即222()20bcaababcabc，即22()()0bcacababc，即()()()0bcacab cababc，所以0bca或0cab或0cab，即bac或cab或cba.因此，以,abc为三边长可构成一个直角三角形.证法 2结合式，由式可得32232232214abcbccaab，变形，得222110242()4abcabc又由式得2()1024abc，即2221024 2()abcabbcca，代入式，得11024210242()4abbccaabc，即16()4096abcabbcca.3(16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc3409625632160，所以16a或16b或16c.结合式可得bac或cab或cba.因此，以,abc为三边长可构成一个直角三角形.第二试（B）一（本题满分20 分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二（本题满分25 分）已知 ABC 中，ACB 90，AB 边上的高线CH 与 ABC 的两条内角平分线AM、BN 分别交于P、Q 两点.PM、QN 的中点分别为E、F.求证：EF AB.解因为 BN 是 ABC 的平分线，所以ABNCBN.又因为 CHAB，所以CQNBQH90ABN90CBNCNB，因此CQNC.又 F 是 QN 的中点，所以CFQN，所以CFB90CHB，因此 C、F、H、B 四点共圆.又FBH=FBC，所以 FCFH，故点 F 在 CH 的中垂线上.同理可证，点E 在 CH 的中垂线上.因此 EF CH.又 AB CH，所以 EFAB.三（本题满分25 分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试（C）一（本题满分20 分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二（本题满分25 分）题目和解答与（B）卷第二题相同.三（本题满分25 分）已知,a b c为正数，满足如下两个条件：32abc14bcacababcbccaab是否存在以,abc为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法 1将两式相乘，得()()8bcacababcabcbccaab，即222222()()()8bcacababcbccaab，FQEPHNMACB即222222()()()440bcacababcbccaab，即222222()()()0bcacababcbccaab，即()()()()()()0bca bcacab cababc abcbccaab，即()()()()0bcaa bcab cabc abcabc，即222()20bcaababcabc，即22()()0bcacababc，即()()()0bcacab cababc，所以0bca或0cab或0cab，即bac或cab或cba.因此，以,abc为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90.解法 2结合式，由式可得32232232214abcbccaab，变形，得222110242()4abcabc又由式得2()1024abc，即2221024 2()abcabbcca，代入式，得11024210242()4abbccaabc，即16()4096abcabbcca.3(16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc3409625632160，所以16a或16b或16c.结合式可得bac或cab或cba.因此，以,abc为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90.
