2010全国大学生数学建模竞赛A题论文.pdf

1 储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文针对储油罐的变位识别和罐容表标定问题，通过积分、几何计算、非线性拟合、枚举法对问题进行了讨论，给出了储油罐变位参数的确定以及罐容表的标定方法。问题一中，首先根据积分的方法求出油面高度为h 时的储油量（体积）?0(?)，并且根据实验值对模型进行了修正，当储油罐以角=4.1 纵向倾斜变位时，通过体积相等假设，将高度为 h 的体积转化为变位前高度为?的体积，根据几何关系求出 h?关于h的表达式，代入修正后的体积公式?0(?)进行计算，得到变位后的体积 V(h)=?0(?)，进而求出了变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。模型与实际值的误差仅为1.9%，从而验证了模型的正确性。问题二中，储油罐中的油液体积分为中间圆柱形和两边球冠体两部分。首先，由于罐体纵向倾斜角度 未知以及发生横向偏转角度，圆柱形的体积若根据问题一中体积公式?0(?)进行近似计算，可能会造成较大误差，因此采用精确求积分的方法求解圆柱形的油液体积。然后，用积分的方法算出两边球冠体的体积，两个相加得出了储油罐的体积公式?(?)，并根据=0时的实际值对模型进行了修正。接着分别计算了纵向倾斜和横向偏转后储油量与油位高度的关系式。当同时存在纵向倾斜和横向偏转时，先对其先后顺序进行了分析，得出先纵向倾斜再横向偏转时，他们之间不会互相影响，运算比较简单。接着在先纵向倾斜再横向偏转的条件下，得到了储油量、油位高度以及变位参数 和 之间的函数关系。当储油量与油位高度的数据已知时，可以通过非线性拟合对 和 的值进行求解。但是从附件二中得不到变位后的初始储油量，只有储油量的差值，所以我们将初始储油量也作为一个需要拟合的量，引入了枚举法，通过对 和 进行枚举，得到最优的变位参数 和 以及初始储油量。将用初始储油量计算出的储油量作为储油量的真实值，计算出用 和 计算出的储油量与它的误差，得到结果仅为 0.7%，误差较小，说明变位参数 和 的准确性较高，从而验证了模型的正确性。最后根据该变位参数 和 变位时，得到油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。若问题二中变位后的初始储油量已知，可以用非线性拟合模型求出 和，用枚举法对模型进行检验，这个可以作为模型的一个改进。关键字积分枚举法非线性拟合储油罐变位罐容表标定2 1问题重述通常加油站会有若干地下储油罐，同时有标定的罐容表（罐内油位高度和储油量的对应关系），但是许多储油罐会在使用一段时间后，由于地基改变等原因，使罐体发生倾斜，导致罐容表发生改变，这时就需要对罐容表进行重新标定。（1）当储油罐为两端平头的椭圆柱体时，通过变位前和变位后的实验数据，建立模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）当储油罐主体为圆柱体、两端为球冠体时，建立罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系，通过给出的实验数据求出变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值，并用实验数据分析检验模型的正确性与方法的可靠性。2问题分析本文主要确定储油罐的变位参数以及标定罐容表。对于罐容表的标定主要依靠积分求出储油罐中油的体积，但是变位后的储油罐中油面并不平行与轴线，给积分带来很大麻烦。而且会反复的运用积分求体积，使问题复杂化。可以做一个体积相等假设，将变位后的储油量用变位前的储油量公式来计算。在标定罐容表时，由于从附件二中所给的数据中无法得出初始储油量，无法通过非线性拟合求出和，若将初始储油量作为一个未知量一起进行拟合，可以解决这一问题，但是拟合难度太大，考虑枚举法计算和。3模型假设1.不考虑温度、密度等问题对燃油体积的影响。2.问题二中计算变位后两侧球冠体的体积时，假设油面是水平的。3.储油罐内的其它器件所占的体积忽略不计。4符号说明符号说明?椭油罐横截面小椭圆的长半轴?椭油罐横截面小椭圆的短半轴?油位探针到左边封头切线间的距离?油位探针到右边封头切线间的距离?球冠体的深度?球冠体底面圆的半径?球冠体所在球体的半径?罐体纵向倾斜的角度?罐体横向偏转的角度3 5模型建立5.1 问题一5.1.1无变位时储油量与油位高度的关系由于储油罐所盛装的油面液体在不同的液位时，液体的体积有所不同。当储油罐无变位时，本文通过定积分的方法求出罐内油位高度与储油量的变化情况。现装有高度为 h 储油量的小椭圆型储油罐示意图，如图1 所示。图 1 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图储油淹没的小椭圆型储油罐其横截面为椭圆形，如图2 所示。图 2 小椭圆型储油罐横截面示意图则有?2?2+?2?2=1(1)横截面高度为dh的微面积为?=?(2)其中c满足(b)小椭圆油罐截面示意图油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05m0.4m 1.2m 1.2m 1.78m(a)小椭圆油罐正面示意图?4(?2)2?2+(?-?)2?2=1(3)即?=2?2?-?2(4)这部分油液的微体积为?0=(?+?)?=(?+?)2?2?-?2?(5)所以无变位时储油量0V与油面高度 h之间的关系式为?=2?(?+?)?2?-?2?0=2?(?+?)?-?22?-?2+?22?(1-?)|?0=?(?+?)?(?-?)2?-?2+?2?(1-?)(6)根据(6)式储油量与油面高度的关系式，可得到无变位时储油量?0与油面高度?的变化曲线，与附件1 中实际无变位时的数据比较，得到图3、图 4。图 3 无变位进油值比较(修正前)00.20.40.60.811.21.4050010001500200025003000350040004500油 位 高 度/m总油量/L实 际 值计 算 值5 图 4 无变位出油值比较(修正前)从图 3 中可以看出根据无变位时储油量与油面高度的关系式得到的计算值与实际值之间存在一定的误差，通过进行拟合发现，计算值比实际值大3.488%。分析其原因，可能是由于储油罐有一定的厚度，从而导致内壁变小；且油面都呈凸液面状，因此计算值较实际值偏大。为此，我们可做出修正以减少误差。对得到的计算值除以 1.03488，则计算值与实际值十分的贴合。修正后，计算值与实际值之间的相对误差为：进油时，0.0036%；出油时，0.0032%。从而根据无变位时储油量与油面高度的关系式和修正误差，可以得到无变位时油位高度间隔为1cm的罐容表标定值，如表一。表一罐体无变位罐容表的标定值高度/m 油量容积/L 高度/m 油量容积/L 高度/m 油量容积/L 0.00 0.00 0.41 1198.74 0.82 2891.68 0.01 5.12 0.42 1238.82 0.83 2930.74 0.02 14.43 0.43 1279.13 0.84 2969.51 0.03 26.45 0.44 1319.64 0.85 3007.98 0.04 40.62 0.45 1360.35 0.86 3046.12 0.05 56.62 0.46 1401.24 0.87 3083.93 0.06 74.24 0.47 1442.30 0.88 3121.38 0.07 93.31 0.48 1483.52 0.89 3158.47 0.08 113.71 0.49 1524.88 0.90 3195.16 0.09 135.33 0.50 1566.37 0.91 3231.45 0.10 158.08 0.51 1607.97 0.92 3267.31 0.11 181.89 0.52 1649.69 0.93 3302.74 0.12 206.70 0.53 1691.50 0.94 3337.70 0.13 232.44 0.54 1733.39 0.95 3372.17 0.14 259.07 0.55 1775.35 0.96 3406.14 00.20.40.60.811.21.4050010001500200025003000350040004500油 位 高 度/m总油量/L实 际 值计 算 值6 0.15 286.54 0.56 1817.37 0.97 3439.59 0.16 314.80 0.57 1859.44 0.98 3472.48 0.17 343.83 0.58 1901.54 0.99 3504.80 0.18 373.57 0.59 1943.67 1.00 3536.52 0.19 404.00 0.60 1985.81 1.01 3567.61 0.20 435.09 0.61 2027.95 1.02 3598.04 0.21 466.81 0.62 2070.07 1.03 3627.79 0.22 499.13 0.63 2112.18 1.04 3656.81 0.23 532.03 0.64 2154.24 1.05 3685.08 0.24 565.47 0.65 2196.26 1.06 3712.54 0.25 599.44 0.66 2238.23 1.07 3739.17 0.26 633.92 0.67 2280.12 1.08 3764.92 0.27 668.88 0.68 2321.93 1.09 3789.72 0.28 704.30 0.69 2363.64 1.10 3813.54 0.29 740.17 0.70 2405.25 1.11 3836.29 0.30 776.46 0.71 2446.74 1.12 3857.91 0.31 813.15 0.72 2488.10 1.13 3878.30 0.32 850.23 0.73 2529.31 1.14 3897.37 0.33 887.68 0.74 2570.37 1.15 3914.99 0.34 925.49 0.75 2611.26 1.16 3931.00 0.35 963.64 0.76 2651.97 1.17 3945.16 0.36 1002.10 0.77 2692.49 1.18 3957.18 0.37 1040.87 0.78 2732.79 1.19 3966.50 0.38 1079.94 0.79 2772.88 1.20 3971.62 0.39 1119.28 0.80 2812.73 0.40 1158.88 0.81 2852.34 5.1.2变位后储油量与油位高度的关系储油罐由于地基变形等原因，使罐体产生倾斜角为0.14的纵向变位时时，如图 5 所示。图 5 油罐倾斜变位示意图水平线油面7 取油面 AB的中点 C做线段 DF，使 DF过点 C并且平行储油罐的轴，可以得到图中的两个阴影部分面积相等。由于储油罐的截面是椭圆，所以图中的阴影部分的体积不相等，但是由于倾斜角不会很大，所以可以假设图中的两个阴影部分体积是相等的 1，即?2=?3(7)所以变位后的储油量为：?=?1+?2=?1+?3(8)其中(?1+?3)即为储油罐变位前的体积，这样就可以将变位后的体积转换为变位前的体积来计算。对于变位后的储油量的计算，可分为三种情况讨论：设储油罐在变位情况下所显示的油位高度为h时，油位上任一点沿与储油罐平行的方向与水平线交点的距离为g，储油罐转换为变位前的油面高度值为?。1.当0?(?+?)?时，纵向倾斜储油罐液面如图6 所示。?=?22(?+?)?(9)图 6 倾斜变位情况一2.当(?+?)?2?时，纵向倾斜储油罐液面如图8 所示。?=2?+(?+?)?-?(13)油面油面8?=?22(?+?)?(14)?=?-?(15)?=?0(2?)-?0(?)(16)图 8 倾斜变位情况三根据以上三种情况的讨论，可以得到变位后储油量V 与油位高度 h的关系曲线，根据 5.1.1 中提到的修正方法进行修正（由于容器一样，油液的表面积相差不大，故可认为无变位和变位的修正值相同），结合附件 1 中的实际数据作比较，得到图 9、图 10。图 9 倾斜变位进油值比较0.40.50.60.70.80.911.15001000150020002500300035004000油 位 高 度/m总油量/L实 际 值计 算 值油面9 图 10 倾斜变位出油值比较从图 9、图 10 中可以看出，变位后的数学模型与实验数据基本吻合，从而可以根据储油量与油位高度的关系式，得出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值，如表二。表二罐体变位后的罐容表标定值高度/m 油量容积/L 高度/m 油量容积/L 高度/m 油量容积/L 0.15 152.50 0.50 1325.64 0.85 2773.29 0.16 174.18 0.51 1366.20 0.86 2812.94 0.17 197.12 0.52 1406.94 0.87 2852.34 0.18 221.19 0.53 1447.85 0.88 2891.47 0.19 246.29 0.54 1488.92 0.89 2930.32 0.20 272.36 0.55 1530.13 0.90 2968.87 0.21 299.32 0.56 1571.47 0.91 3007.11 0.22 327.13 0.57 1612.93 0.92 3045.02 0.23 355.73 0.58 1654.50 0.93 3082.59 0.24 385.10 0.59 1696.16 0.94 3119.79 0.25 415.18 0.60 1737.91 0.95 3156.62 0.26 445.94 0.61 1779.72 0.96 3193.05 0.27 477.35 0.62 1821.59 0.97 3229.06 0.28 509.38 0.63 1863.51 0.98 3264.64 0.29 542.00 0.64 1905.47 0.99 3299.77 0.30 575.18 0.65 1947.44 1.00 3334.42 0.31 608.91 0.66 1989.43 1.01 3368.57 0.32 643.15 0.67 2031.42 1.02 3402.20 0.33 677.88 0.68 2073.39 1.03 3435.29 0.34 713.09 0.69 2115.34 1.04 3467.81 0.40.50.60.70.80.911.1500100015002000250030003500油 位 高 度/m总油量/L实 际 值计 算 值10 0.35 748.74 0.70 2157.25 1.05 3499.74 0.36 784.83 0.71 2199.12 1.06 3531.04 0.37 821.33 0.72 2240.92 1.07 3561.68 0.38 858.22 0.73 2282.65 1.08 3591.64 0.39 895.49 0.74 2324.30 1.09 3620.88 0.40 933.11 0.75 2365.85 1.10 3649.35 0.41 971.08 0.76 2407.29 1.11 3677.01 0.42 1009.38 0.77 2448.61 1.12 3703.82 0.43 1047.98 0.78 2489.80 1.13 3729.73 0.44 1086.88 0.79 2530.84 1.14 3754.66 0.45 1126.06 0.80 2571.72 1.15 3778.54 0.46 1165.50 0.81 2612.43 1.16 3801.27 0.47 1205.20 0.82 2652.96 1.17 3822.72 0.48 1245.13 0.83 2693.28 0.49 1285.28 0.84 2733.40 从表一和表二中，我们可以看出，罐体变位后，随着油位高度的增加，罐容表定的储油量比无变位时的略小。5.2 问题二5.2.1纵向倾斜角度为时储油量与油位高度的关系实际的储油罐可分为三部分，左右两个球冠体以及中间的圆柱体。则储油量V 可以表示为?=?中+?左+?右(17)其中?左左边球冠体中的油液体积；?右右边球冠体中的油液体积；?中中间圆柱体中的油液体积。中间圆柱体中的油液体积?中的求法，可以参考问题一中的椭圆柱体体积的求法，令?=?=?，即可求出。但是由于储油罐纵向倾斜角度 未知，且有横向偏斜角度的影响，如果仍旧按照问题一中的求法求解?中，可能会造成较大误差，因此，本文对问题二的求解采用精确求解?中的方法。圆柱体的横截面如图11 所示：11 图 11 圆柱体的横截面当油位高为?时，油液的截面积?为?=2?2-(?-?)2?(18)则?=2?2-(?-?)2?0=2?-?22?-?2+?22?(1-?)|?0=(?-?)2?-?2+?2?(1-?)(19)从而中间圆柱体中油液的体积?中为?中=?(20)同样可设储油罐在纵向倾斜角度为，油位探针所显示的油位高度为h时，油位上任一点沿与储油罐平行的方向与水平线交点的距离为g，与圆柱体底部的交点距离为 t，则有?=?-?(21)对于中间圆柱体油液体积的计算，同样可分为三种情况讨论：1.当0?(?+?)?时，中间圆柱体油液面如图12 所示：?12 图 12 储油罐纵向倾斜变位后示意图令L=?，则中间圆柱体油液体积?中满足?中=?(?)?(22)?中=1?0(?-?)2?-?2+?2arccos(1-?)?(23)2.当(?+?)?2?时，可以用圆柱体的总体积减去剩余的体积，即得到圆柱体中油液的体积，公式为?中=?2(?+?)-1?0(?-?)2?-?2+?2arccos(1-?)?(25)其中?=2?+(?+?)?-?对于左右两个球冠体中的油液体积?左和?右，可以通过积分求解。取油位水平且高度为h 的球冠体作为研究对象，以球冠体所在的球心为原点，垂直纸面方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴，水平方向为 z 轴建立直角坐标系，如图14。图 14 坐标系的建立其标准方程为?2+?2+?2=?2(26)其中 R为球体的半径，满足方程(?-?)2+?2=?2(27)在 XOY 平面上的投影方程为?2+?2=?2(28)取 XOY 平面上的微面积 dxdy，则微体积 d?可以表示为?=?2-?2-?2-(?-?)?(29)则x z y 14?=?2-?2-?2-(?-?)d?d?=?-?-?(?2-?2)-?2-(?-?)?2-?2-?2-?2=2?-?-?(?2-?2)-?2-(?-?)?2-?20=2?-?-?(?2-?2)-?2?-2(?-?)2?2-?2?-?-?2-?20(30)令?=(?2-?2)?0?2得?=(R2-y2)arccosR-cR2-y2-(R-c)(R2-y2)-(R-c)2dyh-r-r(31)当由于地基变形等原因，储油罐纵向倾斜角度为 时，由于 一般较小且两端球冠体的厚度 d 不大，故可认为两端球冠体的油位高度近似等于圆柱体两边的油位高度，从而简化计算。因此，可以得到纵向倾斜角度为 时储油量 V与油位高度 h 之间的函数关系式，可分为三种情况：1、当0?(?+?)?时，?=?1+?2(?)(32)2、当(?+?)?2?时，?=?1+?2(2?)+?2(?)(34)其中?=?-（?+?)?5.2.2误差修正根据 5.2.1 纵向倾斜角度为?时，储油量 V与油位探针所显示的油位高度h的关系，令?=0，即罐体无变位时储油量V与油位探针显示的油位高度h 的关系?=(?+?)?(?)+2?(?)(35)根据上式求得，无变位时油位探针显示的油位高度h 对应的储油量 V与实际值比较，如图 15 15 图 15 无变位罐容比较(修正前)从图中可以看出根据无变位时储油量与油面高度的关系式得到的计算值与实际值之间存在一定的误差，且经计算得计算值与实际值的相对误差基本上都是3.400%，分析其原因，可能是由于实际中的储油罐与问题一中的储油罐不同，例如表面积大些，使得误差相对小些，为此，我们可作出1.03400%的修正误差。5.2.3横向偏转角度?时储油量与油位高度的关系当储油罐发生横向倾斜偏转，如图16。图 16 横向偏转倾斜后正截面图由于罐体正截面是一个圆，因此罐内油液的几何外形没有变化，只是油位探针随着储油罐的偏转而发生了一些偏移，此时油位探针显示的高度并不是油面的00.511.522.5301234567x 104油 位 高 度/m总油量/L实 际 值计 算 值地平线地平线垂直线油位探针油16 实际高度。只要根据油位探针与实际高度之间的几何关系求出实际高度，即可根据以上结论算出储油量。根据图中的几何关系，可以得出横向偏转角度为?时，油位探针显示的油位高度 h与未发生横向偏转时油位探针显示的高度?之间的关系式为?=?+?-?5.2.4储油量与油位高度及变位参数之间的关系由于地基变形等原因，储油罐的位置会发生变位，纵向倾斜角度为，横向偏转角度为 。为求得出油量与油位高度及变位参数之间的关系，我们可以对罐体进行先纵斜后横偏，或者是先横偏后纵斜。首先对纵向倾斜和横向倾斜的先后顺序进行讨论。当先进行横向倾斜时，倾斜后油位探针的方向不是竖直方向，而在纵向倾斜时必须要求探针的方向必须是竖直方向，所以这种方案排除。若先进行纵向变形，虽然油位探针方向不是竖直的，但是在横向变形时是取储油罐与油位探针同时偏移，而取油位探针这一横截面是保持不变的，所以先纵向倾斜对横向倾斜没有影响，该方案可行。因此，本文让储油量先纵向倾斜角度，再横向偏转角度 。先纵向倾斜角度 ，储油量 V与油位高度 h?（横向偏转前）和纵向倾斜角度 之间的关系式可由5.2.1求得；再横向偏转角度 ，油位探针显示的油位高度h与横向偏转前的油位高度 h?的关系式可由 5.2.3 求得，从而可以得到储油量V 与油位探针显示的油位高度h 以及变位参数 和 的关系：?=?(?-?+?)(36)说明 V(h)是纵向倾斜后高度h 和储油量的关系式，其中包含纵向倾斜角。V(h)表达式在前文提过，只是比较复杂，这里不重复叙述。5.2.5储油罐变位参数的确定当知道了储油罐油位高度为h 的储油量?(?)后，根据式(36)通过非线性拟合即可求出变位参数 和 2。但是从附件二中我们无法得到初始的储油量（F 中所列的数据是变位前的储油量和这一问无关），只能得到储油量的差量，因为储油罐变位后会在下方形成一个凸起的体积，这块体积中储油量随高度的变化与上面的部分完全不同，所以根据已知的数据我们无法计算出储油罐油位高度为h的储油量?(?)。为了解决这一问题，我们引入了枚举法求解。因为当给定 和 后，就可以根据 和 计算出储油量?(?)，计算出初始的储油量?(2632.23)，这样就可以将附件二中的出油量那一组的数据换位储油罐的储油量?(?)。比较计算值?(?)与实际值?(?)之间的误差，就可以得出 和 的正确性。具体算法如下：1=0,=0，通过式*，计算出初始的储油量?(2632.23)。2根据初始的储油量以及储油量的差值计算出附件中E 那一列高度时的储油量，作为实际值。17 3根据式*计算出 E那一列高度时的储油量，作为计算值。计算计算值与实际值之间的误差。4和 分别按照步长为 0.01 从 0 到 10 进行枚举，误差最小的那一组中的和 值既为准确值。根据枚举结果可以得出当=2.10，=4.49时，误差最小，最小误差为：0.7%。将=2.10，=4.49代入式(36)中可得油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值：表三 罐容表标定值高度/m 油量容积/L 高度/m 油量容积/L 高度/m 油量容积/L 0.30 2236.77 1.20 21960.01 2.10 46774.79 0.40 3717.39 1.30 24692.77 2.20 49329.26 0.50 5448.77 1.40 27467.48 2.30 51782.68 0.60 7388.88 1.50 30268.64 2.40 54115.96 0.70 9506.49 1.60 33080.97 2.50 56308.10 0.80 11776.02 1.70 35889.28 2.60 58335.33 0.90 14175.30 1.80 38678.37 2.70 60169.47 1.00 16684.43 1.90 41432.86 2.80 61774.58 1.10 19285.08 2.00 44137.05 2.90 63097.59 6模型评价6.1 优点：（1）问题一中得出变位前的储油量的模型后，通过实验对其进行修正，并说明修正原因，比较符合事实，而且误差较小。（2）先计算出变位前的体积，然后将变位后的体积等价为变位前的体积，通过几何关系求出两个高度之间的关系，代入变位前的体积公式中计算，避免了反复积分的麻烦。6.2 缺点从附件二中给出来的数据我们无法求出初始储油量，所以不能用非线性拟合进行求解，而采用枚举法。当给定初始储油量后，枚举法可以作为模型检验。7参考文献1 李致荣，椭圆柱体卧式油罐容积的计算，数学的实践与认识，1977，2-117-26。2 姜启源，谢金星，叶俊等，数学模型，北京：高等教育出版社，2003年。