全国初中数学竞赛试题及答案(2001年).pdf
收集整理：陈志龙mailto:2001 年全国初中数学联赛一、选择题（每小题7 分，共 42 分）1、a，b，c 为有理数，且等式62532cba成立，则 2a+999b+1001c 的值是（）（A）1999（B）2000（C）2001（D）不能确定2、若1ab，且有 5a2+2001a+9=0 及05200192bb，则ba的值是（）（A）59（B）95（C）52001（D）920013、已知在 ABC 中，ACB=900，ABC=150，BC=1，则 AC 的长为（）（A）32（B）32（C）30（D）234、如图，在 ABC 中，D 是边 AC 上的一点，下面四种情况中，ABDACB不一定成立的情况是（）（A）BDABBCAD（B）ACADAB2（C）ABD=ACB（D）BDACBCAB5、在实数范围内，一元二次方程02cbxax的根为aacbbx242；在ABC 中，若222ABBCAC，则ABC 是锐角三角形；在 ABC和111CBA中，a，b，c 分别为 ABC 的三边，111,cba分别为111CBA的三边，若111,ccbbaa，则 ABC的面积 S大于111CBA的面积1S。以上三个命题中，假命题的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）3 6、某商场对顾客实行优惠，规定：如一次购物不超过200 元，则不予折扣；如一次购物超过 200 元但不超过 500 元的，按标价给予九折优惠；如一次购物超过500元的，其中 500 元按第条给予优惠，超过500 元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款 168 元和 423 元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（）（A）522.8 元（B）510.4 元（C）560.4 元（D）472.8 二、填空题（每小题7 分，共 28 分）1、已知点 P 在直角坐标系中的坐标为（0，1），O 为坐标原点，QPO=1500，且 P到 Q 的距离为 2，则 Q 的坐标为。2、已知半径分别为1 和 2 的两个圆外切于点P，则点 P 到两圆外公切线的距离为。3、已知yx,是正整数，并且120,2322xyxyxxyy，则22yx=。4、一个正整数，若分别加上100 和 168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为。三、解答题（共 70 分）1、在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线baxy上收集整理：陈志龙mailto:横坐标为 0、1、2 的点分别为 D、E、F。试求ba,的值使得 AD2+BE2+CF2达到最大值。（20分）（1）证明：若x取任意整数时，二次函数cbxaxy2总取整数值，那么cbaa,2都是整数；（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25 分）3、如图，D，E 是ABC 边 BC 上的两点，F 是 BC 延长线上的一点，DAE=CAF。（1）判断 ABD 的外接圆与 AEC 的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若ABD 的外接圆的半径的2倍，BC=6，AB=4，求 BE 的长。解答题：1、如图，EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和 FH 所夹的锐角为，且BEG 与CFH 都是锐角。已知 EG=k，FH=l，四边形 EFGH 的面积为 S。（1）求证：sin=klS2；（2）试用Slk,来表示正方形的面积。2、求所有的正整数a，b，c，使得关于 x 的方程0232baxx，0232cbxx，0232acxx的所有的根都是正整数。3、在锐角 ABC 中，ADBC，D 为垂足，DEAC，E 为垂足，DFAB，F 为垂足。O 为ABC 的外心。求证：（1）AEFABC；（2）AOEF4、如图，在四边形ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，直线l平行于 BD，且与 AB、DC、BC、AD 及 AC 的延长线分别相交于点M、N、R、S和 P。求证：PM PNPR PSABCDEFABCDEFGH|OlABDMNPOCRS
