新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分.pdf
新人教版八年级下册勾股定理典型例习题一、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例.在ABC中，90C已知6AC，8BC求AB的长已知17AB，15AC，求 BC 的长分析：直接应用勾股定理222abc解：2210ABACBC228BCABAC题型二：利用勾股定理测量长度例题 1 如果梯子的底端离建筑物9 米，那么15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理AC2+BC2=AB2,即 AC2+92=152,所以 AC2=144,所以 AC=12.例题 2如图（8），水池中离岸边D点 1.5 米的 C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.解析：同例题1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2.由题意可知 ACD中,ACD=90,在 RtACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图 2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2设水深 AC=x 米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5 x2+1.52=（x+0.5）2 解之得 x=2.故水深为2 米.题型三：勾股定理和逆定理并用例题 3 如图 3，正方形 ABCD 中，E是 BC边上的中点，F 是 AB上一点，且ABFB41那么 DEF是直角三角形吗？为什么？CBDA解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由ABFB41可以设 AB=4 a，那么 BE=CE=2a,AF=3 a,BF=a,那么在 Rt AFD、RtBEF和 Rt CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和 DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF是否是直角三角形。详细解题步骤如下：解：设正方形ABCD 的边长为4a,则 BE=CE=2a,AF=3 a,BF=a 在 RtCDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2 同理 EF2=5a2,DF2=25a2 在 DEF中，EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2 DEF是直角三角形，且DEF=90 .注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型四：利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4，已知长方形ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD上取一点E，将 ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求 CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例题 5 如图 5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和 CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与 AB边垂直吗？怎样去验证AD边与 CD边是否垂直？解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形 ABCD 表示桌面形状，在AB上截取 AM=12cm,在 AD上截取 AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结 MN，测量 MN的长度。如果 MN=15,则 AM2+AN2=MN2,所以 AD边与 AB边垂直；如果 MN=a15,则 92+122=81+144=225,a2225,即 92+122 a2，所以 A不是直角。利用勾股定理解决实际问题例题 6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上，任何东西只要移至5 米以内，灯就自动打开，一个身高1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5 米，可想而知应该是头先距离灯5 米。转化为数学模型，如图6 所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BCMN,BC AN当头（B点）距离A有 5 米时，求BC的长度。已知AN=4.5 米,所以 AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。题型六：旋转问题：例 1、如图，ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与 AC P重合，若 AP=3，求 PP 的长。变式 1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=2 3,PC=4,求 ABC的边长.分析：利用旋转变换，将BPA 绕点 B逆时针选择 60，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式 2、如图，ABC 为等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC 上的点，且EAF=45，试探究222BECFEF、间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例 1、如图，矩形纸片ABCD的边 AB=10cm，BC=6cm，E为 BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点 B恰好落在CD边上的点G 处，求 BE的长.变式：如图，AD 是 ABC的中线，ADC=45，把 ADC沿直线 AD 翻折，点C 落在点 C的 位 置，BC=4,求 BC的长.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例 1、如图，公路 MN 和公路 PQ 在 P点处交汇，点 A 处有一所中学，AP=160 米，点 A 到公路 MN 的距离为80 米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18 千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题例 5、如右图 119，壁虎在一座底面半径为2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取 3.14，结果保留1 位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9 个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？三、课后训练：一、填空题1如图(1)，在高 2 米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米图(1)2种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5，高为 12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6，问吸管要做。3已知：如图，ABC 中，C=90，点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB，点D、E、F 分别是垂足，且BC=8cm，CA=6cm，则点O 到三边AB，AC和BC 的距离分别等于cm 4在一棵树的10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20 米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米。5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和 B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_.二、选择题1已知一个Rt的两边长分别为3和 4，则第三边长的平方是（）A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 2Rt一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt的周长为（）A、121 B、120 C、132 D、不能确定3如果 Rt两直角边的比为512，则斜边上的高与斜边的比为（）A、60 13 B、512 C、12 13 D、60169 4已知 RtABC中，C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC的面积是（）A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm25等腰三角形底边上的高为8，周长为 32，则三角形的面积为（）A、56 B、48 C、40 D、32 6某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（）A、450a 元B、225a 元C、150a 元D、300a 元7已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点 D重合，折痕为EF，则 ABE的面积为（）A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm28在 ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，则 ABC 的周长为A42B32C 42 或 32 D37 或 33 9.如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则 ABC是（）（A）直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对C O A B D E F 第 3 题图D B C A 第 4 题图2032AB15020m 30m 第 6 题图A B E F D C 第 7 题图ABC
