2015年全国大学生数学建模竞赛B题.pdf
1“互联网+”时代的出租车资源配置摘要近几年来，随着燃油价格、维修等费用的上涨，导致了出租车运行成本显著上涨，“打车难”成了人们关注的一个热点问题。为了缓解大城市打车难的问题，打车软件应运而生。本文通过Matlab 拟合和定性分析以及计算等方法，建立演化博弈模型，针对打车难问题设计出了合理的补贴方案。针对问题一，根据2014 年各省拥有的出租车总数量情况和城市人口情况，发现北京、上海、杭州、武汉等城市具有拥有出租车数量较多，常驻人口多，流动人口大，出租车需求量大等特点，所以选取这四个城市，查找高峰期与非高峰期时刻的出租车需求量和实载量数据，以实载量与需求量的比值作为指标，通过计算，分析出不同时空的出租车资源的供求匹配程度，在凌晨一点时上海出租车需求量大，其次是杭州、北京，武汉需求量小，早上七点时，北京出租车需求量大，其次是上海、杭州，武汉需求量小，下午一点时，北京需求量大，其次是上海、杭州，武汉需求量小，晚上19 点时，上海出租车需求量大，其次是北京、杭州，武汉需求量小，但总体供小于求。并采用Matlab 软件画出各个城市对应的供求关系图。针对问题二，建立出租车司机与乘客对打车软件使用意向的演化博弈模型，通过乘客与出租车司机效益的对比，对模型求解与分析，得出结论，认为乘客由于出租车价格偏高而不愿意使用打车软件，又通过计算，发现出租车司机使用打车软件后由于较高的燃油费导致收入增加不明显，而不太愿意使用打车软件。所以公司只在司机收入方面部分缓解了打车难这个问题。针对问题三，通过分析传统打车方式下的出租车的供求关系，可以看出打车软件的出现却有其现实意义，但在实践过程中也存在一些不足，比如部分出租车司机抱怨有较高的燃油费，收入相对来说偏低。面对燃油价格的变化，出租车经营者不能按照自己目标制定出租车经营策略。本文根据燃油价格变化情况，以达到利润最大化为目标，制定了基于经营合理利润水平的出租车补贴方案；又根据出租车经营利润的变化率与燃油价格变化率成正比，制定了基于燃油价格变化率的出租车补贴方案。通过对比两个方案发现方案一更加具有说服力。关键词：打车软件，演化博弈模型，优化模型，matlab拟合2 一、问题重述近年来随着国民经济的飞速发展和人民生活水平的极大提高，我国城市居民对出租车的需求量越来越大。为了缓解大城市打车难的问题，打车软件应运而生。乘客只需要安装打车软件的移动端，发布打车信息，出租车通过软件可以查看区域内所有具有打车需求的乘客的打车信息，出租车司机在打车软件上选择乘客，驶向乘客并完成接送服务，这完全区别于传统意义上的出租车的载客方式。大城市的“打车难”问题很大程度上由于出租车司机与乘客之间信息不对称，导致非高峰时期出租车空载率高，燃油费增加；高峰期、恶劣天气下拒载乘客现象频繁发生。打车软件可以使乘客的需求与出租车的供给相对透明。如何合理补贴司机，提高乘客打车成功率，降低司机空驶距离，成为我们关注的热点。本文尝试解决以下几个问题：问题一：试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源“供求匹配”程度。问题二：分析各公司出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助。问题三：设计一个补贴方案并论证其合理性。二、问题分析这是一个评价与规划问题，根据不同时间的出租车需求量、出租车的实载量、出租车被抢车时间、出租车燃油损耗、政府与出租车公司补贴、打车软件补贴、油价等分析计算。与传统出租车运营模式下的工资进行对比，得出打车软件是否对缓解打车难有帮助。由此设计一套更合理补贴的方案，使得出租车获得更大利润。问题的特点在于数据量大分类复杂，可挖掘的数值多，难点在于如何设计合理的方案，使得司机获得最大利润，更好的缓解打车难的问题。（一）问题一为了分析不同时空的出租车资源的“供求匹配关系”程度，选取典型城市，查找高峰期与非高峰期时刻的出租车需求量和实载量数据，对比不同城市的同时刻的实载量与需求量之比，同一城市不同时刻的实载量与需求量之比，进而说明出租车的供求关系。（二）问题二打车软件需要乘客和出租车司机群体都能支持，大部分乘客和出租车司机在新方法实行的开始阶段会不熟悉新方法，但一旦有人开始使用打车软件并且证明补贴后乘客所付价格2与司机的收益确优于传统打车，那么渐渐的使用传统打车方式的出租车司机和乘客就会改变习惯，从而选择更优的政策使用第三方打车软件，对于乘客可以减少等车时间，而对于出租车司机则会提高他们的收益。3（三）问题三通过分析了传统打车方式下的出租车的供求关系，可以已看出打车软件的出现却有其现实意义，但在实践过程中也存在一些不足，出租车司机抱怨燃油费偏高，收入相对来说偏低。为了配合城市发展的战略目标，最大限度地满足城市各类人口的出行需要，并协调市民、出租车司机和社会三者的关系，实现城市交通规划可持续发展，设计合理的补贴方案。三、模型假设1.乘客外出打车全部使用打车软件;2.出租车一分钟可以行驶大概一公里,即一秒钟行驶601公里；3.专车公司方案补贴按最少倍数1 倍补贴；4.司机一天内用打车软件接了四单；5.快的打车和滴滴打车软件在8 点和点各补贴一单；6.出租车行业政策和经营模式的其他外部因素不变；7.除燃油成本之外其他所有成本基本不变；8.是否载客对出租车的耗油量没有影响；9.单辆出租车的经营成本都相同，随燃油价格变化而变化；10由于数据的采集统计存在误差，本文假定所有计算数据在5%-10%误差范围内可以接受。4 四、符号说明符号说明符号符号说明符号被抢单时间t出租车乘客平均乘车时间平均车费r出租车乘客上车之前平均等待时间每单耗油费U 出租车总量方案补贴下的利润iy（1,2,3i）出租车出行需求的成本弹性系数出租车司机所组成的集合乘客乘车单位时间价值出行乘客所组成的集合乘客等车的单位时间价值北京市区出租车起步价a 每辆出租车的单位时间的经营成本行驶一公里所耗汽油量b 每辆出租车的的单位时间固定成本坚持使用打车软件出租车司机策略集出租车平均单位里程油耗不坚持使用打车软件出租车司机策略集燃油价格坚持使用打车软件乘客策略集出租车的平均行驶速度不坚持使用打车软件乘客策略集出租车经营者收入出租车起步价（元/次）不坚持使用打车软件的出租车集合出租车里程价（元/km）坚持使用打车软件的出租车集合出租车平均乘车距离坚持使用打车软件的乘客集合出租车起步价里程坚持使用打车软件的乘客集合出租车平均运价出行者选择第i 种交通方式的效用函数出租车乘客出行平均需求出行者选择第i 种交通方式的费用变量DP1dS2dS1pS2pS0pdL0dPQTWNakc0cxvR2dS1dS1pS2pSiViC5 五、模型的建立与求解(一)问题一1.问题分析根据 2014 年各省拥有的出租车总数量情况和四个城市的人口情况，发现北京、上海、杭州、武汉等城市具有出租车数量较多，常驻人口多，流动人口大，出租车需求量大的特点，所以选取这四个城市，将24 小时分成四个时间点，这四个时间点分别处于高峰期和非高峰期。通过滴滴快的智能出行平台统计这四个时间点的打车需求量和实载量，对数据进行分析，进而通过计算实载量与需求量的比值，得出出租车资源的供求关系，并采用matlab 软件画出各个城市对应的供求关系图。2.统计分析模型建立与求解在滴滴快的智能出行平台上查找到9月 5日四个城市的出租车需求量与实载量的数据，算出实载量与需求量之比，列表如下：表 1 9 月 5 号出租车需求量与实载量情况时间1：00 7：00 13：00 19：00 需求量实载量实 载/需求需求量实载量实 载/需求需求量实载量实 载/需求需求量实载量实 载/需求北京1243 393 0.316 570 254 0.446 634 213 0.336 938 330 0.352 杭州411 285 0.693 226 160 0.708 551 363 0.659 1285 630 0.49 上海1363 339 0.249 522 295 0.565 1454 652 0.448 1951 647 0.332 武汉90 70 0.778 78 68 0.872 85 58 0.682 111 91 0.82 由 matlab作出四个城市的拟合图像，如下所示：图 1 北京出租车需求实载比拟合6 图 2 杭州出租车需求实载比拟合图 3 上海出租车需求实载比拟合图 4 武汉出租车需求实载比拟合7 在凌晨一点时上海出租车需求量大，其次是杭州、北京，武汉需求量小，早上七点时，北京出租车需求量大，其次是上海、杭州，武汉需求量小，下午一点时，北京需求量大，其次是上海、杭州，武汉需求量小，晚上19 点时，上海出租车需求量大，其次是北京、杭州，武汉需求量小。但总体供小于求。（二）问题二1.问题分析打车软件需要乘客和出租车司机两个群体共同支持，大部分乘客和出租车司机在打车软件实行的开始阶段会不熟悉打车软件，但一旦有人开始使用打车软件并且证明新方法的确优于传统打车方法，那么渐渐的使用传统打车方式的出租车司机和乘客就会改变习惯，从而选择更优的政策使用第三方打车软件，对于乘客可以减少等车时间，而对于出租车司机则会提高他们的收益。因此使用了演化博弈的方法，车租车司机群体与乘客群体之间对于此打车软件是一种逐渐适应的过程，就如同达尔文提出的演化论一样，在经济学问题上我们一样可以使用演化论的思想，也就是演化博弈论3的方法来研究乘客和出租车司机群体对于打车软件的最终选择情况。2.博弈模型建立与求解因为当出行费用的增加会使乘客的出行所获效用减少，同时出行时间的增加也会减少乘客出行所获效用，所以以上0i，0i，0i。乘客收入里虽然不会直接影响到出行效用iV，但是会通过影响iC 从而间接改变iV。使用现有打车软件乘客出行所获效用公式（1）表示。11111VCT（1）使用所查资料中打车软件补贴方案所获效用公式为：222222VCT（2）乘客坐公共交通所获效用为：000000VCT（3）出租车司机一次运营所获利润等于乘客的所有费用 c减去成本q。出租车司机使用现有出租车打车软件运营所获利润为：111cq（4）出租车司机按所查资料中打车软件补贴方案运营所获利润为：222cq（5）出租车司机群体与乘客群体的支付矩阵如下图所示：8 表 2 出租车司机群体与乘客群体的支付矩阵1dS2dS1pS0V,0 0V,12pS2V,2 2V，1假设出租车司机群体中采取策略1dS 的比例为 X，相对应的（1-X）为策略2dS的概率。乘客群体中采取策略1pS的比例为 Y，相对应的（1-Y）为策略2pS的概率。当出租车司机选择策略1dS 时的期望收益为：1220(1)(1)dUYYY（6）选择策2dS时的期望收益为：2111(1)dUYY（7）则出租车司机群体的平均期望收益为：21(1)(1)dRXYX（8）根据以上的出的结论，推出出租车司机群体复制动态方程：121(1)(1)dddXXX URXXYdt（9）当乘客选择1pS 时的期望收益为：101+(1)PUXVVX（10）选择2pS时的期望收益为：220+(1)PUXVVX（11）则乘客群体的平均期望收益为：12(1)PPdRYUYU（12）根据以上的出的结论，推出乘客群体复制动态方程：10120(1)(1)(1)PPdYYY URYYXVVXXVVXdt（13）首先分析博弈方出租车司机群体的复制动态方程，根据复制动态方程，当0dXXdt时，X 为稳定状态。若常数212Y，则dXdt始终为 0.当212Y时，0X和1X是两个稳定状态，而其中0X为演化稳定策略。当212Y时，0X和1X是两个稳定状态，而其中1X为演化稳定策略。同理可得对博弈方乘客群体的复制动态方程的分析，根据复制动态方程，9 当0dYYdt时，Y 为稳定状态。若常数010122VVXVVV（其中100VV，200VV），则dYdt始终为 0。当0101202VVXVVV时，0Y和1Y是两个稳定状态，而其中0Y为演化稳定策略。当0101202VVXVVV时，0Y和1Y是两个稳定状态，而其中1Y为演化稳定策略。通过以上分析，将所求得的复制动态关系放置于二位坐标轴表示，如图所示：图 5 出租车和乘客打车软件使用演化博弈图根据上图所示，可以得到出租车司机与乘客博弈中，0X、1Y和1X、0Y为该博弈的演化稳定策略。在这个博弈的复制动态进化博弈中，当初始的X、Y 落在 A 区域时，则最终会稳定在演化稳定策略0X、1Y点上，即是司机群体不坚持使用所查资料中打车软件补贴方案，同时乘客群体坚持使用现有出租车定价规则。当初始的X、Y 落在 D 区域时，则最终会稳定在演化稳定策略1X、0Y点上，即是司机群体坚持使用所查资料中打车软件补贴方案，同时乘客群体不坚持使用现有出租车打车软件补贴方案。根据滴滴快的智能出行平台分别对8 点、9 点、18 点和 19 点四个时间点，随机在北京五环内抽取十个位置，对其抢单时间和车费，进行统计，进而求出它们的平均值，即平均抢单时间和平均车费。如表3：10 表 3 北京出租车抢单时间和车费表时间8:00 9:00 18:00 19:00 平均被抢单时间t（秒）85.7 102.3 38.8 38.7 平均车费 r(元)168 141 145.1 152.2 经过网络调查得知快的打车在北京对司机补贴为5 元，每天两单，滴滴打车对司机补贴是 6 元，每天补贴两单，专车向司机每天补贴乘客车费的11.3倍，有时为 2 倍，在北京市区内出租车起步价为14 元（3 公里以内），超出起步价为每公里 2.3 元。通过网络查询得知一升92 号汽油可以行驶 10 公里，出租车行驶一公里所消耗的汽油费用是7.55元。出租车在抢单完成后到接上乘客时所行驶路程为：601ts（14）司机在接上乘客之后所行驶的路程为：33.2as r（15）即所耗的燃油费用为b1.0 ssu（16）由燃油费用、车费可以得出司机在这四个时间点各得到的利润为ury（17）通过以上公式可以得出司机通过打车软件在四个时间点下的利润：表 4 司机通过打车软件在四个时间点下的利润时间车费r（元）耗油费用u（元）利润yA 补贴下的利润1yB 补贴下的利润2yC 补贴下的利润3y8:00 168 63.6011 104.3989 109.3989 110.3989 168 9:00 141 56.826 84.174 89.174 90.174 141 18:00 145.1 50.1823 94.9177 94.9177 94.9177 145.1 19:00 152.2 52.5004 99.6996 99.6996 99.6996 152.2 经查相关资料得知，政府每年向出租车司机补贴4162.5 元，即每天补贴约11.5 元，单出租车司机每月要向出租车公司缴纳约6200 元（租车费用），即每天需要缴纳约 206.7 元。所以出租车司机在这三个方案下每天真正得到的利润分别为：11 9902.197w1，9902.1992w，100.411w3表 5 各公司补贴下出租车利润对比表快的公司补贴下的利润滴滴公司补贴下的利润专车补贴下的利润未补贴之前176.4902 176.4902 176.4902 补贴之后197.9902 199.9902 411.1 通过对未补贴之前与补贴之后的利润对比，可以清楚的看到，补贴之后出租车司机的收入没有明显的变化，虽然专车补贴后司机收入较高，但是软件公司损失较大。所以部分出租车司机不太偏向使用打车软件。乘客由于出租车价格偏高而不愿意使用打车软件，出租车司机使用打车软件后由于较高的燃油费导致收入增加不明显，也不太愿意使用打车软件。所以公司只在司机收入方面部分缓解了打车难这个问题。（三）问题三1.问题分析当前的城市的出租车情况不合理，原因是空载率高达50%左右，极大浪费了交通资源和燃料等资源，使出租车的运行效率大大降低。而造成空载率没有达到国际合理的 35%水平的原因是：不合理的收费方案和过多的出租车数量，还有较高的燃油费。根据燃油价格变化情况，以达到利润最大化为目标，制定了基于经营合理利润水平的出租车补贴方案4；又根据出租车经营利润的变化率与燃油价格变化率成正比，制定了基于燃油价格变化率的出租车补贴方案。2.模型建立与求解基于经营合理利润水平的出租车补贴方案中，首先需要分析不同情况下出租车的经营利润。由于出租车行业具有公共交通的性质，面对燃油价格的变化，出租车经营者不能按照自身目标制定出租车的经营策略。出租车经营者将会以利润最大为目标，根据燃油价格变化情况，确定相应的出租车基本运价5和投入运营的出租车数量。由模型假设，有以下条件成立：)(00dLPPd),(WTPfQPQR0()CcNcvx N12 cNPQCRBvLT有补贴情况下的出租车经营利润：在燃油价格变化的情况下，在有补贴的情况下，出租车经营者会通过调整运价和出租车数量等方式，从而实现利润的最大化。在这种情况下，出租车经营者的利润模型可表示为：0max()BPQcx N且满足如下的条件exp()QQa PtTkNQT0NQT0P0N,且N为整数.(18)在方程组（18）中，目标函数是经营利润；约束条件有四个：第一约束是出租车出行需求与出租车运价、出租车乘车时间和等待时间的关系方程，第二个约束是要保证出租车总数大于载客出租车的数量，第三个约束是保持出租车运价为正数，第四个约束是保证出租车数量为正整数。需要说明的是，出租车平均运价和出租车乘客平均出行时间与乘客的平均出行距离有关，不由出租车经营者决定。因此，上述模型把出租车平均运价和出租车乘客平均等待时间作为一个外生变量来处理。根据式（17）得到的出租车经营者利润记为MB。没有补贴情况下的出租车经营利润：在燃油价格变化和其他情况的约束下，实际情况是不存在长期的补贴，在这种情况下出租车经营者的利润模型可表示为：0max()BPQcx N.exp()st QQa PtTkNQT;0NQT;FPPFNN（19）在方程组（19）中，FP 和FN 分别表示没有补贴的出租车平均运价和出租车数量，对应的出租车经营者实际利润记为B。（1）出租车公司对出租车经营的补贴方案。在此基础上，基于出租车经营合理利润水平的出租车补贴方案，通过以下方法可以确定。13 假设燃油价格变化之前，出租车经营实际利润1B 与其期望最大利润1MB之比反映了出租车行业经营利润的合理水平。那么，燃油价格变化之后，出租车经营的合理利润值2B 与其期望最大利润2MB之比应该等于燃油价格变化之前出租车经营实际利润与其期望最大利润之比，即1212MMBBBB（19）因此燃油价格变化之后的出租车经营合理利润值为1221MMBBBB（20）而在没有补贴的情况下，出租车运价和车辆数量相对平稳下，出租车经营的实际利润为2FB。那么，政府对出租车经营的补贴金额为22ABB（21）需要说明的是：当燃油价格上涨时，公司需补贴金额A为正值，说明由于没有补贴导致出租车经营利润低于合理水平，公司需要给予一定的补贴；当燃油价格下降时，公司需补贴金额A为负值，说明出租车经营利润高于合理水平，即公司应减小运行价格，限制出租车经营利润过高。燃油价格变化前后，公司对出租车经营的财政补贴金额计算过程见下图6。图 6 燃油价格变化时出租车经营者获得的补贴额度计算过程（2）基于燃油价格变化率的出租车补贴方案基于燃油价格变化率的出租车补贴方案，主要是建立出租车经营利润变化率与燃油价格变化率之间的关系，政府根据燃油价格变化率来制定补贴方案。燃油价格变化率可表示为：2111xxxxx（22）式中,2x、1x 分别为变化之前的燃油价格和变化之后的燃油价格（元/升）；14 x为燃油价格变化量（元/升）。油价变化后，出租车经营者应该分担一部分压力。假设油价变化后，出租车经营的利润变化率与燃油价格变化率成正比，则有1xex（23）在式（23）中，e表示出租车经营利润的变化率；为比例系数，且，反映了出租车经营者承担油价变化的压力的大小；负号表示出租车经营的利润变化率与燃油价格变化率成反方向变化，即油价上涨，出租车利润应该下降；油价下降，出租车利润应该上升。因此，燃油价格变化后，出租车经营者的合理利润为2111(1)(1)xBe BBx（24）1B、2B 分别表示在政府管制且不给予补贴情况下，燃油价格变化前后的出租车经营实际利润，其表达式为：101()BPQcx N（25）202()BPQcxN（26）那么，政府需要给予出租车经营者的补贴金额为：2201021(1)()()xABBPQcx NPQcxNx（27）化简可得：011()xANxPQcxNx（28）其中，exp()QQa PtTkNQT.两种补贴方案的比较：第一种方案：基于经营合理利用水平的出租车补贴方案，该方案将油价变化之前的出租车经营实际利润与其期望最大利润之比作为出租车经营利润的合理水平。这种补贴方案的关键点是计算在没有补贴的情况下，燃油价格变化前后的出租车经营最大利润。除此，该方案下的补贴金额不仅与变化前后的燃油价格有关，还与出租车的基本运价、出租车数量等因素直接相关；但又难以直接建立补贴金额与燃油价格变化量、出租车运价和出租车数量之间的数学关系模型。因此，该方案计算过程相对复杂，从而会影响其实施方便性，实施效果受到限制。第二种方案：基于燃油价格变化率的出租车补贴方案，该方案的主要观点是出租车经营的利润变化率与燃油价格变化率成正比。该方案中的补贴金额收经营利润变化率与燃油价格变化率的比例系数、燃油价格变化量、燃油价格变化率、15 出租车数量以及燃油价格变化之前的经营利润等因素有关。该方案的突出特点是能够反映补贴金额与燃油价格变化率和变化量的关系；其难点是确定经营利润变化率与燃油价格变化率的额比例系数，该比例系数直接关系到软件公司和经营者的切身利益。如果能够顺利确定经营利润变化率与燃油价格变化率的比例系数，则该方案的具体实施有较好的实用性。因此，综合比较两种补贴方案，方案一有将强的说服力，但其计算过程复杂限制了其实用性。方案二能够直观反映油价变化量对补贴金额的影响，具有较好的实用性。六、模型评价模型优缺点：优化模型中方案一有将强的说服力，但方案计算过程相对复杂，从而会影响其实施方便性，实施效果受到限制。方案二能够直观反映油价变化量对补贴金额的影响，具有较好的实用性。七、参考文献1刘群，易佳，基于演化博弈的社交网络模型演化研究J.物理学报，2013（23）：463-471.2黄钰，出租车运价调整政策的过程模型分析J.现代商业，2014（20）:98-100.3王一帆，基于打车软件的出租车服务模式优化研究D.上海交通大学4何建平，基于燃油价格变化的城市客运出租车补贴研究D.哈尔滨工业大学5陈茜，王炜，黄娟，需求控制下的出租车计程定价问题研究J.城市交通,2005,(3):14-18.16 附录排名城市出租车数量（辆）1 北京66600 2 上海50257 3 天津32000 4 杭州20642 5 广州19010 6 成都17550 7 长春15400 8 武汉15337 9 深圳14799 10 哈尔滨14000 表 6 2014 年各省拥有出租车总数量表各城市出租车需求实载比拟合：x=1:6:24;y=0.316,0.446,0.336,0.352;cftool y2=0.693,0.708,0.659,0.490;cftool y3=0.249 0.565 0.448 0.332;cftool y4=0.778 0.872 0.682 0.820;cftool 汽车耗油费计算：x=168,141,145.1,152.2;y=85.7,102.3,38.8,38.7;z=(x-14)/2.3+3*0.1*7.55+(1/60)*y*7.55 z=63.6011 56.8269 50.1823 52.5004
