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2003 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（文史类）注意事项：1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)sin()sin(21cossinlccS)(21台侧其中c、c分别表示)sin()sin(21sincos上、下底面周长，l表示斜高或母线长.)cos()cos(21coscos球体的体积公式：334RV球，其中 R )cos()cos(21sinsin表示球的半径.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷3 至 10 页 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷（选择题共60 分）一.选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1直线2yxx关于对称的直线方程为（）（A）12yx（B）12yx（C）2yx（D）2yx2已知,02x，54cosx，则2tgx（）（A）247（B）247（C）724（D）7243抛物线2yax的准线方程是2,ya则的值为（）（A）18（B）18（C）8（D）84等差数列na中，已知1251,4,33,3naaaan则为（）（A）48 （B）49 （C）50 （D）51 5双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为1212,120F FFMF，则双曲线的离心率为（）（A）3（B）62（C）63（D）336设函数2112)(xxfx00 xx，若1)(0 xf，则0 x的取值范围是（）（A）（1，1）（B）（1，）（C）（，2）（0，）（D）（，1）（1，）7已知5()lg,(2)f xxf则（）（A）lg 2（B）lg 32（C）1lg32（D）1lg 258函数sin()(0)yxR是 上的偶函数，则（）（A）0 （B）4（C）2（D）9已知(,2)(0):-30aalx ya点到直线的距离为 1，则（）（A）2（B）22（C）21（D）2110已知圆锥的底面半径为R，高为 3R，它的内接圆柱的底面半径为34R，该圆柱的全面积为（）（A）22 R（B）249R（C）238R（D）252R11已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和 D（0，1），一质点从AB的中点0P沿与 AB夹角为的方向射到BC上的点1P后，依次反射到CD、DA和 AB上的点2P、3P和4P（入射角等于反射角）若40PP与重合，则tg=（）（A）31（B）52（C）21（D）1 12一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）（A）3（B）4（C）33（D）62003 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）第卷（非选择题共90 分）二.填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分 把答案填在题中横线上13不等式24xxx的解集是 _.1492)21(xx的展开式中9x系数是 _ .15在平面几何里，有勾股定理：“设222,ABCAB ACABACBC的两边互相垂直 则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论 是：“设 三 棱 锥ABCD的 三 个 侧 面A B CA C DA D、两 两 互 相 垂 直，则_.”16如图，一个地区分为5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不 同 的 着 色 方 法 共 有种_（以数字作答）2 1 5 3 4 三、解答题：本大题共6 小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17（本小题满分12 分）已知正四棱柱111111112ABCDA BC DABAAECCFBD，点为中点，点为点中点（）证明11EFBDCC为与的公垂线（）求点1DBDE到面的距离18（本小题满分12 分）已知复数z的辐角为60，且|1|z是|z和|2|z的等比中项，求|z.19（本小题满分12 分）已知数列na满足1111,3(2).nnnaaan（）求23,a a；E DBACB D C A F M（）证明312nna20（本小题满分12 分）已知函数()2sin(sincos)f xxxx（）求函数()f x的最小正周期和最大值；（）在给出的直角坐标系中，画出函数()yfx在区间,22上的图象21（本小题满分12 分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南2(cos)10方向 300km的海面 P处，并以20km/h 的速度 向 西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区 域，当前半径为60km，并以 10km/h 的速度不断增 大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？O 北东O y 线岸O x Pr(t)P 45海y O 22x 22（本小题满分14 分）已知常数0a，在矩形ABCD 中，4AB，aBC4，O为 AB的中点，点E、F、G分别在 BC、CD、DA上移动，且DADCCDCFBCBE，P为 GE与 OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由2003 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文）参考解答及评分标准说明：一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四.只给整数分数选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分60 分.1 C 2 D 3 B 4 C 5 B 6 D 7 D 8 C 9 C 10 B 11 C 12 A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分.134,2(14221 15 2222BCDADBACDABCSSSS 16 72 三、解答题：本大题共6 小题，共74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（I）证明：取BD中点 M，连结 MC，FM，F 为 BD1中点，FM D1D且 FM=21D1D 又 EC=21CC1，且 EC MC，四边形EFMC 是矩形EFCC1又 CM 面 DBD1EF 面 DBD1O P A G D F E C B x y BD1面 DBD1，EFBD1故 EF为 BD1与 CC1的公垂线（II）解：连结ED1，有 V 由（I）知 EF面 DBD1，设点 D1到面 BDE的距离为d，则 SDBCd=SDCD1EF.AA1=2AB=1.22,2 EFEDBEBD23)2(2321,2222121DBCDBDSS故点 D1到平面 BDE的距离为332.18解：设z=2),60sin60(cosrzir的实邻为则复数2,rzzrzz由题设|2|1|2zzz即)2)(2(|)1)(1(zzzzz42122rrrrr12120122rrrr解得（舍去）即|z|=1219（I）解1343,413,12321aaa（II）证明：由已知故,311nnnaa112211)()()(aaaaaaaannnnn =.213133321nnn所以213nna20解（I）xxxxxxf2sin2cos1cossin2sin2)(2)42sin(21)4sin2cos4cos2(sin21xxx所以函数)(xf的最小正周期为，最大值为21.（）由（）知x83888385y1 211 211 故函数)(xfy在区间2,2上的图象是21解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：t（h）台风中心),(yxP的坐标为.22201027300,2220102300tytx此时台风侵袭的区域是222)()()(tryyxx，其中10)(trt+60，若在 t 时，该城市O受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222tyx即,)6010()22201027300()2220102300(222ttt即0288362tt，解得2412t.答：12 小时后该城市开始受到台风气侵袭22解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值.按题意有A（2，0），B（2，0），C（2，4a），D（2，4a）设)10(kkDADCCDCFBCBE，由此有 E（2，4ak），F（24k，4a），G（2，4a4ak）.直线 OF的方程为：0)12(2ykax，直线 GE的方程为：02)12(ayxka.从，消去参数k，得点 P（x，y）坐标满足方程022222ayyxa，整理得1)(21222aayx.当212a时，点 P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当212a时，点 P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.当212a时，点 P到椭圆两个焦点),21(),21(22aaaa的距离之和为定值2.当212a时，点 P到椭圆两个焦点)21021,0(22aaaa，），（的距离之和为定值a2.
