高中数学典型例题解析三角函数3.pdf

高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 任意角三角函数一、知识导学1角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.2弧度制：任一已知角的弧度数的绝对值rl，其中l是以作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.3 弧度与角度的换算：rad2360；rad1745.01801；130.57180rad.用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度不可省略.4弧长公式、扇形面积公式：,rl2|2121rlrS扇形,其中l为弧长，r为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当2时的情形.5任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P 的坐标是yx,，它与原点的距离是)0(rr，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是yrxryxxyrxrycsc,sec,cot,tan,cos,sin.这六个函数统称为三角函数.6三角函数的定义域三角函数定义域xysinR xycosR xytanZkkxx,2xycotZkkxx,xysecZkkxx,2高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 角”指900；“第 一象 限 角”可表 示为Zkkk,90360360；“小于 90的角”可表示为90.3在弧度的定义中rl与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关.4确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点 P坐标中必有一个为0.5根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角与)(360Zkk的 同 名 三 角 函 数 值 相 等；（2）ryrx,，故 有1sin,1cos，这是三角函数中最基本的一组不等关系.6在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？三、经典例题导讲 例 1若 A、B、C 是ABC的三个内角，且)2(CCBA，则下列结论中正确的个数是（）.CAsinsin.CAcotcot.CAtantan.CAcoscosA1 B.2 C.3 D.4 错解：CACAsinsin，CAtantan故选 B 错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误正解：法 1CA在ABC中，在大角对大边，ACacsinsin,法 2 考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选 A.高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 2 已知,角的终边关于y轴对称，则与的关系为.错解：,角的终边关于y轴对称，22+k2，（)zk错因：把关于y轴对称片认为关于y轴的正半轴对称.正解：,角的终边关于y轴对称)(,22Zkk即)(,2zkk说明：（1）若,角的终边关于x轴对称，则与的关系为)(,2Zkk（2）若,角的终边关于原点轴对称，则与的关系为)(,)12(Zkk（3）若,角的终边在同一条直线上，则与的关系为)(,Zkk 例 3已知542cos,532sin，试确定的象限.错解：0542cos,0532sin，2是第二象限角，即.,222zkkk从而.,244zkkk故是第三象限角或第四象限角或是终边在y轴负半轴上的角.错因：导出2是第二象限角是正确的，由0542cos,0532sin即可确定，而题中542cos,532sin不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定2的大小，即可进一步缩小2所在区间.正解：0542cos,0532sin，2是第二象限角，又由43sin22532sin知zkkk,22432zkkk,24234，故是第四象限角.例 4 已知角的终边经过)0)(3,4(aaaP，求cot,tan,cos,sin的值.错解：ayxrayax5,3,4223434cot,4343tan,5454cos,5353sinaaaaaaaa高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 正解：若0a，则ar5，且角在第二象限3434cot,4343tan,5454cos,5353sinaaaaaaaa若0a，则ar5，且角在第四象限3434cot,4343tan,5454cos,5353sinaaaaaaaa说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；（2）本题由于所给字母a的符号不确定，故要对a的正负进行讨论.例 5（1）已知为第三象限角，则2是第象限角，2是第象限角；（2）若4，则是第象限角.解：（1）是第三象限角，即Zkkk,2322Zkkk,4322，Zkkk,34224当k为偶数时，2为第二象限角当k为奇数时，2为第四象限角而2的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上.（2）因为423，所以为第二象限角.点评：为第一、二象限角时，2为第一、三象限角，为第三、四象限角时，2为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.例 6 一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的半径为rcm，则扇形的弧长cmrl)220(扇形的面积25)5()220(212rrrS所以当cmr5时，即2,10rlcml时2max25cmS.点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值.例 7 已知是第三象限角，化简sin1sin1sin1sin1。高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 8若角满足条件0sincos,02sin，则在第（）象限A.一B.二C.三D.四解：0cos0sinsincos0cossin0sincos02sin角在第二象限.故选 B.例 9 已知coscos，且0tan.（1）试判断)cos(sin)sin(cos的符号；（2）试判断)coslg(sin的符号.解：（1）由题意，0cos1，0sin10)cos(sin,0)sin(cos，所以0)cos(sin)sin(cos.（2）由题意知为第二象限角，1cossin，所以0)coslg(sin.四、典型习题导练1已知钝角的终边经过点4sin,2sinP，且5.0cos，则的值为）A21arctanB1arctanC21arctanD432角的终边与角的终边关于y 轴对称，则为（）A.-B.-C.（2k+1）-(kZ)D.k-（kZ）3.若 sin tg 0,k Z，则角的集合为（）A 2k2，2k+2 B.(2k2,2k+2)C.(2k2，2k+2)k2 D.以上都不对4当 0 x时,则方程 cos(cosx)=0的解集为()高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ C.3 D.325下列四个值:sin3,cos3,tg3,ctg3 的大小关系是()A.cos3tg3ctg3sine B.sin3cos3tg3ctg3 C.cot3tan3cos3sin3 D.sin3tan3cos3cot3 6已知 x(0,2),则下面四式:中正确命题的序号是.sinxxtgx sin(cosx)cosxcos(sinx)sin3x+cos3x1 cos(sinx)sin(cosx)cosx 7有以下四组角：(1)k+2；(2)k-2；(3)2k2；(4)-k+2(k z)其中终边相同的是（）A.(1)和(2)B.(1)、(2)和(3)C.(1)、(2)和(4)D.(1)、(2)、(3)和(4)8 若 角 的 终 边 过 点(sin30，-cos30),则sin 等 于（）A.12 B.12 C.32 D.339函数 y=1)3cos(2x的定义域是 _,值域是 _.10若点 P在第一象限，则在，2内的取值范围是（）A.B.C.D.3.2 三角函数基本关系式与诱导公式一、知识导学1同角三角函数的基本关系式平方关系：1cossin22；商数关系：cossintan；倒数关系：1cottan同角三角函数的基本关系式可用图表示（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1 的平方；（2）对角为倒数关系；（3）每个三角函数为相邻两函数的积.2诱导公式(zk)角函数正弦余弦记忆口诀k2sincos高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 5 种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围.三、典型例题导讲例 1已知cot051cossin），则，（，_ 错解：两边同时平方，由，与51cossin2512cossin得57cossin2549cossin4)cos(sincossin4coscossin2sin)cos(sin2222.cot53cos54sin，进而可求，解得：43cot或.cot54cos53sin，进而可求，解得：34cot错因：没有注意到条件),0(时，由于0cossin高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 2若 sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B为锐角且a1,0b1，求 tanA 的值错解：由BbABaAcoscossinsin得 tan A=batan B 错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示正解：由BbABaAcoscossinsin2+2得 a2sin2B+b2cos2B=1 cos2B=2221baasin2B=2221babtan 2B=1122abB 为锐角tan B=1122ab得 tan A=batan B=1122abba例 3（05 年高考重庆卷）若函数)2cos(2sin)2sin(42cos1)(xxaxxxf的最大值为2，试确定常数a 的值.15,.444111sin),sin(441sin2cos212cos2sincos4cos2)(:2222aaaxaxaxxxaxxxf解之得由已知有满足其中角解点评：本试题将三角函数“,2”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础.例 4（05 年高考北京卷）已知tan2=2，求高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 431tan2;所以tantantan14tan()41tan1tantan4=41134713；（2）由(I),tan=34,所以6sincos3sin2cos=6 tan13tan2=46()173463()23.点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确.例 5化简：)()414cos()414sin(znnn错解：原式)4(cos)4(sinnn)4cos()4sin()4cos()4(2sin0)4cos()4cos(错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误.正解：原式)4(cos)4(sinnn（1）当)(12zkkn，时原式)4(2sin k+)4(2cos k)4sin()4cos()4cos()4cos(=0（2）当)(2zkkn，时原式)4(2sin k+)4(2cos k)4sin(+)4cos(=0 例 6（05 年高考江苏卷）若316sin，则232cos=（）A97B31C31D97高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ A.例 7（05 年高考福建卷）已知51cossin,02xxx.（1）求 sinxcosx 的值；（2）求xxxxxxcottan2cos2cos2sin22sin322的值.解法一：（1）由,251coscossin2sin,51cossin22xxxxxx平方得即.2549cossin21)cos(sin.2524cossin22xxxxxx又,0cossin,0cos,0sin,02xxxxx故.57cossinxx（2）xxxxxxxxxxxxsincoscossin1sin2sin2cottan2cos2cos2sin2sin3222125108)512()2512()sincos2(cossinxxxx解法二：（1）联立方程.1cossin,51cossin22xxx由得,cos51sinxx将其代入，整理得,012cos5cos252xx.54cos,53sin,02.54cos53cosxxxxx或故.57cossinxx（2）xxxxxxcottan2cos2cos2sin2sin322高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 8 (1)化 简：sin2sec2 11csccos22+cos2 csc2(2)设 sin(+2)=14,且 sin2 0 求 sin ,t an解：原 式=sin2tan2cos2cot2+cos2 csc2=cos2+sin2+cos2 csc2=1+cot2=csc2(2)解：由 sin(+2)=-14 cos=-14 sin2 0 2k 2 2k +k 0)的图像与x 轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）,又 f(2+x)=f(2x),f(0)0,求这个函数的解析式.解：f(2+x)=f(2-x)f(x)关于 x=2 对称，又x 轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）4T=6-2=4，即T=16，T2=8.将 N（6,0）代入 f(x)=sin(8x+)得：sin(43+)=0，得：=2k+4或=2k+45(kZ),f(0)0,=2k+45(kZ),满足条件的最小正数=45,所求解析式f(x)=sin(8x+45).高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 8 已知 ABC的周长为6，,BCCAABuu u ruu u ru uu r成等比数列，求（1）ABC的面积 S的最大值；（2）BCBA的取值范围.解设,BCCAABu uu ru uu ruu u r依次为 a，b，c，则 a+b+c=6，b2=ac，由余弦定理得2222221cos2222acbacacacacBacacac,故有03B，又6,22acbbac从而02b（1）所以22111sinsin2sin32223SacBbB，即max3S（2）所以22)(2cos22222baccabcaBacBCBA222(6)3(3)272bbb182,20BCBAb，四、典型习题导练1.在 RtABC中,C=90,则 sinAcos2(452B)-sin2Acos2AA.有最大值41和最小值 0 B.有最大值41但无最小值C.即无最大值也无最小值D.有最大值21但无最小值2.要得到 y=sin2x 的图像,只需将 y=cos(2x-4)的图像()A.向右平移8B.向左平移8C.向右平移4D.向左平移43电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=)0,0)(6sin(AtA的图像如图所示，则当501t秒时，电流强度是安.4.在 ABC 中,sin2sin2sin2CBA=81,则 ABC 的形状高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 如 果 方 程 x2-4xcos+2=0 与 方 程 2x2+4xsin2-1=0有 一 根，互 为 倒 数 求 值，其 中 0 .7.如图，已知一半径为1，圆心角为3的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD，求该矩形的最大面积.8在ABCabc中，、分别是角A、B、C 的对边，设acbAC23，求 sinB的值.高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 如 果 方 程 x2-4xcos+2=0 与 方 程 2x2+4xsin2-1=0有 一 根，互 为 倒 数 求 值，其 中 0 .7.如图，已知一半径为1，圆心角为3的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD，求该矩形的最大面积.8在ABCabc中，、分别是角A、B、C 的对边，设acbAC23，求 sinB的值.高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 如 果 方 程 x2-4xcos+2=0 与 方 程 2x2+4xsin2-1=0有 一 根，互 为 倒 数 求 值，其 中 0 .7.如图，已知一半径为1，圆心角为3的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD，求该矩形的最大面积.8在ABCabc中，、分别是角A、B、C 的对边，设acbAC23，求 sinB的值.高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 如 果 方 程 x2-4xcos+2=0 与 方 程 2x2+4xsin2-1=0有 一 根，互 为 倒 数 求 值，其 中 0 .7.如图，已知一半径为1，圆心角为3的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD，求该矩形的最大面积.8在ABCabc中，、分别是角A、B、C 的对边，设acbAC23，求 sinB的值.高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 如 果 方 程 x2-4xcos+2=0 与 方 程 2x2+4xsin2-1=0有 一 根，互 为 倒 数 求 值，其 中 0 .7.如图，已知一半径为1，圆心角为3的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD，求该矩形的最大面积.8在ABCabc中，、分别是角A、B、C 的对边，设acbAC23，求 sinB的值.高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 如 果 方 程 x2-4xcos+2=0 与 方 程 2x2+4xsin2-1=0有 一 根，互 为 倒 数 求 值，其 中 0 .7.如图，已知一半径为1，圆心角为3的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD，求该矩形的最大面积.8在ABCabc中，、分别是角A、B、C 的对边，设acbAC23，求 sinB的值.高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 如 果 方 程 x2-4xcos+2=0 与 方 程 2x2+4xsin2-1=0有 一 根，互 为 倒 数 求 值，其 中 0 .7.如图，已知一半径为1，圆心角为3的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD，求该矩形的最大面积.8在ABCabc中，、分别是角A、B、C 的对边，设acbAC23，求 sinB的值.高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 如 果 方 程 x2-4xcos+2=0 与 方 程 2x2+4xsin2-1=0有 一 根，互 为 倒 数 求 值，其 中 0 .7.如图，已知一半径为1，圆心角为3的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD，求该矩形的最大面积.8在ABCabc中，、分别是角A、B、C 的对边，设acbAC23，求 sinB的值.高中数学辅导网http:/ 京翰教育 http:/ 如 果 方 程 x2-4xcos+2=0 与 方 程 2x2+4xsin2-1=0有 一 根，互 为 倒 数 求 值，其 中 0 .7.如图，已知一半径为1，圆心角为3的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD，求该矩形的最大面积.8在ABCabc中，、分别是角A、B、C 的对边，设acbAC23，求 sinB的值.