2011全国高中数学竞赛讲义15-不等式的应用(20220320125743).pdf
数学教育网http:/-中小学数学试题、教案、课件、论文数学教育网 http:/-中小学数学试题、教案、课件、论文15 不等式的应用1排序不等式（又称排序原理）设有两个有序数组naaa21及.21nbbb则nnbababa2211（同序和）jnnjjbababa2211（乱序和）1121bababannn（逆序和）其 中njjj,21是1，2，n 的 任 一 排 列.当 且 仅 当naaa21或nbbb21时等号（对任一排列njjj,21）成立.2应用排序不等式可证明“平均不等式”：设有 n 个正数naaa,21的算术平均数和几何平均数分别是nnnnnaaaGnaaaA2121和此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到nnaaanH11121，和平方平均（在统计学及误差分析中用到）naaaQnn22221这四个平均值有以下关系nnnnQAGH.*3应用算术平均数几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式.柯西（Cavchy）不等式：设1a、2a、3a，na是任意实数，则).)()(222212222122211nnnnbbbaaabababa等号当且仅当kkabii(为常数，),2,1ni时成立.4利用排序不等式还可证明下述重要不等式.切比雪夫不等式：若naaa21，nbbb21，则.21212211nbbbnaaanbababannnn数学教育网http:/-中小学数学试题、教案、课件、论文数学教育网 http:/-中小学数学试题、教案、课件、论文例题讲解1,0,cba求证：.6)()()(abcaccacbbcbaab20,cba，求证：.)(3cbacbaabccba3：.222,333222222abccabbcabacacbcbacbaRcba求证4设*21,Naaan，且各不相同，求证：.32131211223221naaaann.数学教育网http:/-中小学数学试题、教案、课件、论文数学教育网 http:/-中小学数学试题、教案、课件、论文5利用基本不等式证明.222cabcabcba6已知,0,1baba求证：.8144ba7利用排序不等式证明nnAG8证明：对于任意正整数R，有.)111()11(1nnnn数学教育网http:/-中小学数学试题、教案、课件、论文数学教育网 http:/-中小学数学试题、教案、课件、论文9n 为正整数，证明：.)1(131211 1)1(111nnnnnnnn例题答案：1.证明：abcaccacbbcbaab6)()()(0)()()()2()2()2(222222222bacacbcbaabbacaccabbccba.6)()()(a b caccacbbcbaab评述：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明cabcabcba222时，可将22ba)(cabcab配方为)()()(21222accbba，亦可利用,222abbacaacbccb2,22222，3 式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.2.分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.不等式关于cba,对称，不妨Rcacbbacba,则，且cbba,，ca都大于等于1.1)()()()(3333333333232323cacbbabcaccbabcababaccabcbacbacbacacbbaccbbaacbaabccba评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n个字母的大小顺序，可方便解题.（2）本题可作如下 推广：若nanaaiaaania2121),2,1(0则.)(2121naaannaaa（3）本题还可用其他方法得证。因abbababa，同理caacbccbacaccbcb,，数学教育网http:/-中小学数学试题、教案、课件、论文数学教育网 http:/-中小学数学试题、教案、课件、论文另cbacbacbacba，4 式相乘即得证.（4）设.lglglg,0cbacba则例 3 等价于,lglglglgabbabbaa类似例4可证.lglglglglglglglglgacbbcaaccbbaccbbaa事实上，一般地有排序不等式（排序原理）：设有两个有序数组nnbbbaaa2121,，则nnbababa2211（顺序和）njnjjbababa2121（乱序和）1111bababannn（逆序和）其 中njjjn,2,1,21是的 任 一 排 列.当 且 仅 当naaa21或nbbb21时等号成立.排序不等式应用较为广泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组的积的形式.如ccbbaaaccbbacbaRcba222222333,时ccbbaaaccbbacbaaccbbaaccbba111111;222222222222.3.思路分析：中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.不妨设abccbacba111,222则，则bcabca111222（乱序和）ccbbaa111222（逆 序 和），同 理bcabca111222（乱 序 和）ccbbaa111222（逆序和）两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组abacbccba111333及，仿上可证第二个不等式.4.分析：不等式右边各项221iaiaii；可理解为两数之积，尝试用排序不等式.设nnaaabbb,2121是的重新排列，满足nbbb21，又.131211222n所以223221232213232nbbbbnaaaann.由于nbbb,21是互不相同的正整数，故.,2,121nbbbn从而nnbbbbn121132223221，原式得证.数学教育网http:/-中小学数学试题、教案、课件、论文数学教育网 http:/-中小学数学试题、教案、课件、论文评述：排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，,22abbaba.3222333abcabcacbbcacacbcbabaaccbbacba5.思路分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方法.caacbccbabba2,2,2223222同理；三式相加再除以2 即得证.评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.如nnxxxxxxxxx2112322221，可在不等式两边同时加上.132xxxxn再如证)0,(256)()(1)(1(32233cbacbacbcaba时，可连续使用基本不等式.（2）基本不等式有各种变式如2)2(222baba等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.6.思路分析：不等式左边是a、b的 4 次式，右边为常数81，如何也转化为a、b的 4 次式呢.要证,8144ba即证.)(81444baba评述：（1）本题方法具有一定的普遍性.如已知,0,1321ixxxx求证：3231xx.3133x右侧的31可理解为.)(313321xxx再如已知0321xxx，求证：3221xxxx+013xx，此处可以把0 理解为2321)(83xxx，当然本题另有简使证法.（2）基本不等式实际上是均值不等式的特例.（一般地，对于n个正数),21naaa调和平均nnaaanH11121几何平均nnnaaaG21算术平均naaaAnn21数学教育网http:/-中小学数学试题、教案、课件、论文数学教育网 http:/-中小学数学试题、教案、课件、论文平方平均222221nnaaaQ这 四 个 平 均 值 有 以 下 关 系：nnnnQAGH，其 中 等 号 当 且 仅 当naaa21时成立.7.证明:令),2,1(,niGabnii则121nbbb，故可取0,21nxxx，使得111322211,xxbxxbxxbxxbnnnnn由排序不等式有：nbbb21=13221xxxxxxn（乱序和）nnxxxxxx1112211（逆序和）=n，.,2121nnnnnnGnaaanGaGaGa即评述:对naaa1,1,121各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，nnAG.8.分析:原不等式等价于111)11(1nnnn，故可设法使其左边转化为n 个数的几何平均，而右边为其算术平均.111121)11()11(1)11()11()11(111nnnnnnnnnnnnn个评述:（1）利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化，使其两边与均值不等式形式相近.类似可证.)111()11(21nnnn（2）本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证，但较繁.9.证明:先证左边不等式nnnnnnnn1312111)1(131211 1)1(11数学教育网http:/-中小学数学试题、教案、课件、论文数学教育网 http:/-中小学数学试题、教案、课件、论文nnnnn131211)1(1nnnn)11()131()121()11()1(1(*)1342321nnnnn.1134232134232nnnnnnnn（*）式成立，故原左边不等式成立.其次证右边不等式11)1(131211nnnnn1)11()311()211(11)131211(111nnnnnnnnn11322111nnnnn（*）（*）式恰符合均值不等式，故原不等式右边不等号成立.
