2008年全国初中数学竞赛试题及答案.pdf

1 2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5 小题，每小题 6 分，满分 30 分，以下每道小题均给出了代号为 A、B、C、D 的四个选项，期中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1、已知实数 x，y满足42423xx，423yy，则444yx的值为（）。A、7B、1132C、7132D、5 答 A 解：因为2x0，2y 0，由已知条件得212444311344x，2114311322y，所以444yx2222223367yyxx2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷 2 次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数2yxmxn的图象与 x 轴有两个不同交点的概率是（）。A、512B、49C、1736D、12答 C 解：基本事件总数有6636，即可以得到 36个二次函数，由题意知24mn0，即24mn通过枚举知，满足条件的m，n有 17 对，故1736p3、有两个同心圆，大圆周上有4 个不同的点，小圆周上有2 个不同的点，则这 6 个点可以确定的不同直线最少有（）。A、6 条B、8 条C、10条D、12 条答 B 2 解：如图，大圆周上有4 个不同的点A、B、C、D，两两连线可以确定6 条不同的直线；小圆周上的两个点E、F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线 AC 与BD 的交点，则它与 A，B，C，D 的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D 的两两连线，从而这 6 个点可以确定的直线不少于8 条。当这 6 个点如图所示放置时，恰好可以确定8 条直线，所以，满足条件的6 个点可以确定的直线最少有8 条。4、已知 AB 是半径为 1 的圆 O 的一条弦，且 AB a 1，以 AB 为一边在圆 O 内作正 ABC，点 D 为圆 O 上不同于点 A 的一点，且 DBAB a，DC的延长线交圆 O 于点 E，则 AE 的长为（）。A、52aB、1C、32D、a答 B 解：如图，连接 OE，OA，OB，设 D a，则ECA120 aEAC 又因为 ABO11(601802)12022ABDaa所以ACEABO，于是 AEOA1 5、将 1，2，3，4，5 这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）。A、2 种B、3 种C、4 种D、5 种答 D 解：设12345,a aa aa 是 1，2，3，4，5 的一个满足要求的排列，首先，对于1234,a a a a，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾。又如果1a（1i3）是偶数，1 1a是奇数，则1 2a是奇数，这说明一个偶A B C D E O F（第 3 题答案图）A B C O D E（第 4 题答案图）3 数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数。所以12345,a a a aa 只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5 种情形满足条件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1。二、填空题（共5 小题，每小题 6 分，满分 30分）6、对于实数 u，v，定义一种运算“”为：uvuvv，若关于 x 的方程1()4xax有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是。答 a0，或 a1 解：由1()4xax，得21(1)(1)04axax，依题意有210,(1)(1)0,aaa解得，a0，或 a1 7、小王沿街匀速行走，发现每隔6 分钟从背后驶过一辆18 路公交车，每隔 3 分钟从迎面驶来一辆18 路公交车，假设每辆18 路公交车行驶速度相同，而且 18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟。答 4。解：设 18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米。每隔 6 分钟从背后开过一辆18 路公交车，则66xys每隔 3 分钟从迎面驶来一辆18 路公交车，则33xys由，可得4sx，所以4sx即 18 路公交车总站发车间隔的时间是4 分钟。4 8、如图，在 ABC 中，AB7，AC11，点 M 是 BC 的中点，AD 是BAC 的平分线，MFAD，则 FC 的长为。答 9。解：如图，设点N 是 AC 的中点，连接 MN，则 MNAB又 MFAD，所以 FMN BADDACMFN，所以 FNMN12AB，因此 FCFNNC12AB12AC9。9、ABC 中，AB7，BC8，CA9，过 ABC 的内切圆圆心 l 作 DEBC，分别与 AB、AC 相交于点 D，E，则 DE 的长为。答163解：如图，设 ABC 的三边长为,a b c，内切圆 l 的半径为 r，BC 边上的高为ah，则11()22aABCahSabc r，所以arahabc，因为 ADEABC，所以它们对应线段成比例，因此,aahrDEhBC所以 DE()(1)(1)aaahrraa bcaaahhabcabc故DE8(79)168796。10、关于 x，y 的方程22208()xyxy 的所有正整数解为。答48,32,xy160,32xyA B C D M F（第 8 题）A B C D M F（第 8 题答案图）N A B C D E I r ha（第 9 题答案图）5 解：因为 208 是 4 的倍数，偶数的平方数除以4 所得的余数为 0，奇数的平方数除以 4所得的余数为 1，所以 x，y 都是偶数。设：2,2,xa yb则22104()abab，同上可知，,a b都是偶数，设2,2ac bd，则2252()cdcd，所以，,c d都是偶数，设2,2cs dt，则2226()stst，于是222(13)(13)2 13st，其中,s t都是偶数。所以222222(13)2 13(13)2 131511st所以 s13可能为 1，3，5，7，9，进而2(13)t为 337,329,313,289,257，故只能是2(13)t289，从而 s137，于是6,4;st20,4,st因此48,32,sy160,32sy三、解答题（共4 题，每题 15 分，满分 60分）11、已知一次函数12yx，二次函数221yx，是否存在二次函数cbxaxy23，其图象经过点（5,2），且对于任意实数 x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值12,yy，3y，都有123yyy 成立？若存在，求出函数3y的解析式；若不存在，请说明理由。解：存在满足条件的二次函数。因为222122(1)21(1)0yyxxxxx，所以，当自变量 x 取任意实数时，12yy 均成立。由已知，二次函数cbxaxy23的图象经过点（5,2），得2552abc当1x时，有122yy，3yabc由于对于自变量 x取任实数时，132yyy 均成立，所以有 2abc6 2，故2abc由，得4ba，25ca，所以234(25).yaxaxa,5 分当13yy 时，有224(25)xaxaxa，即2(42)(25)0axaxa所以，二次函数2(42)(25)yaxaxa 对于一切实数 x，函数值大于或等于零，故20(42)4(25)0aaaa即20,(31)0,aa所以13a当23yy时，有224(25)1axaxax，即2(1)4(51)0a xaxa，所以，二次函数2(1)4(51)ya xaxa对于一切实数 x，函数值大于或等于零，故210,(4)4(1)(51)0,aaaa即21,(31)0,aa所以13a综上，141,4,25333abaca所以，存在二次函数23141333yxx，在实数范围内，对于x 的同一个值，都有132yyy 成立。,15 分12、是否存在质数,p q，使得关于 x 的一元二次方程20pxqxp有有理数根？解：设方程有有理数根，则判别式为平方数。令2224qpn，其中 n是一个非负整数，则2()()4qn qnp，,5 分由于 1qmqn且qn与qn同奇偶，故同为偶数。因此，有如下几种可能情形：22,2,qnqnp24,qnqnp,4,qnpqnp2,2,qnpqnp2,4.qnpqn7 消去 n，解得21qp，222pq，52pq，2qp，222pq,10分对于第 1,3种情形，2p，从而5q；对于第 2,5 种情形，2p，从而4q（不合题意，舍去）；对于第 4 种情形，q是合数（不合题意，舍去）。又当2,5pq时，方程为 22520 xx，它的根为121,22xx，它们都是有理数。综上有述，存在满足题设的质数。,15 分13、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角 2 倍的 ABC？证明你的结论。解：存在满足条件的三角形。当ABC 的三边长分别为6,4,5abc时，A2B，,5 分如图，当 A2B 时，延长 BA 至点 D，使ADACb，连接 CD，则 ACD 为等腰三角形。因为 BAC 为ACD 的一个外角，所以BAC2D，由已知，BAC2B，所以BD，所以 CBD 为等腰三角形。又D 为ACD 与CBD 的一个公共角，有ACDCBD，于是ADCDCDBD，即baabc，所以2().ab bc,10 分而264(45),所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形。,15 分说明：满足条件的三角形是唯一的。若A2B，可得2()ab bc，有如下三种情形；(i)当acb时，设1,1ancn bn（n 为大于 1 的正整数），代入2()ab bc，得2(1)(1)(21)nnn，解得5n，有6,4,5abc；A B C D（第 13 题答案图）8(ii)当bac时，设1,1cnan bn（n为大于 1 的正整数），代入2()ab bc，得2(1)2nnn，解得2n，有2,1,3abc，此时不能构成三角形；(iii)当abc时，设1,1anbn cn（n 为大于 1 的正整数），代入2()ab bc，得2(1)(21)nnn，即2310nn，此方程无整数解。所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2 倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件。14、已知有 6 个互不相同的正整数126,a aa，且126aaa，从这 6个 数 中 任 意 取 出3个 数，分 别 设 为,ijka aa，其 中ijk，记123(,)ijkfijkaaa。证明：一定存在3 个不同的数组(,)i j k，其中16ijk，使得对应着的 3 个(,)f ij k两两之差的绝对值都小于0.5。证明：在 6 个正整数中任意取出3 个数共有 20 种取法，从而确定了20 个数组(,)i j k，由于 012312313(,)3213ijkf i j kaaa,5 分把数轴上的点 0 到点133分成如下 9 个部分；012x，112x，312x，322x，522x，532x，732x，742x，1343x,10 分由于 20922，由抽屉原则知，在上述9 个部分中，一定有一个至少含有 3 个(,)f ij k，从而，这 3 个(,)f i j k两两之差的绝对值都小于0.5。,15 分