高中数学竞赛标准教材(共18讲).pdf

第一章集合与简易逻辑一、基础知识定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合 A 中，称x属于 A，记为Ax，否则称x不属于 A，记作Ax。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如 1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如 有理数，0 xx分别表示有理数集和正实数集。定义 2 子集：对于两个集合A 与 B，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集，记为BA，例如ZN。规定空集是任何集合的子集，如果A是 B的子集，B 也是 A 的子集，则称A 与 B 相等。如果A 是 B 的子集，而且B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。定义 3 交集，.BxAxxBA且定义 4 并集，.BxAxxBA或定义 5 补集，若,1AxIxxACIA且则称为 A 在 I 中的补集。定义 6 差集，,BxAxxBA且。定义 7 集合,baRxbxax记作开区间),(ba，集合,baRxbxax记作闭区间,ba，R 记作).,(定理 1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：（1）);()()(CABACBA（2）)()()(CABACBA；（3）);(111BACBCAC（4）).(111BACBCAC【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。（1）若)(CBAx，则Ax，且Bx或Cx，所以)(BAx或)(CAx，即)()(CABAx；反之，)()(CABAx，则)(BAx或)(CAx，即Ax且Bx或Cx，即Ax且)(CBx，即).(CBAx（3）若BCACx11，则ACx1或BCx1，所以Ax或Bx，所以)(BAx，又Ix，所以)(1BACx，即)(111BACBCAC，反之也有.)(111BCACBAC定理 2 加法原理：做一件事有n类办法，第一类办法中有1m种不同的方法，第二类办法中有2m种不同的方法，第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事一共有nmmmN21种不同的方法。定理 3 乘法原理：做一件事分n个步骤，第一步有1m种不同的方法，第二步有2m种不同的方法，第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事一共有nmmmN21种不同的方法。二、方法与例题1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例 1 设,22ZyxyxaaM，求证：（1）)(,12ZkMk；（2）)(,24ZkMk；（3）若MqMp,，则.Mpq证明（1）因为Zkk1,，且22)1(12kkk，所以.12Mk（2）假设)(24ZkMk，则存在Zyx,，使2224yxk，由于yx和yx有相同的奇偶性，所以)(22yxyxyx是奇数或4 的倍数，不可能等于24k，假设不成立，所以.24Mk（3）设Zbayxbaqyxp,2222，则)(2222bayxpq22222222aybxbyaaMyaxbybxa22)()(（因为ZyaxbZyaxa,）。2利用子集的定义证明集合相等，先证BA，再证AB，则 A=B。例 2 设 A，B 是两个集合，又设集合M 满足BAMBABAMBMA,，求集合 M（用 A，B 表示）。【解】先证MBA)(，若)(BAx，因为BAMA，所以MxMAx,，所以MBA)(；再证)(BAM，若Mx，则.BAMBAx1）若Ax，则BAMAx；2）若Bx，则BAMBx。所以).(BAM综上，.BAM3分类讨论思想的应用。例 3 02,01,023222mxxxCaaxxxBxxxA，若CCAABA,，求.,ma【解】依题设，2,1A，再由012aaxx解得1ax或1x，因为ABA，所以AB，所以Aa1，所以11a或 2，所以2a或 3。因为CCA，所以AC，若C，则082m，即2222m，若C，则C1或C2，解得.3m综上所述，2a或3a；3m或2222m。4计数原理的应用。例 4 集合 A，B，C 是 I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若IBA，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求 I 的非空真子集的个数。【解】（1）集合 I 可划分为三个不相交的子集；A B，B A，IBA,中的每个元素恰属于其中一个子集，10 个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有 310个。（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2 也有两种，第 10 步，0 也有两种，由乘法原理，子集共有1024210个，非空真子集有1022 个。5配对方法。例 5 给定集合,3,2,1nI的k个子集：kAAA,21，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k的值。【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得12n对，每一对不能同在这k个子集中，因此，12nk；其次，每一对中必有一个在这k个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A 与 A，并设1AA，则ACA11，从而可以在k个子集中再添加AC1，与已知矛盾，所以12nk。综上，12nk。6竞赛常用方法与例问题。定理 4 容斥原理；用A表示集合A 的元素个数，则,BABABACBACBCABACBACBA，需要xy 此结论可以推广到n个集合的情况，即nikjijinkjijiiniiAAAAAAA111.)1(11niinA定义 8 集合的划分：若IAAAn21，且),1(jinjiAAji，则这些子集的全集叫I 的一个n-划分。定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。定理 6 抽屉原理：将1mn个元素放入)1(nn个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1m个元素，也必有一个抽屉放有不多于m个元素；将无穷多个元素放入n个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。例 6 求 1，2，3，100 中不能被 2，3，5 整除的数的个数。【解】记）2（2,1001,100,3,2,1xxxxAI记为整除能被且，5,1001,3,1001xxxCxxxB，由容斥原理，31002100CBAACCBBACBACBA7430100151001010061005100，所以不能被2，3，5 整除的数有26CBAI个。例 7 S 是集合 1，2，2004 的子集，S中的任意两个数的差不等于4 或 7，问 S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这 11 个数按连续两个为一组，分成6 组，其中一组只有一个数，若S 含有这 11 个数中至少6 个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以 S 至多含有其中5 个数。又因为 2004=182 11+2，所以 S 一共至多含有182 5+2=912 个元素，另一方面，当,2004,10,7,4,2,1,11NkrttkrrS时，恰有912S，且 S满足题目条件，所以最少含有912 个元素。例8求所有自然数)2(nn，使得存在实数naaa,21满足：.2)1(,2,11nnnjiaaji【解】当2n时，1,021aa；当3n时，3,1,0321aaa；当4n时，1,5,2,04321aaaa。下证当5n时，不存在naaa,21满足条件。令naaa210，则.2)1(nnan所以必存在某两个下标ji，使得1njiaaa，所以1111nnnaaaa或21aaann，即12a，所以1,2)1(1nnnaanna或2)1(nnan，12a。（）若1,2)1(1nnnaanna，考虑2na，有22nnaa或22aaann，即22a，设22nnaa，则121nnnnaaaa，导致矛盾，故只有.22a考虑3na，有23nnaa或33aaann，即33a，设23nnaa，则02212aaaann，推出矛盾，设33a，则2311aaaann，又推出矛盾，所以4,22naan故当5n时，不存在满足条件的实数。（）若1,2)1(2annan，考虑2na，有12nnaa或32aaann，即23a，这时1223aaaa，推出矛盾，故21nnaa。考虑3na，有23nnaa或nnaa33a，即3a=3，于是123nnaaaa，矛盾。因此32nnaa，所以12211aaaann，这又矛盾，所以只有22aan，所以4n。故当5n时，不存在满足条件的实数。例 9 设 A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在 A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合iA，.201,2,20,2,1jiAAiji求n的最小值。【解】.16minn设 B 中每个数在所有iA中最多重复出现k次，则必有4k。若不然，数m出现k次（4k），则.123k在m出现的所有iA中，至少有一个A 中的数出现3 次，不妨设它是1，就有集合 1，121,bmaa,1,1365243bmaabmaa，其中61,iAai，为满足题意的集合。ia必各不相同，但只能是2，3，4，5，6 这 5 个数，这不可能，所以.4k20 个iA中，B 中的数有40 个，因此至少是10 个不同的，所以16n。当16n时，如下20 个集合满足要求：1，2，3，7，8，1，2，4，12，14，1，2，5，15，16，1，2，6，9，10，1，3，4，10，11，1，3，5，13，14，1，3，6，12，15，1，4，5，7，9，1，4，6，13，16，1，5，6，8，11，2，3，4，13，15，2，3，5，9，11，2，3，6，14，16，2，4，5，8，10，2，4，6，7，11，2，5，6，12，13，3，4，5，12，16，3，4，6，8，9，3，5，6，7，10，4，5，6，14，15。例 10 集合 1，2，3n可以划分成n个互不相交的三元集合,zyx，其中zyx3，求满足条件的最小正整数.n【解】设其中第i个三元集为,2,1,nizyxii则 1+2+niizn1,43所以niiznn142)13(3。当n为偶数时，有n38，所以8n，当n为奇数时，有138 n，所以5n，当5n时，集合 1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，14，8 满足条件，所以n的最小值为5。三、基础训练题1给定三元集合,12xxx，则实数x的取值范围是_。2若集合,0122RxRaxaxxA中只有一个元素，则a=_。3集合3,2,1B的非空真子集有_个。4已知集合01,0232axxNxxxM，若MN，则由满足条件的实数a组成的集合P=_。5已知,2axxBxxA，且BA，则常数a的取值范围是_。6若非空集合S满足5,4,3,2,1S，且若Sa，则Sa6，那么符合要求的集合S有_个。7集合1412ZkkYZnnX与之间的关系是_。8若集合 1,xyxyxA，其中Zx，Zy且0y，若A0，则 A 中元素之和是_。9集合01,062mxxMxxxP，且PM，则满足条件的m值构成的集合为 _。10集合,9,122RxxyyBRxxyxA，则BA_。11 已知 S 是由实数构成的集合，且满足 1）2;1S）若Sa，则Sa11。如果S，S中至少含有多少个元素？说明理由。12已知BACaxyyxBxayyxA,),(,),(，又 C 为单元素集合，求实数a的取值范围。四、高考水平训练题1已知集合,0,yxByxxyxA，且 A=B，则x_，y_。2,9,1)()(,2,9,8,7,6,5,4,3,2,111BCACBAIBIAI 8,6,4)(1BAC，则)(1BCA_。3已知集合 121,03102mxmxBxxxA，当BA时，实数m的取值范围是 _。4若实数a为常数，且axaxxAa则,1112_。5集合 1,12,3,3,1,22mmmNmmM，若3NM，则m_。6集合,27,35NyybbBNxxaaA，则BA中的最小元素是_。7集合 0,2222yxyxBxyyxyxA，且 A=B，则yx_。8已知集合04,021pxxBxxxA，且AB，则p的取值范围是_。9设集合,05224),(,01),(22yxxyxBxyyxA),(bkxyyxC，问：是否存在Nbk,，使得CBA)(，并证明你的结论。10集合 A 和 B 各含有 12 个元素，BA含有 4 个元素，试求同时满足下列条件的集合C的个数：1）BAC且 C 中含有 3 个元素；2）AC。11判断以下命题是否正确：设A，B 是平面上两个点集，),(222ryxyxCr，若对任何0r，都有BCACrr，则必有BA，证明你的结论。五、联赛一试水平训练题1已知集合ABBxmxxmzzBxxA且,2,11,02，则实数m的取值范围是 _。2集合 12,2,3,2,1nnA的子集 B 满足：对任意的ByxByx,，则集合B中元素个数的最大值是_。3已知集合2,2dadaaQaqaqaP，其中0a，且Ra，若 P=Q，则实数q_。4已知集合1),(,0,),(yxxyyxBaayxyxA，若BA是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a_。5集合,4812ZnlmlnmuuM，集合,121620ZrqprqpuuN，则集合M 与 N 的关系是 _。6设集合1995,3,2,1M，集合 A 满足：MA，且当Ax时，Ax15，则 A中元素最多有 _个。7非空集合223,5312xxBaxaxA，则使BAA成立的所有a的集合是 _。8已知集合A，B，aC（不必相异）的并集,2,1nCBA,则满足条件的有序三元组（A，B，C）个数是 _。9已知集合 1),(,1),(,1),(22yxyxCayxyxByaxyxA，问：当a取何值时，CBA)(为恰有 2 个元素的集合？说明理由，若改为3 个元素集合，结论如何？10求集合B 和 C，使得10,2,1CB，并且 C 的元素乘积等于B 的元素和。11S是 Q 的子集且满足：若Qr，则0,rSrSr恰有一个成立，并且若SbSa,，则SbaSab,，试确定集合S。12集合 S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？六、联赛二试水平训练题1321,SSS是三个非空整数集，已知对于1，2，3 的任意一个排列kji,，如果iSx，jSy，则iSyx。求证：321,SSS中必有两个相等。2求证：集合 1，2，1989 可以划分为117 个互不相交的子集)117,2,1(iAi，使得（1）每个iA恰有 17 个元素；（2）每个iA中各元素之和相同。3某人写了n封信，同时写了n个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？4设2021,aaa是 20 个两两不同的整数，且整合201jiaaji中有 201 个不同的元素，求集合201jiaaji中不同元素个数的最小可能值。5设 S 是由n2个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。6对于整数4n，求出最小的整数)(nf，使得对于任何正整数m，集合1,1,nmmm的任一个)(nf元子集中，均有至少3个两两互质的元素。7设集合S=1，2，50，求最小自然数k，使 S的任意一个s元子集中都存在两个不同的数 a 和 b，满足abba)(。8集合NkkX,6,2,1，试作出X 的三元子集族&，满足：（1）X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；（2）k的元素个数表示&(6&2。9设集合21，m，A，求最小的正整数m，使得对 A 的任意一个14-分划1421,AAA，一定存在某个集合)141(iAi，在iA中有两个元素a 和 b 满足bab34。