全等三角形培优竞赛训练题(20220316221930).pdf
1 全等三角形培优竞赛训练题1、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接DF，G 为 DF 中点，连接EG，CG（1）直接写出线段EG 与 CG 的数量关系；（2）将图 1 中 BEF 绕 B 点逆时针旋转45o，如图 2 所示，取DF 中点 G，连接 EG，CG你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）将图 1 中 BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图3 所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？F B A D C E G 图 1 F B A D C E G 图 2 F B A C E 图 3D 2 2、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形 ABCD 是正方形，点E 是边 BC 的中点90AEF，且 EF 交正方形外角DCG的平行线CF 于点 F，求证：AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证AMEECF，所以AEEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边 BC 的中点”改为“点E 是边 BC 上（除B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点 E 是 BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B 图 3 3 3、已知RtABC中，90ACBCCD，为AB边的中点，90EDF，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证12DEFCEFABCSSS当EDF绕D点旋转到DEAC和不垂直时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEFS、CEFS、ABCS又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明A E C F B D 图 1 图 3 A D F E C B A D B C E 图 2 F 4 4、在ABC中，2120ABBCABC，将ABC绕 点B顺 时 针 旋 转 角(090)得A BCA B111，交AC于点E，11AC分别交ACBC、于DF、两点（1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图 2，当30时，试判断四边形1BC DA的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求ED的长A D B E C F 1A1CA D B E C F 1A1C5 5、如图 9，若ABC 和ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE，AMN 是等边三角形（1）当把 ADE 绕 A 点旋转到图10 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4 分）（2）当 ADE 绕 A 点旋转到图11 的位置时，AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD 时，ADE 与ABC及AMN 的面积之比；若不是，请说明理由（6 分）图 9 图 10 图 11 6 6、点 C 为线段 AB 上一点，ACM,CBN 都是等边三角形，线段 AN,MC 交于点 E，BM,CN 交于点 F。求证：（1）AN=MB.（2）CEF 为等边三角形。（3）将 ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？(只回答不证明)，（4）AN 与 BM 相交所夹锐角是否发生变化，（只回答不证明)。OOFEABABNCMMCNFE7 7、问题：已知ABC中，2BACACB，点D是ABC内的一点，且ADCD，BDBA探究DBC 与ABC 度数的比值请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明（1）当90BAC时，依问题中的条件补全右图观察图形，AB与 AC 得数量关系为_；当退出15DAC时，可进一步推出D B C 的度数为 _；可得到DBC 与ABC 度数的比值为_（2）当90BAC时，请你画出图形，研究DBC 与ABC 度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明CBA图1DCBA8 8、直线CD 经过BCA的顶点C，CA=CB E、F 分别是直线CD 上两点，且BECCFA（1）若直线CD 经过BCA的内部，且E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图1，若90,90BCA，则EFBEAF（填“”，“”或“”号）；如图2，若0180BCA，若使中的结论仍然成立，则与BCA应满足的关系是；（2）如图 3，若直线CD 经过BCA的外部，BCA，请探究EF、与 BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图 1 图 2 图 3 9 9、(1)如图 1,在正方形ABCD 中,点 E,F 分别在边BC,CD 上,AE,BF 交于点 O,AOF90.求证：BECF.(2)如图 2,在正方形ABCD 中,点 E,H,F,G 分别在边AB,BC,CD,DA 上,EF,GH 交于点 O,FOH 90,EF4.求 GH 的长.(3)已知点 E,H,F,G 分别在矩形ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上，EF,GH 交于点 O,FOH 90,EF 4.直接写出下列两题的答案：如图 3,矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成,求 GH 的长；如图 4,矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成,求 GH 的长(用 n 的代数式表示).第 23 题图 1 第 23 题图 2 第 23 题图 3 第 23 题图 4 10 10、如图，直角梯 形ABCD中，BCAD，90BCD，且2tan2CDADABC，过点D 作ABDE，交BCD的平分线于点E，连接BE（1）求证：BCCD；（2）将BCE绕点 C，顺时针旋转90得到DCG，连接 EG.求证：CD 垂直平分EG.（3）延长 BE 交 CD 于点 P求证：P 是 CD 的中点11、已知：如图，AF 平分 BAC，BCAF，垂足为 E，点 D 与点 A 关于点 E 对称，PB 分别与线段CF，AF 相交于 P，M(1)求证：AB=CD；(2)若 BAC=2MPC，请你判断F 与 MCD的数量关系，并说明理由A D G E C B FMPE DCBA11 12、如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线BD（不含 B 点）上任意一点，将BM 绕点 B 逆时针旋转60 得到 BN，连接 EN、AM、CM.求证：AMB ENB；当 M 点在何处时，AM CM 的值最小；当 M 点在何处时，AM BM CM 的值最小，并说明理由；E A D B C N M
