初中数学竞赛教程汇总.pdf

1 七年级第一讲有理数（一）一、【能力训练点】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,nm n互质）。4、性质：顺序性（可比较大小）；四则运算的封闭性（0 不作除数）；稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。5、绝对值的意义与性质：(0)|(0)a aaa a 非负性2(|0,0)aa 非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。二、【典型例题解析】：1 如果m是大于 1 的有理数，那么m一定小于它的（）A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 2.已 知 两 数a、b互 为 相 反 数，c、d互 为 倒 数，x的 绝 对 值 是2，求22 006()()()xabc dxabc d的值。3.如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么|abab化简的结果等于（）A.2a B.2a C.0 D.2b4.有 3个有理数a,b,c，两两不等，那么,ab bc cabc ca ab中有几个负数？5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,ab a的形式式，又可表示为0，ba，b的形式，求20062007ab。2 6.三 个 有 理 数,a b c的 积 为 负 数，和 为 正 数，且|abcabbcacXabcabbcac则321axbxcx的值是多少？7.若,a b c为整数，且20072007|1abca，试求|caabbc的值。第二讲有理数（二）一、【能力训练点】：1、绝对值的几何意义|0|aa表示数a对应的点到原点的距离。|ab表示数a、b对应的两点间的距离。2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。二、【典型例题解析】：1若20a，化简|2|2|aa 2试化简|1|2|xx3.若|5|2|7xx，求x的取值范围。4.已知()|1|2|3|2002|f xxxxx求()f x的最小值。5若|1|ab与2(1)ab互为相反数，求321ab的值。3 6.如果0abc，求|abcabc的值。7.x是什么样的有理数时|(2)(4)|2|4|xxxx等式成立？第三讲有理数（三）一、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。3、巧算的一般性技巧：凑整（凑0）；巧用分配律 去、添括号法则；裂项法4、综合运用有理数的知识解有关问题。二、【典型例题解析】：1计算：237970.716.62.20.73.3117311821111111111(1)()(1)23199623419972319971111()23419963 计算：2222222221314112131411nnSn4.比较1234248162nnnS与 2 的大小。4 5.计算（1）1111142870130208（2）2221 33599 101第四讲代数式（一）一、【能力训练点】：（1）列代数式；（2）代数式的意义；（3）代数式的求值（整体代入法）二、【典型例题解析】：1.求代数式的值：（1）已知25abab，求代数式2(2)3()2abababab的值。（2）已知225xy的值是 7，求代数式2364xy的值。（3）已知113ba，求222abababab的值。（4）已知：当1x时，代数式31Pxqx的值为 2007，求当1x时，代数式31Pxqx的值。（5）已知等式(27)(38)810AB xABx对一切x都成立，求A、B的值。5（6）已知223(1)(1)xxabxcxdx，求abcd的值。（7）当多项式210mm时，求多项式3222006mm的值。2.已知多项式222259337yxxyxnxymy经合并后，不含有y的项，求2mn的值。3.当250(23)ab达到最大值时，求22149ab的值。4.若,a b c互异，且xyabbcca，求xyZ的值。5.已知2215,6mmnmnn，求2232mmnn的值。6.已知1abc，求111abcababcbacc的值。7.已知1ab，比较 M、N的大小。1111Mab，11abNab。8.已知210 xx，求321xx的值。6 9.已知xyzKyzxzxy，求 K的值。10.5544333,4,5abc，比较,a b c的大小。11.已知22350aa，求432412910aaa的值。第五讲一元一次方程（一）一、【能力训练点】：1、等式的性质。2、一元一次方程的定义及求解步骤。3、一元一次方程的解的理解与应用。4、一元一次方程解的情况讨论。二、【典型例题解析】：1.能否从(2)3axb；得到32bxa，为什么？反之，能否从32bxa得到(2)3axb，为什么？2.若关于x的方程2236kxmxnk，无论 K为何值时，它的解总是1x，求m、n的值。3.若5545410(31)xa xa xa xa。求543210aaaaaa的值。4.已知1x是方程11322mxx的解，求代数式22007(79)mm的值。7 5.关于x的方程(21)6kx的解是正整数，求整数K的值。6.关于x的一元一次方程22(1)(1)80mxmx求代数式200()(2)mxxmm的值。7.解方程20061 2233420062007xxxx8.当a满足什么条件时，关于x的方程|2|5|xxa，有一解；有无数解；无解。第六讲一元一次方程（2）一、【能力训练点】：1、列方程应用题的一般步骤。2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、利润问题、增长率问题）二、【典型例题解析】1要配制浓度为20%的硫酸溶液100 千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？2一项工程由师傅来做需8 天完成，由徒弟做需16 天完成，现由师徒同时做了4 天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？8 3某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24 元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12 个，剩下的蛋以每个0.28 元售出，结果仍获利11.2 元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋？4一个三位数，十位上的数比个位上的数大4，个位上的数比百位上的数小2，若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为7:4，求原来的三位数？5一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的13后，用水加满，第二次倒出它的12后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。6.某中学组织初一同学春游，如果租用45 座的客车，则有15 个人没有座位；如果租用同数量的60 座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45 座的客车日租金为每辆车250 元，60 座的客车日租金为每辆300 元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？7.有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24 部 A型抽水机，6 天可抽干池水，若用21 部 A型抽水机13 天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A型抽水机抽水？第七讲：线段和角【能力训练点】：数线段数角数三角形问题 1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？9 分析：点线段2 1 3 3=1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 6 15=1+2+3+4+5 n 1+2+3+(n-1)=21nn问题 2如图，在AOB内部从 O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有（）个(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 拓展：1、在 AOB内部从 O点引出 n 条射线图中小于平角的角共有多少个？射线角 1 3=1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 n 1+2+3+(n+1)=221 nn类比：从O点引出 n 条射线图中小于平角的角共有多少个？射线角2 1 3 3=1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 n 1+2+3+(n-1)=21nn类比联想：如图，可以得到多少三角形？（二）与线段中点有关的问题线段的中点定义：文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点图形语言：MBA几何语言：M 是线段 AB的中点12AMBMAB，22AMBMAB【典型例题】：1由下列条件一定能得到“P是线段 AB的中点”的是（）（A）AP=21AB （B）AB 2PB （C）AP PB （D）AP PB=21AB 2若点 B在直线 AC上，下列表达式：ACAB21；AB=BC；AC=2AB；AB+BC=AC 其中能表示B是线段 AC的中点的有（）10 A 1 个 B2 个 C 3 个 D4 个3.如果点 C在线段 AB上,下列表达式AC=12AB;AB=2BC;AC=BC;AC+BC=AB 中,能表示 C是 AB中点的有()A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个第八讲：与三角形有关的线段一、【能力训练点】：1三角形的边三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边即：ABC中，a+bc,b+ca,c+ab（两点之间线段最短）由上式可变形得到：ac b，bac，cba 即有：三角形的两边之差小于第三边2.高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。3.中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线4.角平分线：三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线二、【典型例题】1已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么 a的取值范围是()A.1a5 B.2a6 C.3a7 D.4a12（AB+AC）3已知:BE,CE分别为ABC 的外角 MBC,NCB的角平分线,求:E与 A的关系4已知:BF 为 ABC的角平分线,CF为外角 ACG 的角平分线,求:F 与 A的关系。11 思考题：如图：ABC与 ACG的平分线交于F1；F1BC与 F1CG 的平分线交于F2；如此下去,F2BC 与 F2CG的平分线交于F3；探究 Fn 与 A的关系（n 为自然数）第九讲：与三角形有关的角一、【能力训练点】：（一）三角形内角和定理：三角形的内角和为180（二）三角形的外角性质定理：1.三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和2.三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角（三）多边形内角和定理：n 边形的内角和为(2)180n多边形外角和定理：多边形的外角和为360二、【典型例题】1多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350，求多边形的边数。2科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图4 中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（）A.6米 B.8米 C.12米 D.不能确定第十讲：二元一次方程组一、【能力训练点】：1.二元一次方程的定义：经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。2、二元一次方程的标准式：00,0axbycab3、二元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右两边的值相等的一对x、y的值，叫做这个方程的一个解。4、二元一次方程组的定义：12 方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。二、【典型例题】1若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9 有公共解，那么k 的取值应是（）A、k=-4 B、k=4 C、k=-3 D、k=3 2已知方程组9.30531332baba的解是2.13.8ba，则方程组9.301523131322yxyx的解是（）A 2.13.8yx B2.23.10yx C2.23.6yx D2.03.10yx3解方程组4513453xyxy 4解方程组:3:213532xyxy5字母系数的二元一次方程组：（1）当a为何值时，方程组2133axyxy有唯一的解（2）当m为何值时，方程组2122xyxmy有无穷多解13 第十一讲：一元一次不等式一、【能力训练点】：1不等式的基本性质通过对比不等式和方程的性质，使学生学会用类比的方法看问题。性质 1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。若 ab，则 a+cb+c（a-cb-c）。性质 2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。若 ab 且 c0，则 acbc。性质 3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。若 ab 且 c0，则 acb 则（1）当bxax时，则ax，即“大大取大”（2）当bxax时，则bx，即“小小取小”（3）当bxax时，则axb，即“大小小大取中间”（4）当bxax时，则无解，即“大大小小取不了”二、【典型例题】：1若不等式axb 的解集是xab，则 a 的范围是（）14 A、a0 B、a 0 C、a0 D、a0 2解关于 x 的不等式2355mxmxm3若不等式21350m xxx和是同解不等式，求m的值。4若不等式组841xxxm的解是 x3，则 m的取值范围是（）A 3m B3m C3m D3m5 关于 x 的不等式组23(3)1324xxxxa有四个整数解，则a 的取值范围是（）A11542a B11542a C 11542a D11542a6已知关于x、y的方程组2121xyaxya的解适合不等式21xy，求a的取值范围.第十二讲：一元一次不等式（组）的应用一、【能力训练点】：1能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有关问题。2能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力。3能够用分类讨论思想解有关问题。4能利用不等式解决实际问题15 二、【典型例题】1m取什么样的负整数时，关于x 的方程112xm的解不小于 3.2已知x、y满足22210 xyaxya且31xy，求a的取值范围.3比较231aa和225aa的大小4某饮料厂开发了A、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800 克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100 瓶，设生产A种饮料 x 瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果 A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80 元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与 x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低？原料名称饮料名称甲乙A 20 克40 克B 30 克20 克5某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按120 个工时计算）生产空调器，彩电，冰箱共360 台，且冰箱至少生产40 台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问：每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少万元？家电名称空调器彩电冰箱工时（个）121314产值（万元/台）0.4 0.3 0.2 16 八年级第一讲全等三角形的性质与判定一、【能力训练点】：1能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2全等三角形性质：全等三角形对应边相等，对应角相等；全等三角形对应高、角平分线、中线相等；全等三角形对应周长相等，面积相等；3全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有 HL法；4证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5 证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.二、【经典练习】1（绍兴）如图，D、E分别为 ABC的 AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在 AB边上的点 P处.若 CDE 48，则 APD等于（）A42B48C52D582如图，RtABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到DEF，下列结论中错误的是（）A ABC DEF B DEF 90C ACDF DEC CF 3一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.求证：AB ED；若 PB BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.4.（第 21 届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是 ABC的边 A C和 AB边上的高，点P在 BD的延长线，BPAC，点 Q在 CE上，CQ AB.求证：APAQ；AP AQ E F B A B P D E C 第 1 题图A C D G 第 2 题图B F A C E N M P D D A C B F E 2 1 A B C P Q E F D 17 A E F C D B 5如图,AB CD,ABCD.BC12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿 CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s,Q的速度是0.2cm/s.求爬行时间t 为多少时，APB QDC.6如图,ABC中，BCA 90，AC BC，AE是 BC边上的中线，过C 作 CFAE，垂足为F，过 B 作BD BC交 CF的延长线于D.求证：AE CD；若 AC 12cm,求 BD的长.7如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C 放在直线 l 上，从另两个顶点A、B分别作 l 的垂线，垂足分别为D、E.找出图中的全等三角形，并加以证明；若 DE a，求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）8如图，AD为在 ABC的高，E为 AC上一点，BE交 AD于点 F,且有 BF AC，FDCD.求证：BE AC；若把条件“BFAC”和结论“BE AC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.9如图，D为在 ABC的边 BC上一点，且CD AB，BDA BAD，AE是 ABD的中线.求证：AC 2AE.A B E D C D A C.Q P.B D B A C E F B D E C l A 18 A B C D E A E B D C 10如图，在凸四边形ABCD中，E为 ACD内一点，满足AC AD，AB AE,BAE BCE 90,BAC EAD.求证：CED 90.11（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和 DBE按图方式摆放，其中ACB DEB 90，AD30，点E落在 AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.求证：AFEF DE;若将图中DBE绕点 B 顺时针方向旋转角，且 0 60，其他条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；若将图中DBE绕点 B按顺时针方向旋转角，且 60 180,其他条件不变，如图你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与 DE之间的关系，并说明理由。12（嵊州市高中提前招生考试）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在ABC中，AB 5，AC 13,求 BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到 E，使得DE AD，再连接BE，把 AB、AC、2AD集中在 ABE中，利用三角形的三边关系可得 2AE 8，则 1AD4.感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.问题解决：受到的启发，请你证明下面命题：如图，在ABC中，D 是 BC边上的中点，DE DF，DE交 AB于点 E，DF交 AC于点 F，连接 EF.求证：BE CFEF；A F D F C B E D A C B E A C B 图图图A B E F C D 19 321FEDCABDECABDFEBACFBDECAOFEDABC第二讲角平分线的性质与判定一、【能力训练点】：1角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.3有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.二、【经典练习】1.如图，在 ABC中，BAC 90,ABAC，BE平分 ABC，CE BE.求证：CE 12BD 2如图，已知AC BD，EA、EB分别平分 CAB、DBA，CD过点 E，求证：AB AC BD.3如图，在 ABC中，B 60，AD、CE分别是 BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断FE和 FD之间的数量关系，并说明理由；求证：AE CD AC.4如图，AD是 BAC的平分线，DE AB于 E，DFAC于 F，且 DB DC.求证：BE CF 5如图，在 ABC中，AD是 BAC的平分线，DE AB于点 E，DF AC于点 F.求证：AD EF.20 第三讲等腰三角形一、【能力训练点】：1等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）2等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边3构造等腰三角形的常用方法角平分线平行线等腰三角形角平分线垂线（或高）等腰三角形线段中垂线构造等腰三角形将 2 倍角转化为相等角构造等腰三角形2131 221(4)(3)(2)(1)二、【经典练习】1如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边 BC的中点,以 P为直角顶点的两边分别与边AB、AC交于点 E、F，当 EPF绕顶点 P旋转时(点 E不与 A、B重合)，PEF也始终是等腰三角形，请你说明理由2如图，在等腰三角形ABC中，ACB 900，D是 BC的中点，DE AB 垂足为 E，过点 B作 BF AC交 DE的延长线于点F，连接 CF交 AD于 G求证：AD CF;连接 AF，试判断 ACF 的形状，并说明理由3如图，在ABC中，B2C，AD为BAC的平分线求证：ACAB BD.21 21NMFEDBCA4(天津初赛试题)如图，在四边形ABCD中，ACB BAD 1050，ABC ADC 450，若 AB 2，求CD的长5如图，在ABC中，AB AC，D在 AB上，F 在 AC延长线上，BD CF求证 DE EF.6（滨州）已知等腰ABC的周长为10，若设腰长为x，则 x 的取值范围是 _.7.如图，在ABC中，ABC 460，D是边 BC上一点，DC AB,DAB 210，求 CAD 的度数第四讲等边三角形一、【能力训练点】：1等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形；3在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立二、【经典练习】1.如图，DAC和 EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上AE、BD分别与 CD、CE交于点 M、N(1)求证：ACE DCB;(2)求 AFD的度数；(3)判断 CMN 的形状。22 2.P 是 ABC内一点，PBC 30，PBA 8，且 PAB PAC 22，求 APC的度数。3如图四边形ABCD 中，AB AD，BAD 60，BCD 120求证：ACBC DC 第五讲实数一、【能力训练点】：1平方根与立方根：若2xa(a 0)则 x 叫做 a的平方根，记为：a 的平方根为xa，其中 a 的平方根为xa叫做 a的算术平方根若 x3a，则 x 叫做 a 的立方根记为：a 的立方根为x3a2无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数实数与数轴上的点一一对应任何有理数都可以表示为分数pq（p、q 是两个互质的整数，且q 0）的形式3 非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数即a0，2na 0（n为正整数），a0(a 0)二、【经典练习】1已知 m是小于152的最大整数，则m的平方根是 _2如图，有一个数值转化器，当输入的x 为 64 时，输出的y 是_3.（全国竞赛）已知非零实数a、b 满足2242342ababa，则 ab 等于()输入 x取算术平方根输出 y是无理数是有理数PCBADCBA23 A 1 B 0 C1 D2 4.在实数范围内，等式223aab0 成立，则 ab _5.若 a、b 都为有理效，且满足12 3abb求 ab 的平方根6（西安市竞赛题）已知m、n是有理数，且（52）m(3 25)n 70 求 m、n7.若 a为17-2 的整数部分，b-1 是 9 的平方根，且abba，求 ab 的值8在实数 1.414，2，0.1?5?，5-16，3.1?4?，83125中无理数有()A2 个 B3 个 C4 个 D 5 个9对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算如下：ababab，如 3232325那么 12.4_10.如图，直径为 1 的圆与数轴有唯一的公共点P点 P表示的实数为1如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P，那么点P所表示的数是_11已知整数x、y 满足x2y50，求 x、y12（全国联赛）若a、b 满足35ab7，S23ab，求 S的取值范围第六讲幂的运算一、【能力训练点】：幂的运算性质（其中m、n、p 都为正整数）：1mnm naaa 2()mnmnaa 3()nnnaba b4mnm naaa5011(0)(0)ppaaaaa，二、【经典练习】1.若2n+12448n，求 n的值.24 2若24m，216n，求22mn的值3若35nx，求代数式2332(2)4()nnxx的值4若3mx，6nx，则32mnx_.5已知232122192mm，求m的值6已知3181a，4127b，619c，则 a、b、c 的大小关系是（）Aabc Bacb Cabca 7已知503a，404b，305c，则 a、b、c 的大小关系为（）A abc Bcab Ccba D bca 8如果 x、y 是正整数，且2232xy，求满足条件的整数x、y 9求满足22(1)1nnn的整数 n.10已知 a、b、c 为自然数，且227371998abc，求2010()abc的值11设 a、b、c、d 都是非零自然数，且543219abdca，c，求db的值25 第七讲整式的乘除一、【能力训练点】：1整式的乘法包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等.2整式的除法包括单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式等.3乘法公式：22bababa.2222babababcacabcbacba22222223322babababa3223333babbaaba二、【经典练习】1.baabba则,3,1122 .2若 xy 3,xy 2,求44yx的值.3.若的值求abbababa2222,2,5，4.若 xy1,x2y23.求33yx的值.5.已知 a2009x2006,b 2009x2007,c 2009x 2008,求多项式acbcabcba222的值.6.若3223kxx被12x除后余 2,求 k 的值.7若42323nxmxx能被652xx整除，则m .n .8.若多项式cbxaxxx234能被31x整除，则 abc .26 第八讲因式分解及其应用一、【能力训练点】：1因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；2因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等；3因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；4竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项阿、配方法和待定系数法等方法、另外形如2xpxq的多项式，当pab，qab 时可分解为（xa）（xb）的形式；5利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解.二、【经典练习】1若22199mkmnn是一个完全平方式，则k_ 2若22610340 xyxy，求 x、y 的值.3若2222410aa babb，求 a、b 的值.4（四川省初二联赛试题）已知a、b、c 满足222|24|2|(3)22ababacac，求abc的值.5.已知212xax能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（）A2 个 B 4 个C 6个D8 个6分解因式：2224912xyzyz224443xxyy236abab(1)(2)(3)(4)1xxxx261910yy第九讲分式的概念?性质与运算一、【能力训练点】：1分式的概念和性质若 A、B表示两个整式，且B 中含有字母，则形如AB的式子叫分式，当B0，分式AB有意义分式基本性质：AA MBB M，(0)AAMMBBM27 2分式的运算法则同分母相加减：ababccc；异分母相加减：acadbcbdbd；分式的乘法：a cacb dbd；(4)分式的除法：acacadbdbdbc；(5)分式的乘方：()nnnaabb（n 为正整数）二、【经典练习】1.（天津）若分式22221xxxx的值为 0，则 x 的值等于 _2若代数式1123xxxx有意义，则x 的取值范围是()Ax2 B x2 且 x 3 Cx 3 Dx2，x 3 且 x1 3若式子(8)(1)1xxx的值为 0，则 x 的值为 _4.计算：2411241111xxxx 5计算：12212112xxxx6化简：11111(1)(2)(2)(3)(3)(4)xxxxxxx7计算：()()()()()()abcab acbc bacacb8.已知 a 整数，且代数式2484aaa的值也是整数，求a 的值28 9化简1x(x 1)1(x 1)(x 2)1(x 2)(x 3)1(x 99)(x 100)_10计算：2006242006 42006320062 220064811.已知abab13，bcbc14，acac15，求abcabacbc的值.12.已知 abc1，求证：1aaba1bbcb1cacc 1.13分解因式25222yxyxyx29 初中数学竞赛教程