八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答.pdf

1 初二数学第十一章全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。例 1.如图，,A F E B四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD。求证：ACFBDE。思 路：从 结 论A C FB D E 入 手，全 等 条 件 只 有A CB D；由AEBF两边同时减去EF得到AFBE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CFDE，也可以是AB。由条件 ACCE，BDDF可得90ACEBDF，再加上AEBF，ACBD，可以证明ACEBDF，从而得到AB。证明ACCE，BDDF90ACEBDF在 Rt ACE 与 Rt BDF 中AEBFACBD Rt ACERtBDF(HL)ABAEBFAEEFBFEF，即AFBE在ACF 与BDE中AFBEABACBDACFBDE(SAS)思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。例 2.如图，在ABC 中，BE是 ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C。2 思路：直接证明21C 比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明2且1C。也可以看成将2“转移”到。那么在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了 FBD，可以通过证明三角形全等来证明2=DFB，可以由三角形外角定理得DFB=1+C。证明：延长AD交 BC 于F在ABD与FBD中90ABDFBDBDBDADBFDBABDFBD(ASA 2DFB又1DFBC21C。思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例 3.如图，在ABC 中，ABBC，90ABC。F为AB延长线上一点，点E在 BC 上，BEBF，连接,AE EF 和 CF。求证：AECF。思路：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的ABE绕点B顺时针旋转90到CBF的位置，而线段CF正好是CBF的边，故只要证明它们全等即可。证明：90ABC，F为AB延长线上一点90ABCCBF在ABE与CBF 中ABBCABCCBFBEBFABECBF(SAS)AECF。思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。3 例 4.如图，AB/CD，AD/BC，求证：ABCD。思路：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。证明：连接 ACAB/CD，AD/BC12，34在ABC与CDA中1243ACCAABCCDA(ASA)ABCD。思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例 5.如图，,AP CP 分别是ABC 外角MAC 和NCA 的平分线，它们交于点P。求证：BP为MBN 的平分线。思路：要证明“BP为MBN 的平分线”，可以利用点P到,BM BN的距离相等来证明，故应过点P向,BM BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“,AP CP 分别是MAC 和NCA 的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。证明：过P作PDBM于D，PEAC 于E，PFBN 于FAP平分MAC，PDBM于D，PEAC 于EPDPECP 平分NCA，PEAC 于E，PFBN 于FPEPFPDPE，PEPFPDPFPDPF，且PDBM于D，PFBN 于FBP为MBN 的平分线。思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。4 例 6.如图，D是ABC 的边 BC 上的点，且 CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。求证：2ACAE。思路：要证明“2ACAE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EFAE。证明：延长AE至点F，使EFAE，连接DF在ABE与FDE中AEFEAEBFEDBEDEABEFDE(SAS)BEDFADFADBEDF，ADCBADB又ADBBADADFADCABDF，ABCDDFDC在ADF与ADC 中ADADADFADCDFDCADFADC(SAS)AFAC又2AFAE2ACAE。思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。例7.如 图，在ABC 中，ABAC，12，P为AD上 任 意 一 点。求 证：ABACPBPC。5 原图法一图法二图思路：欲证 ABACPBPC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段ABAC。而构造 ABAC可以采用“截长”和“补短”两种方法。证明：法一：在AB上截取 ANAC，连接 PN在APN 与APC 中12ANACAPAPAPNAPC(SAS)PNPC在BPN 中，PBPNBNPBPCABAC，即 AB ACPB PC。法二：延长 AC 至M，使AMAB，连接PM在ABP与AMP中12ABAMAPAPABPAMP(SAS)PBPM在PCM 中，CMPMPCABACPBPC。思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。同步练习一、选择题：1.能使两个直角三角形全等的条件是()6 A.两直角边对应相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.斜边相等2.根据下列条件，能画出唯一ABC的是()A.3AB，4BC，8CAB.4AB，3BC，30AC.60C，45B，4ABD.90C，6AB3.如图，已知12，ACAD，增加下列条件：ABAE；BCED；CD；BE。其中能使ABCAED的条件有()A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个4.如图，12，CD，,AC BD交于E点，下列不正确的是()A.DAECBEB.CEDEC.DEA不全等于CBED.EAB是等腰三角形5.如图，已知ABCD，BCAD，23B，则D等于()A.67B.46C.23D.无法确定二、填空题：6.如 图，在ABC中，90C，ABC的 平 分 线BD交AC于 点D，且:2:3C DA D，10ACcm，则点D到AB的距离等于 _cm；7.如 图，已 知ABDC，ADBC，,E F是BD上 的 两 点，且BED F，若100AEB，30ADB，则BCF_；7 8.将 一 张 正 方 形 纸 片 按 如 图 的 方 式 折 叠，,BC BD为 折 痕，则CBD的 大 小 为_；9.如图，在等腰Rt ABC中，90C，ACBC，AD平分BAC交BC于D，DEAB于E，若10AB，则BDE的周长等于 _；10.如图，点,D E F B在同一条直线上，AB/CD，AE/CF，且AECF，若10BD，2BF，则EF_；三、解答题：11.如图，ABC为等边三角形，点,M N分别在,BC AC上，且BMCN，AM与BN交于Q点。求AQN的度数。8 12.如图，90ACB，ACBC，D为AB上一点，AECD，BFCD，交CD延长线于F点。求证：BFCE。9 同步练习的答案一、选择题：1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 二、填空题：6.4 7.708.909.10 10.6 三、解答题：11.解：ABC为等边三角形ABBC，60ABCC在ABM与BCN中ABBCABCCBMCNABMBCN(SAS)NBCBAM60AQNABQBAMABQNBC。12.证明：AECD，BFCD90FAEC90ACECAE90ACB90ACEBCFCAEBCF在ACE与CBF中FAECCAEBCFACBCACECBF(AAS)BFCE。