高中数学解析几何解题方.pdf

高考专题：解析几何常规题型及方法本章节处理方法建议：纵观 2006 年全国各省市18 套文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分”的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21 题或 22 题（有时 20 题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面1由于高考中解几内容弹性很大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几分算几分。三、高考核心考点1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0 等等）4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)xy11，(,)xy22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。典型例题给定双曲线xy2221。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。分析：设Pxy111(,)，Pxy222(,)代入方程得xy121221，xy222221。两式相减得()()()()xxxxyyyy12121212120。又设中点 P（x,y），将xxx122，yyy122代入，当xx12时得22201212xyyyxx。又kyyxxyx121212，代入得24022xyxy。当弦P P12斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是24022xyxy说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设 P(x,y)为椭圆xayb22221 上任一点，Fc10(,)，Fc20(,)为焦点，PF F12，PFF21。（1）求证离心率sinsin)sin(e；（2）求|PFPF1323的最值。分析：（1）设|PFr11，|PFr22，由正弦定理得rrc122sinsinsin()。得rrc122s i ns i ns i n()，s i ns i n)s i n(ace（2）()()aexaexaaex3332226。当x0时，最小值是23a；当ax时，最大值是26323ae a。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法典型例题抛 物 线 方 程，直 线与轴 的 交 点 在 抛 物 线 准 线 的 右 边。yp xpxytx210()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且 OA OB，求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。（1）证明：抛物线的准线为114：xp由直线 x+y=t 与 x 轴的交点（t，0）在准线右边，得tptp14440，而由消 去得xytyp xy21()xtp xtp2220()()()()2422tptpptp()440故直线与抛物线总有两个交点。（2）解：设点A(x1，y1)，点 B(x2，y2)xxtpx xtp121222，OAOBkkOAOB，1则 x xy y12120又 y ytxtx1212()()x xy yttp1212220()pf ttt()22又，得 函 数的 定 义 域 是ptpf t0440()()()200，（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。典型例题已知抛物线y2=2px(p0)，过 M（a,0）且斜率为1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|2p（1）求 a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点 N，求 NAB 面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把 NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。解：(1)直线L 的方程为：y=x-a,将 y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L 与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则221212)(204)(4axxpaxxapa,又 y1=x1-a,y2=x2-a,2)2(80,0)2(8,2|0)2(84)(2)()(|21221221221pappapppABappxxxxyyxxAB解得:.42pap(2)设 AB 的垂直平分线交AB 与点 Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：paxxx2213,.2)()(221213paxaxyyy所 以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又 MNQ为 等 腰 直 角 三 角 形，所 以|QM|=|QN|=P2，所 以SNAB=22222|22|21pppABpQNAB,即 NAB 面积的最大值为P22。（5）求曲线的方程问题1曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于 L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线 C 的方程。分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。设出它们的方程，L：y=kx(k 0),C:y2=2px(p0)设 A、B 关于 L 的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（12,11222kkkk），B（1)1(8,116222kkkk）。因为A、B 均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=251,p=552.所以直线L 的方程为：y=251x,抛物线 C 的方程为y2=554x.2曲线的形状未知-求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆 C：x2+y2=1,动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数（0）,求动点 M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。分析：如图，设 MN 切圆 C 于点 N，则动点 M 组成的集合是：P=M|MN|=|MQ|，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：M N Q O(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.当=1 时它表示一条直线；当1 时，它表示圆。这种方法叫做直接法。（6）存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）典型例题已知椭圆C 的方程xy22431，试确定m 的取值范围，使得对于直线yxm4，椭圆 C 上有不同两点关于直线对称。分析：椭圆上两点(,)xy11，(,)xy22，代入方程，相减得31212()()xxxx412()yy()yy120。又xxx122，yyy122，kyyxx121214，代入得yx3。又由yxyxm34解得交点(,)mm3。交点在椭圆内，则有()()mm224331，得2131321313m。（7）两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用kkyyxx1212121来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题已知直线l的斜率为k，且过点P(,)2 0，抛物线C yx:()241，直线l与抛物线 C 有两个不同的交点（如图）。（1）求k的取值范围；（2）直线l的倾斜角为何值时，A、B 与抛物线C 的焦点连线互相垂直。分析：（1）直线ykx()2代入抛物线方程得kxkxk222244440()，由0，得110kk()。（2）由上面方程得x xkk122244，y ykxx12212224()()，焦点为 O(,)0 0。y BAP(-2,0)Ox由kky yx xkkOAOB12122211，得k22，22arctan或22arctanB:解题的技巧方面在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题设直线340 xym与圆xyxy2220相交于 P、Q 两点，O 为坐标原点，若OPOQ，求m的值。解：圆xyxy2220过原点，并且OPOQ，PQ是圆的直径，圆心的坐标为M()121，又M()121，在直线 340 xym上，31241052()mm，即为所求。评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且OPOQ，PQ 是圆的直径，圆心在直线340 xym上，而是设P xyQ xy()()1122，、，再由OPOQ和韦达定理求m，将会增大运算量。评注：此题若不能挖掘利用几何条件O M P90，点 M 是在以 OP 为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。二.充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线yx1 相交于 P、Q 两点，且OPOQ，|PQ102，求此椭圆方程。解：设椭圆方程为axbyab2210()，直线 yx1 与椭圆相交于P()xy11，、Q xy()22，两点。由方程组yxaxby1122消去y后得()ab xbxbxxbabx xbab2121221021，由kkOPOQ1，得y yx x1212（1）又 P、Q 在直线yx1上，yxyxy yxxx xxx1122121212121213111，()()()()()把（1）代入，得2101212x xxx()，即21210()babbab化简后，得ab2（4）由|PQ102，得()()xxyy12212252()()()()xxxxx xbabbab1221221225445424154，把（2）代入，得48302bb，解得b12或b32代入（4）后，解得a32或a12由ab0，得ab3212，。所求椭圆方程为322122xy评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。三.充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题求经过两已知圆Cxyxy122420：和Cxyy22224：0 的交点，且圆心在直线l：2410 xy上的圆的方程。解：设所求圆的方程为：xyxyxyy222242240()即()()()1142 14022xyxy，其圆心为C（2111，）又 C 在直线l上，22141110，解得13，代入所设圆的方程得xyxy22310为所求。评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。四、充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法。典型例题P 为椭圆22221xyab上一动点，A 为长轴的右端点，B 为短轴的上端点，求四边形OAPB 面积的最大值及此时点P的坐标。五、线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程ykxb代入圆锥曲线方程中，得到型如axbxc20的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为，则|ABkxxAB12|12ak，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。例求直线xy10被椭圆xy22416所截得的线段AB 的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例F1、F2是椭圆xy222591的两个焦点，AB 是经过F1的弦，若|AB8，求值|22BFAF 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例点 A（3，2）为定点，点F 是抛物线yx24的焦点，点P 在抛物线y24 x上移动，若|PAPF取得最小值，求点P 的坐标。