全国高中数学竞赛专题-三角函数.pdf

1 三角恒等式与三角不等式一、基础知识定义 1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。定义 2 角度制：把一周角360 等分，每一等分为一度。弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|=rL,其中 r 是圆的半径。定义 3 三角函数：在直角坐标平面内，把角的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sin=ry,余弦函数 cos=rx,正切函数tan=xy，余切函数cot=yx，正割函数sec=xr,余割函数csc=.yr定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=cot1,sin=csc1，cos=sec1；商数关系：tan=sincoscot,cossin；乘积关系：tancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1,tan2+1=sec2,cot2+1=csc2.定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan,cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan,cot(-)=cot;（）sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan=(-)=-tan,cot(-)=-cot;（）sin2=cos,cos2=sin,tan2=cot（奇变偶不变，符号看象限）。定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间22,22kk上为增函数，在区间232,22kk上为减函数，最小正周期：2.奇偶性：奇函数有界性：当且仅当x=2kx+2时，y 取最大值1，当且仅当x=3k-2时,y 取最小值-1，值域为-1，1。对称性：直线x=k+2均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心。这里kZ.定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k,2k+上单调递减，在区间2k-,2k 上单调递增。最小正周期：2。奇偶性：偶函数。有界性：当且仅当x=2k时，y 取最大值1；当且仅当x=2k-时，y取最小值-1。值域为-1，1。对称性：直线x=k均为其对称轴，点0,2k均为其对称中心。这里kZ.定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xk+2)在开区间(k-2,k+2)上为增函数,最小正周期为，值域为（-，+），点（k，0），（k+2，0）均为其对称中心。定理 6 两角和与差的基本关系式：cos()=cos cossinsin,sin()=sin coscossin;tan()=.)tantan1()tan(tan两角和与差的变式：2222sinsincoscossin()sin()2 2222cossincossincos()cos()三角和的正切公式：tantantantantantantan()1tantantantantantan定理 7 和差化积与积化和差公式:sin+sin=2sin2cos2,sin-sin=2sin2cos2,cos+cos=2cos2cos2,cos-cos=-2sin2sin2,sincos=21sin(+)+sin(-),cossin=21sin(+)-sin(-),coscos=21cos(+)+cos(-),sinsin=-21cos(+)-cos(-).定理 8 二倍角公式：sin2=2sincos,cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2,tan2=.)tan1(tan22三倍角公式及变式：3sin33sin4sin，3cos34cos3cos1si n(6 0)s i nsi n(6 0)s i n 34，1cos(60)coscos(60)cos34定理 9 半角公式:sin2=2)cos1(,cos2=2)cos1(,tan2=)cos1()cos1(=.sin)cos1()cos1(sin定理 10 万能公式:2tan12tan2sin2,2tan12tan1cos22,.2tan12tan2tan2定理 11 辅助角公式：如果a,b 是实数且a2+b20，则取始边在x 轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为，则 sin=22bab,cos=22baa，对任意的角.asin+bcos=)(22basin(+).定理 12 正弦定理：在任意ABC 中有RCcBbAa2sinsinsin，其中 a,b,c 分别是角A，B，C 的对边，R 为 ABC 外接圆半径。定理 13 余弦定理：在任意ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角A，B，C 的对边。定理 14 射影定理：在任意ABC 中有coscosabCcB，coscosbaCcA，coscoscaBbA定理 15 欧拉定理：在任意ABC 中，222OIRRr，其中 O,I 分别为 ABC 的外心和内心。定理 16 面积公式：在任意ABC 中，外接圆半径为R,内切圆半径为r，半周长2abcp则211sin2sinsinsin(sinsinsin)224aabcSahabCrpRABCrRABCR2221()()()(c o tc o tc o t)4p papbpcaAbBcC定理 17 与 ABC 三个内角有关的公式：（1）sinsinsin4coscoscos;222ABCABC3（2）coscoscos1 4sinsinsin;222ABCABC（3）tantantantantantan;ABCABC（4）tantantantantantan1;222222ABBCCA（5）cotcotcotcotcotcot1;ABBCCA（6）sin2sin2sin24sinsinsin.ABCABC定理 18 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得y=sinx+k 的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到 y=sinx(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(,0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx 的图象。定义 4 函数 y=sinx2,2x的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x-1,1)，函数 y=cosx(x0,)的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x-1,1).函数 y=tanx2,2x的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x-,+).函数 y=cotx(x0,)的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x-,+).定理 19 三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程 sinx=a的解集是 x|x=n+(-1)narcsina,nZ。方程 cosx=a 的解集是 x|x=2kxarccosa,kZ.如果 aR，方程 tanx=a 的解集是 x|x=k+arctana,kZ。恒等式：arcsina+arccosa=2；arctana+arccota=2.定理 20 若干有用的不等式：（1）若2,0 x，则 sinxxtanx.（2）函数sin xyx在(0,)上为减函数；函数tan xyx在(0,)2上为增函数。（3）嵌入不等式：设A+B+C=，则对任意的x,y,zR，有2222cos2cos2cosxyzyzAxzBxyC等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC.二、方法与例题1结合图象解题。例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx 与 y=lg|x|的图象，由图象可知两者有6 个交点，故方程有6 个解。2三角函数性质的应用。例 2 设 x(0,),试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。【解】若,2x，则-1cosx0，所以 cos0,2x，所以 sin(cosx)0,又 00，所以 cos(sinx)sin(cosx).若0,2x，则因为sinx+cosx=2sin(x+4)22，所以 0sinx2-cosxcos(2-cosx)=sin(cosx).综上，当x(0,)时，总有cos(sinx)0).例 6 已知 f(x)=sin(x+)(0,0)是 R 上的偶函数，其图象关于点0,43M对称，且在区间2,0上是单调函数，求和的值。【解】由 f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以 sin(x+)=sin(-x+)，所以 cossinx=0，对任意xR 成立。又0，解得=2，因为 f(x)图象关于0,43M对称，所以)43()43(xfxf=0。5 取 x=0，得)43(f=0，所以 sin.0243所以243k(kZ)，即=32(2k+1)(kZ).又0，取 k=0 时，此时f(x)=sin(2x+2)在0，2上是减函数；取 k=1 时，=2，此时 f(x)=sin(2x+2)在 0，2上是减函数；取 k=2 时，310，此时 f(x)=sin(x+2)在 0，2上不是单调函数，综上，=32或 2。7三角公式的应用。例 7 已知 sin(-)=135，sin(+)=-135，且 -,2，+2,23，求 sin2,cos2的值。【解】因为 -,2，所以 cos(-)=-.1312)(sin12又因为+2,23，所以 cos(+)=.1312)(sin12所以 sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=169120,cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例 8 已知 ABC 的三个内角A，B，C 成等差数列，且BCAcos2cos1cos1，试求2cosCA的值。【解】因为 A=1200-C，所以 cos2CA=cos(600-C)，又由于)120cos(coscos)120cos(cos1)120cos(1cos1cos1000CCCCCCCA=2221)2120cos()60cos(2)2120cos(120cos21)60cos(60cos2000000CCCC，所以232cos22cos242CACA=0。解得222cosCA或8232cosCA。又2cosCA0，所以222cosCA。例 9 求证：tan20+4cos70=3【解】tan20+4cos70=20cos20sin+4sin2020cos40sin220sin20cos20cos20sin420sin20cos40sin10cos30sin220cos40sin40sin20sin.320cos20cos60sin220cos40sin80sin例 10 证明：7cos77cos521cos335cos64cosxxxxx6 分析：等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为xsin、xcos的表达式，但相对较繁.观察到右边的次数较高，可尝试降次.证明：因为,cos33coscos4,cos3cos43cos33xxxxxx所以从而有xxxxx226cos9cos3cos63coscos16)2cos1(29)2cos4(cos326cos1xxxxxxxxxxxxxxxxxcos20cos2cos30cos4cos12cos6cos2cos64,2cos992cos64cos66cos1cos3276.cos353cos215cos77coscos20cos153cos153cos65cos65cos7cosxxxxxxxxxxx评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷.另本题也可利用复数求解.令77)1(cos128,1cos2,sincoszzzziz从而则，展开即可.例11 已知.20012tan2sec:,2001tan1tan1求证证明：)4tan()22sin()22cos(12cos2sin12tan2sec.2001tan1tan1.2001tan1tan1例12 证明：对任一自然数n及任意实数mnkmxk,2,1,0(2为任一整数），有.2cotcot2sin14sin12sin1xxxxxnn思路分析：本题左边为n 项的和，右边为2 项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.证明：,2cotcot2sin2coscossin2cos22sin2coscos22sin122xxxxxxxxxxx同理xxx4cot2cot4sin1xxxnnn2cot2cot2sin11评述：本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：nnnntantantan)1tan(3tan2tan2tantan.1cot1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos1.2cot2cot2tan22tan22tan2tan1122nnnn例 13 设ABC的内角A B C,所对的边,a b c成等比数列，则sincotcossincotcosACABCB的取值范围是（）7 A.(0,)B.51(0,)2 C.5151(,)22 D.51(,)2 解 设,a b c的公比为q，则2,baq caq，而sincotcossincoscossinsincotcossincoscossinACAACACBCBBCBCsin()sin()sinsin()sin()sinACBBbqBCAAa因此，只需求q的取值范围因,a b c成等比数列，最大边只能是a或c，因此,a b c要构成三角形的三边，必需且只需abc且bca即有不等式组22,aaqaqaqaqa即2210,10.qqqq解得1551,225151.22qqq或从而515122q，因此所求的取值范围是5151(,)22故选 C 例 14 ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，则CBACCCBBBAAAsinsinsin2cos2cos2cos111的值为（）A2 B4 C6 D8 解：如图，连BA1，则 AA1=2sin(B+)22cos(2)222sin(2)2CBCBCBAA)2cos(2cos2cos2cos)22cos(22cos1CBCACBAACBAAA,sinsin)2cos(BCB同理,sinsin2cos1CABBB,sinsin2cos1BACCC),sinsin(sin22cos2cos2cos111CBACCCBBBAAA原式=.2sinsinsin)sinsin(sin2CBACBA选 A.例 15 若对所有实数x，均有sinsincoscoscos 2kkkxkxxkxx，则k（）.A、6；B、5；C、4；D、3解：记si nsi ncosc o sc os2kkkfxxkxxk xx，则 由 条 件，fx恒 为0，取2x，得si n12kk，则k为奇数，设21kn，上式成为sin12n，因此n为偶数，令2nm，则41km，故选择支中只有3k满足题意故选D 例 16 已知2222212fxxabxaabb是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是A2 B.2 C.2 2 D.4 解：由已知条件可知，2210ab，函数图象与y轴交点的纵坐标为222aabb。令,scosinba，8 则22222sincossincos2sin 2c s22oaabb。因此选 A。例 17 已知,R，直线1sinsinsincosxy与1cossincoscosxy的交点在直线yx上，则cossincinsso。解：由已知可知，可设两直线的交点为00(,)xx，且,inssco为方程001sincosxxtt，的两个根，即为方程20sinc(cos)sinos(cos)i0s nttx的两个根。因此cos(sinsincos)，即cossincinsso0。1、22cos(15756)xxxx。2、已知函数)4541(2)cos()sin()(xxxxxf，则f(x)的最小值为 _。3、已知3sin)2sin(，且),(2,21Zknnk。则tan)tan(的值是 _ _.4、设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1 对任意实数x恒成立，则acbcos=5、设 022n.8、已知.cossin)tan(:,1|),sin(sinAAA求证9、若 A，B，C 为 ABC 三个内角，试求sinA+sinB+sinC 的最大值。10、证明：.2sin21sin)2sin()sin()2sin()sin(sinnnn11、已知，为锐角，且x（+-2）0，求证：.2sincossincosxx12、求证：16178cos66cos42cos6cossin1 sin2 sin3 sin89=.106)41(459 全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式实战演练答案1、解：根据题意要求，2605xx，20571xx。于是有2715xx。因此22cos(15756)cos01xxxx。因此答案为 1。2、解：实际上)4541(2)4sin(2)(xxxxf，设)4541)(4sin(2)(xxxg，则g(x)0，g(x)在43,41上是增函数，在45,43上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线43x对称，则对任意43,411x，存在45,432x，使g(x2)=g(x1)。于是)(2)(2)(2)()(22212111xfxxgxxgxxgxf，而f(x)在45,43上是减函数，所以554)45()(fxf，即f(x)在45,41上的最小值是554。3、解：.213131sin)2sin(1sin)2sin(sin)2sin(21sin)2sin(21sin)cos(cos)sin(tan)tan(ba4、解：令c=，则对任意的xR，都有f(x)+f(x-c)=2，于是取21ba，c=，则对任意的xR，af(x)+bf(x-c)=1，由此得1cosacb。一般地，由题设可得1)sin(13)(xxf，1)sin(13)(cxcxf，其中20且32tan，于是af(x)+bf(x-c)=1 可化为1)sin(13)sin(13bacxbxa，即0)1()cos(sin13cos)sin(13)sin(13baxcbcxbxa，所以0)1()cos(sin13)sin()cos(13baxcbxcba。由已知条件，上式对任意xR恒成立，故必有)3(01)2(0sin)1(0cosbacbcba，若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b0。所以，由(2)知 sinc=0，故c=2k+或c=2k(kZ)。当c=2k 时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2k+(kZ)，cosc=-1。由(1)、(3)知21ba，所以1cosacb。5、【解】因为00,cos20.所以 sin2（1+cos）=2sin2cos22=2cos2cos2sin22222322232cos2cos2sin22=.934271610 当且仅当2sin22=cos22,即 tan2=22,=2arctan22时，sin2(1+cos)取得最大值934。6、思路分析：等式左边同时出现12tan18tan、12tan18tan，联想到公式tantan1tantan)tan(.证明：12tan312tan18tan18tan3112tan18tan)12tan18tan1)(1218tan(312tan18tan)12tan18(tan3112tan18tan)12tan18tan1)(1218tan(312tan18tan)12tan18(tan3118tan(3t18(tan3评述：本题方法具有一定的普遍性.仿此可证)43tan1()2tan1)(1tan1(222)44tan1(等.7、【证明】由题设知an0，令 an=tanan,an2,0，则 an=.tan2tansincos1tan1sectan1tan111111112nnnnnnnnaaaaaaaa因为21na，an2,0，所以 an=121na，所以 an=.210an又因为 a0=tana1=1，所以 a0=4，所以nna214。又因为当0 xx，所以.22tan22nnna注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x2,0时，有 tanxxsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。8、分析：条件涉及到角、，而结论涉及到角，.故可利用)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.证法 1：),sin(sinA),sin()sin(A),cos(sin)(cossin(),sin(sin)cos(cos)sin(AAcossin)tan(,0)cos(,0cos,1|AAA从而cossin)tan(,0)cos(,0cos,1|AAA从而cossin)tan(,0)cos(,0cos,1|AAA从而.cossin)tan(,0)cos(,0cos,1|AAA从而证法 2：sin)sin(cossin)sin()sin(sincossinsinsinA).tan(sin)cos(sin)sin()sin()sin(cossin)sin().tan(sin)cos(sin)sin()sin()sin(cossin)sin().tan(sin)cos(sin)sin()sin()sin(cossin)sin(9、【解】因为 sinA+sinB=2sin2BAcos2sin22BABA,11 sinC+sin23sin223cos23sin23CCC,又因为3sin243cos43sin223sin2sinCBACBACBA，由，得sinA+sinB+sinC+sin34sin3,所以 sinA+sinB+sinC3sin3=233,当 A=B=C=3时，（sinA+sinB+sinC）max=233.注：三角函数的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。10、证明：),2cos()2cos(212sinsin)sin()2sin()sin(sin2sin,)212cos()212cos(212sin)sin(,)23cos()25cos(212sin)2sin(),2cos()23cos(212sin)sin(nnnn各项相加得类似地.21sin)2sin()2cos()212cos(21nnn.21sin)2sin()2cos()212cos(21nnn所以，.2sin21sin)2sin()sin()sin(sinnnn评述：类似地，有.2sin)2cos(21sin)cos()cos(cosnnn利用上述公式可快速证明下列各式：2sin21cos2sincos3cos2coscosnnn.2197cos95cos93cos9cos.2175cos73cos9cos等.2197cos95cos93cos9cos.2175cos73cos9cos等11、【证明】若+2，则 x0，由 2-0 得 coscos(2-)=sin,所以 0sincossin(2-)=cos,所以 0sincos1，12 所以.2sincossincossincossincos00 xx若+2，则 x0，由 02-cos(2-)=sin0,所以sincos1。又 0sin1，所以2sincossincossincossincos00 xx，得证。注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。12、证明：cos6 cos42cos66cos78=cos6cos54cos6654cos78cos42cos.16154cos4)183cos(4154cos478cos42cos18cos.16154cos4)183cos(4154cos478cos42cos18cos.16154cos4)183cos(4154cos478cos42cos18cossin1 sin2 sin3 sin89=(sin1 sin59 sin61 )(sin2 sin58 sin62)(sin29 sin31 sin89)sin30 sin60=4387sin6sin3sin)41(2960sin30sin)87sin33sin27(sin)66sin54sin6)(sin63sin57sin3(sin3)41(3045)54sin36)(sin63sin27)(sin72sin18)(sin18sin9(sin3)41(81sin18sin9sin3)41(404045sin)54sin36)(sin63sin27)(sin72sin18)(sin18sin9(sin3)41(81sin18sin9sin3)41(4040又)72cos1)(36cos1(41)36sin18(cos2165)72cos36cos1(41)72cos36cos72cos36cos1(41165)72cos36cos1(41)72cos36cos72cos36cos1(41165)72cos36cos1(4136cos72cos36cos1(41即.4536sin18cos所以.106)41(89sin2sin1sin4536sin18cos223)41(54cos72sin223)41(54cos18sin36cos18cos223)41(54cos72cos36cos18cos223)41(18cos36cos54cos72cos223)41(72sin54sin36sin18sin223)41(43434242424236sin18cos223)41(54cos72sin223)41(54cos18sin36cos18cos223)41(54cos72cos36cos18cos223)41(18cos36cos54cos72cos223)41(72sin54sin36sin18sin223)41(43434242424236sin18cos223)41(54cos72sin223)41(54cos18sin36cos18cos223)41(54cos72cos36cos18cos223)41(18cos36cos54cos72cos223)41(72sin54sin36sin18sin223)41(43434242424236sin18cos223)41(54cos72sin223)41(54cos18sin36cos18cos223)41(54cos72cos36cos18cos223)41(18cos36cos54cos72cos223)41(72sin54sin36sin18sin223)41(43434242424236sin18cos223)41(54cos72sin223)41(54cos18sin36cos18cos223)41(54cos72cos36cos18cos223)41(18cos36cos54cos72cos223)41(72sin54sin36sin18sin223)4(43434242424236sin18cos223)41(54cos72sin223)41(54cos18sin36cos18cos223)41(54cos72cos36cos18cos223)41(18cos36cos54cos72cos223)41(72sin54sin36sin18sin223)41(434342424242