高中数学竞赛平面几何基本定理(20220316230030).pdf

（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍2 射影定理（欧几里得定理）3 中线定理（巴布斯定理）设ABC 的边 BC 的中点为 P，则有)(22222BPAPACAB；中线长：222222acbma4 垂线定理：2222BDBCADACCDAB高线长：CbBcAabccpbpappahasinsinsin)()(25 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如 ABC 中，AD 平分 BAC，则ACABDCBD；（外角平分线定理）角平分线长：2cos2)(2Acbbcapbcpcbta（其中p为周长一半）6 正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin，（其中R为三角形外接圆半径）7 余弦定理：Cabbaccos22228 张角定理：ABDACACBADADBACsinsinsin9 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知ABC 及其底边上B、C 两点间的一点D，则有 AB2DC+AC2BDAD2BCBCDCBD10 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半（圆外角如何转化？）11 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角12 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13 布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD 中，ACBD，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边14 点到圆的幂：设P 为 O 所在平面上任意一点，PO=d，O 的半径为 r，则 d2r2就是点 P 对于 O 的幂过 P任作一直线与O 交于点 A、B，则 P A PB=|d2r2|“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论这条直线称为两圆的“根轴”三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点15 托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC BD=AB CD+AD BC，(逆命题成立)（广义托勒密定理）AB CD+AD BCAC BD16 蝴蝶定理：AB 是 O 的弦，M 是其中点，弦CD、EF 经过点 M，CF、DE 交 AB 于 P、Q，求证：MP=QM17 费马点：定理 1 等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离定理 2 三角形每一内角都小于120时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120时，此角的顶点即为费马点18 拿破仑三角形：在任意ABC 的外侧，分别作等边ABD、BCE、CAF，则 AE、AB、CD 三线共点，并且AEBF CD，这个命题称为拿破仑定理以ABC 的三条边分别向外作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆 C1、A1、B1的圆心构成的外拿破仑的三角形，C1、A1、B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；ABC 的三条边分别向ABC 的内侧作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆C2、A2、B2的圆心构成的内拿破仑三角形，C2、A2、B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形这两个拿破仑三角形还具有相同的中心19 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理20 欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上21 欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则 d2=R22Rr22 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和23 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1 的两部分；)3,3(CBACBAyyyxxxG重心性质：（1）设 G 为ABC 的重心，连结AG 并延长交 BC 于 D，则 D 为 BC 的中点，则1:2:GDAG；（2）设 G 为ABC 的重心，则ABCACGBCGABGSSSS31；（3）设 G 为ABC 的重心，过G 作 DEBC 交 AB 于 D，交 AC 于 E，过 G 作 PFAC 交 AB 于 P，交 BC于 F，过 G 作 HK AB 交 AC 于 K，交 BC 于 H，则2;32ABKHCAFPBCDEABKHCAFPBCDE；（4）设 G 为ABC 的重心，则222222333GCABGBCAGABC；)(31222222CABCABGCGBGA；22222223PGGCGBGAPCPBPA（P 为ABC 内任意一点）；到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GCGBGA最小；三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为ABC 的重心）24 垂心：三角形的三条高线的交点；)coscoscoscoscoscos,coscoscoscoscoscos(CcBbAayCcyBbyAaCcBbAaxCcxBbxAaHCBACBA垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2 倍；（2）垂心 H 关于ABC 的三边的对称点，均在ABC 的外接圆上；（3）ABC 的垂心为 H，则ABC，ABH，BCH，ACH 的外接圆是等圆；（4）设 O，H 分别为ABC 的外心和垂心，则HCABCOABHCBOHACBAO,25 内心：三角形的三条角分线的交点内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cbacybyaycbacxbxaxICBACBA内心性质：（1）设 I 为ABC 的内心，则I 到ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设 I 为ABC 的内心，则CAIBBAICABIC2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A 平分线交ABC外接圆于点K，I 为线段 AK 上的点且满足KI=KB，则 I 为ABC 的内心；（4）设I 为ABC 的内心，,cABbACaBCA平分线交BC 于 D，交ABC 外接圆于点K，则acbKDIKKIAKIDAI；（5）设 I 为ABC 的内心，,cABbACaBCI 在ABACBC,上的射影分别为FED,，内切圆半径为r，令)(21cbap，则prSABC；cpCDCEbpBFBDapAFAE;；CIBIAIpabcr26 外心：三角形的三条中垂线的交点外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin2sin2sin2sin2sin2sin,2sin2sin2sin2sin2sin2sin(CBACyByAyCBACxBxAxOCBACBA外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设 O 为ABC 的外心，则ABOC2或ABOC2360；（3）SabcR4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和27 旁心：一内角平分线与两外 角平分线交点 旁切圆圆心；设ABC 的三 边,cABbACaBC令)(21cbap，分别与ABACBC,外侧相切的旁切圆圆心记为CBAIII,，其半径分别记为CBArrr,旁心性质：（1）,21,2190ACBICBIACBICBA（对于顶角B，C 也有类似的式子）；（2）)(21CAIIICBA；（3）设AAI的连线交ABC 的外接圆于D，则DCDBDIA（对于CBCIBI,有同样的结论）；（4）ABC 是IAIBIC的垂足三角形，且IAIBIC的外接圆半径R 等于ABC 的直径为 2R28 三角形面积公式：CBARRabcCabahSaABCsinsinsin24sin21212)cotcot(cot4222CBAcba)()(cpbpapppr，其中ah表示 BC 边上的高，R为外接圆半径，r为内切圆半径，)(21cbap29 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin2cos2cos4,2cos2sin2cos4,2cos2cos2sin4;2sin2sin2sin4CBARrCBARrCBARrCBARrcba.1111;2tan2tan,2tan2tan,2tan2tanrrrrBArrCArrCBrrcbacba30 梅涅劳斯（Menelaus）定理：设ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为 P、Q、R 则有1RBARQACQPCBP（逆定理也成立）31 梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC 的A 的外角平分线交边CA 于 Q，C 的平分线交边AB 于 R，B 的平分线交边 CA 于 Q，则 P、Q、R 三点共线32 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意ABC 的三个顶点A、B、C 作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB 的延长线交于点P、Q、R，则 P、Q、R 三点共线33 塞瓦(Ceva)定理：设 X、Y、Z 分别为 ABC 的边 BC、CA、AB 上的一点，则AX、BY、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZZBBXXCCYY A=134 塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC 的边 BC 的直线与两边AB、AC 的交点分别是D、E，又设 BE 和 CD 交于 S，则 AS一定过边 BC 的中点 M35 塞瓦定理的逆定理：（略）36 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点37 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设ABC 的内切圆和边BC、CA、AB 分别相切于点R、S、T，则 AR、BS、CT 交于一点38 西摩松（Simson）定理：从ABC 的外接圆上任意一点P 向三边 BC、CA、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是 D、E、R，则 D、E、R 共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）39 西摩松定理的逆定理：（略）40 关于西摩松线的定理1：ABC 的外接圆的两个端点P、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上41 关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4 点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点42 史坦纳定理：设ABC 的垂心为 H，其外接圆的任意点P，这时关于ABC 的点 P的西摩松线通过线段PH 的中心43 史坦纳定理的应用定理：ABC 的外接圆上的一点P 的关于边BC、CA、AB 的对称点和ABC 的垂心 H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上这条直线被叫做点P 关于ABC 的镜象线44 牛顿定理 1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线这条直线叫做这个四边形的牛顿线45 牛顿定理 2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线46 笛沙格定理1：平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A 和 D、B 和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线47 笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A 和 D、B 和 E、C 和 F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线48 波朗杰、腾下定理：设ABC 的外接圆上的三点为P、Q、R，则 P、Q、R 关于ABC 交于一点的充要条件是：弧AP+弧 BQ+弧 CR=0(mod2)49 波朗杰、腾下定理推论1：设 P、Q、R 为ABC 的外接圆上的三点，若P、Q、R关于ABC 的西摩松线交于一点，则 A、B、C 三点关于PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点50 波朗杰、腾下定理推论2：在推论 1 中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点51 波朗杰、腾下定理推论3：考查ABC 的外接圆上的一点P 的关于ABC 的西摩松线，如设QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R 的关于ABC 的西摩松线交于一点52 波朗杰、腾下定理推论4：从ABC 的顶点向边BC、CA、AB 引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边 BC、CA、AB 的中点分别是L、M、N，则 D、E、F、L、M、N 六点在同一个圆上，这时L、M、N 点关于关于ABC 的西摩松线交于一点53 卡诺定理：通过ABC 的外接圆的一点P，引与ABC 的三边 BC、CA、AB 分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则 D、E、F 三点共线54 奥倍尔定理：通过ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与ABC 的外接圆的交点分别是L、M、N，在ABC 的外接圆上取一点P，则 PL、PM、PN 与ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是D、E、F，则 D、E、F 三点共线55 清宫定理：设P、Q 为ABC 的外接圆的异于A、B、C 的两点，P 点的关于三边BC、CA、AB 的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是D、E、F，则 D、E、F 三点共线56 他拿定理：设P、Q 为关于ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC、CA、AB 的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是D、E、F，则 D、E、F 三点共线（反点：P、Q 分别为圆 O 的半径 OC 和其延长线的两点，如果OC2=OQ OP 则称 P、Q 两点关于圆O 互为反点）57 朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作 P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这 4 条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上58 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心59 一个圆周上有n 个点，从其中任意n1 个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点60 康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n2 个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点61 康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D 四点及 M、N 两点，则 M 和 N 点关于四个三角形BCD、CDA、DAB、ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上这条直线叫做M、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线62 康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D 四点及 M、N、L 三点，则 M、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点这个点叫做M、N、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点63 康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及 M、N、L 三点，则 M、N、L 三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上这条直线叫做M、N、L 三点关于五边形A、B、C、D、E 的康托尔线64 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切65 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形这个三角形常被称作莫利正三角形66 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和 D、B 和 E、C 和 F，则这三线共点67 帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边 AB 和 DE、BC 和 EF、CD 和 FA 的（或延长线的）交点共线68 阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B 的距离之比为定比m：n（值不为 1）的点 P，位于将线段AB 分成m：n 的内分点 C 和外分点 D 为直径两端点的定圆周上这个圆称为阿波罗尼斯圆69 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆70 密格尔（Miquel）点：若 AE、AF、ED、FB 四条直线相交于A、B、C、D、E、F 六点，构成四个三角形，它们是ABF、AED、BCE、DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点71 葛尔刚（Gergonne）点：ABC 的内切圆分别切边AB、BC、CA 于点 D、E、F，则 AE、BF、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点72 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式：222ABCD4|RdRSSEF斯特瓦尔特定理斯特瓦尔特(stewart)定理设已知ABC 及其底边上B、C 两点间的一点D，则有AB2 DC+AC2 BD-AD2 BC BC DC BD。证明：在图2 6 中，作AH BC 于 H。为了明确起见，设H 和 C 在点D 的同侧，那么由广勾股定理有AC2=AD2 DC2-2DC DH，（1）AB2=AD2+BD2+2BDDH。（2）用 BD 乘(1)式两边得AC2 BD=AD2 BD+DC2 BD-2DC DH BD，（1）用 DC 乘(2)式两边得AB2 DC=AD2 DC BD2 DC 2BD DH DC。（2）由（1）+（2）得到AC2 BD+AB2 DC=AD2(BD DC)+DC2 BD BD2 DC=AD2 BC+BD DC BC。AB2 DC AC2 BD-AD2 BC=BC DC BD。或者根据余弦定理得AB2=PB2+PA2-2PBPA cos 角 APC AC2=PA2+PC2-2PAPC cos 角 APC 两边同时除以 PB PA PC 得AC2 PB+AB2 PC=(PB2+PA2)PC+(PA2+PA2)PB 化简即可（注：图中2-7A 点为P 点，BDC 点依次为ABC)托勒密定理一些 圆 定理 doc定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）在任意四边形 ABCD 中，作ABE 使 BAE=CAD ABE=ACD 因为 ABE ACD 所以BE/CD=AB/AC,即 BE AC=AB CD(1)而 BAC=DAE，ACB=ADE 所以 ABC AED 相似.BC/ED=AC/AD即 ED AC=BC AD(2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=ABCD+AD BC 又因为BE+ED BD（仅在四边形 ABCD 是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用 a、b、c、d 分别表示四边形顶点A、B、C、D 的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD 的 长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D 四点共圆等价。四点不限于同一平面。平 面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。二、设ABCD是圆内接四边形。在弦BC 上，圆周角 BAC=BDC，而在AB 上，ADB=ACB。在 AC 上取一点K，使得ABK=CBD；因为 ABK+CBK=ABC=CBD+ABD，所以CBK=ABD。因此 ABK 与 DBC 相似，同理也有 ABD KBC。因此 AK/AB=CD/BD，且 CK/BC=DA/BD；因此AK BD=AB CD，且 CK BD=BC DA；两式相 加，得(AK+CK)BD=AB CD+BC DA；但 AK+CK=AC，因此AC BD=AB CD+BC DA。证 毕。三、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC BD AB CD AD BC 证明：如图1，过 C 作 CP 交 BD 于 P，使 1=2，又 3=4，ACD BCP 得 AC：BC=AD：BP，AC BP=AD BC 。又 ACB=DCP，5=6，ACB DCP 得 AC：CD=AB：DP，AC DP=AB CD。得AC(BP DP)=AB CD AD BC即AC BD=AB CD AD BC 推论1.任意凸四边形ABCD，必有AC BD AB CD+AD BC，当且 仅当 ABCD四点共圆时取等号。2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、推广托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式AC BD|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ABCD+BC AD 注意：1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D 四点 共圆等价。2.四点不限于同一平面。欧拉定理：在一条线段上AD 上，顺次标有B、C 两点，则AD BC+AB CD=AC BD 塞瓦定理简介塞瓦（Giovanni Ceva，1648 1734）意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的直线论一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。具体内容塞瓦定理在 ABC 内任取一点O，直线AO、BO、CO 分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介（）本题可利用梅涅劳斯定理证明：ADC 被直线BOE 所截，(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 而由 ABD 被直线COF 所截，(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 :即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1（）也可以利用面积关系证明 BD/DC=S ABD/S ACD=S BOD/S COD=(S ABD-S BOD)/(S ACD-S COD)=S AOB/S AOC 同理CE/EA=S BOC/S AOB AF/FB=S AOC/S BOC 得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:设三边AB、BC、AC 的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1，所以三条高CD、AE、BF 交于一点。可用塞瓦定理证明的其他定理;三角形三条中线交于一点（重心）:如图 5 D,E 分别为BC,AC 中点所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 且因为AF=BF 所以AF/FB 必等于1 所以 AF=FB 所以三 角形三条中线交于一点此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：在 ABC 的三边BC、CA、AB 或其延长线上分别取L、M、N 三点，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN 三线交于一点的充要条件是=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是=-1）塞瓦定理推论1.设 E 是 ABD 内任意一点，AE、BE、DE 分别交对边于C、G、F，则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K 为未知 参数）又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：(sin BAD/sin DAC)*(sin ACF/sin FCB)*(sin CBE/sin EBA)=1 由正弦定理及三角形面积公式易证3.如图，对于圆周上顺次 6 点 A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点设 三 边AB、BC、AC的 垂 足 分 别 为D、E、F，根 据 塞 瓦 定 理 逆 定理，因 为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(AE*ctgB)=1，所以三条高CD、AE、BF 交于一点。梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理证明梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于F、D、E 点，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。或：设 X、Y、Z 分别在 ABC 的 BC、CA、AB 所在直线上，则X、Y、Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=证明一：过点A 作 AG BC 交 DF 的延长线于G,则 AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 证明二：过点 C 作 CP DF 交 AB 于 P，则 BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FBBD/DC CE/EA=AF/FB FB/PFPF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E 分 别在 ABC 的边AB、BC、CA 或其延长线上，且满足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，则 F、D、E 三 点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。梅涅劳斯(Menelaus)定理证明三：过 ABC 三点向三边引垂线AABBCC，所以AD：DB=AA：BB，BE：EC=BB：CC，CF：FA=CC：AA 所以(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 证明四：连接BF。（AD：DB）（BE：EC）（CF:FA)=（S ADF：S BDF）（S BEF：S CEF）（S BCF：S BAF）=（S ADF：S BDF）（S BDF：S CDF）（S CDF：S ADF）=1 此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：在 ABC 的三边BC、CA、AB 或其延长线上分别取L、M、N 三点，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是L、M、N 三点共线的充要条件是=1。第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D 三点共线，则(sin ACF/sin FCB)(sin BAD/sin DAC)(sin CBA/sin ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积该形式的梅涅劳斯定理也很实用第二角元形式的梅涅劳斯定理在平面上任取一点O，且EDF 共线，则（sin AOF/sin FOB)(sin BOD/sin DOC)(sin COA/sin AOE)=1。(O 不与点A、B、C 重合)记忆ABC 为三 个顶点，DEF 为三个分点(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1 空间感好的人可以这么记：（上1/下 1）*（整/右）*（下 2/上 2）=1 实际应用为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F 是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停 留观赏的景点，不能算是“游历”。例如直升机降落在A 点，我们从A 点出发，“游 历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。从 A 点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：方案 从 A 经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停 留），之后经过B（不停 留）到C（停留），再到E（停留），最后从E 经过C（不停 留）回到出发点A。按照这个方案，可以写出关系式：（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。从 A 点出发的旅游方案还有：方案 可以简记为：ABFDECA，由此可写出以下公式：（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。从 A 出 发还可以向“C”方向走，于是有：方案ACEDFBA，由此可写出公式：（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。从 A 出发还有最后一个方案：方案AECDBFA，由此写出公式：（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F 任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅 劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B 点时，就会有四项因式。而在C 点和 F 点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看。还可以从逆时针来看，从第一个顶点到逆时针的第一个交点比上到下一个顶点的距离，以此类推，可得到三个比例，它们的乘积为1.现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。西姆松定理西姆松定理图示西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。西姆松定理说明相关的结果有：（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH 的交点为线段PH 的中点，且这点在九点圆上。（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P 对 应两者的西姆松线的交角，跟 P的位置无关。（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。证明证明一：ABC 外接圆上有点P，且PE AC 于 E，PF AB 于 F，PD BC 于 D，分别连 DE、DF.易证P、B、F、D 及 P、D、C、E 和 A、B、P、C 分别共圆，于是FDP=ACP，（都是 ABP 的补角）且 PDE=PCE 而 ACP+PCE=180 FDP+PDE=180 即 F、D、E 共线.反之，当 F、D、E 共线时，由 可见A、B、P、C 共圆.证明二：如图，若L、M、N 三点共线，连结BP，CP，则因PL 垂直于BC，PM 垂直于AC，PN 垂直于AB，有B、P、L、N 和M、P、L、C 分别四点共圆，有 PBN=PLN=PLM=PCM.故 A、B、P、C 四点共 圆。若 A、B、P、C 四点共 圆，则PBN=PCM。因PL 垂直于BC，PM 垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N 和 M、P、L、C 四点共 圆，有 PBN=PLN=PCM=PLM.故 L、M、N 三点共线。相关性质的证明连 AH 延长 线交圆于G,连 PG 交西姆松线与R,BC 于 Q 如图连其他相关线段AH BC,PF BC=AG/PF=1=2 A.G.C.P共圆=2=3 PE AC,PF BC=P.E.F.C共圆=3=4=1=4 PF BC=PR=RQ BH AC,AH BC=5=6 A.B.G.C共圆=6=7=5=7 AG BC=BC垂直平分GH=8=2=4 8+9=90,10+4=90=9=10=HQ/DF=PM=MH 第二个问，平分点在九点圆上，如图：设O,G,H 分别为三角形ABC 的外心，重心和垂心。则 O 是,确定九点圆的中点三角形XYZ 的垂心，而G 还是它 的重心。那么三角形XYZ 的外心O1，也在同一直线上，并且HG/GO=GO/GO1=2，所以O1 是 OH 的中点。三角形ABC 和三 角形XYZ 位似，那么它们的外接圆也位似。两个圆的圆心都在OH 上，并且两圆半径比为1:2 所以 G 是三角形ABC 外接圆和三角形XYZ 外 接圆(九点圆)的 反 位 似中心(相似点在位似中心的两边),H 是 正 位似中心(相 似点在位似中心的同一边).所以H 到三角形ABC 的外接圆上的连线中点必在三角形DEF 的外接圆上.圆幂定理圆幂定理圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。定义圆幂=PO2-R2|所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA PB=PC PD。统一归纳：过任意不在圆上的一点P 引 两条直线L1、L2，L1 与圆交于A、B（可重合，即切线），L2 与圆交于C、D（可重合），则有PA PB=PC PD。进一步升华（推论）过任意在圆O 外的一点P 引一条直线L1 与一条过圆心的直线L2，L1 与圆 交于A、B（可重合，即切线），L2 与圆交于C、D。则 PA PB=PC PD。若圆半径为r，则PC PD=(PO-r)(PO+r)=PO2-r2=|PO2-r2|（要加 绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P 到圆 O 的幂。（事实上所有的过 P 点与圆相交的直线都满足这个值）若点P 在圆内，类似可得定值为r2-PO2=|PO2-r2|故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA PB 等于圆幂的绝对值。（这就是“圆幂”的由 来）证明圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一 归纳为圆幂定理）问题 1 相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得A=D，C=B。PAC PDB，PA:PD=PC:PB，PA PB=PC PD 问题 2 割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有PA PB