初中数学竞赛专题选讲.pdf
初中数学竞赛专题选讲三角形的边角性质一、内容提要三角形边角性质主要的有：1.边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下：a,b,c 是 ABC 的边长bacbabacacbcba推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和2.角与角的关系是：三角形三个内角和等于180；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。推广到任意多边形：四边形内角和=2180，五边形内角和=3180六边形内角和=4180n 边形内角和=(n2)1803.边与角的关系在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边。在直角三角形中，ABC 中 C=Rt222cba(勾股定理及逆定理)ABC 中30ARtCa：b：c=1：3：2 ABC 中45ARtCa：b：c=1：1：2二、例题例 1.要使三条线段3a1,4a+1,12a能组成一个三角形求a 的取值范围。(1988 年泉州市初二数学双基赛题)解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组141312131214121413aaaaaaaaa解得51135.1aa1.5a5 答当 1.5a5 时，三条线段3a1,4a+1,12a 能组成一个三角形例 2.如图A B C D AB=x，AC=y,AD=z 若以 AB 和 CD 分别绕着点B 和点 C 旋转，使点A 和 D 重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？x2z,yx+2z,y2z解由已知AB=x,BC=y x,CD=zx 要使 AB，BC，CD 组成三角形，必须满足下列不等式组：xyzxyxyyzxyzxyx即xzyzxzy2222222zxzxyzy答 yx+2z和 y2z必须满足。例 3.已知 ABC 的三边都是正整数，a=5,b ac,符合条件的三角形共有几个？试写出它们的边长。解：由已知a=5，1b5，ca+b,5c 9 符合条件的三角形共有15 个，(按 b,a,c排列)它们的边长是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，458；555，556，557，558，559。例 4.如图求角A，B，C，D，E，F 的度数和解：四边形EFMN 的内角和=360 度1=A+B，2=C+D 1 2 E F 360 度 A+B+C+D+E+F=360 度例 5.ABC 中，A B C，2C=5A，求 B 的取值范围(1989 年泉州市初二数学双基赛题)解：根据题意，得18052CBAACCBA得 C=75(180 B)，A72(180 B)72(180 B)B75(180 B)40 B75例 6.在凸四边形ABCD 中，AB BCCD，A：B：C1：1：2 求各内角的度数解：作 BCD 的平分线交AD 于 E，BCE DCE（SAS）D CBE BCE BAE（SSS）CBE ABE D设 D X 度，则 2X 2X4XX360 X40（度）答 DAB ABC 80，BD160，D 40三、练习1.ABC 中，a=5,b=7,则第三边 c 和第三边上的高hc的取值范围是2.a,b,c 是 ABC 的三边长，化简22)()(cbacba得3.已知 ABC 的两边长a 和 b（abc,那么 C 的度数是范围（1987 年泉州市初二数学双基赛题）10.ABC 中，C、B 的平分线相交于O，BOC120，则 A11.ABC 中，ABAC，A40，点 D，E，F 分别在 BC，AC，AB 上，CEBD，BFDC，则 EDF（1986 年泉州市初二数学双基赛题）12.如图 A B C D E F度（1986 年泉州市初二数学双基赛题）13.如图 A B C D E F H度14.如图 ADE 中，ADE 140且 ABBCCDDE，则 A15.如图 A B C AED 度（1988 年泉州市初二数学双基赛题）（这里 AED 是指射线 EA 绕端点 E 按逆时针方向旋转到ED 所成的角）16.ABC 的 ABAC CD，AD BD，则 BAC 度（1988 年泉州市初二数学双基赛题）17.ABC 中，ARt，B60B 的平分线交AC 于 D，点 D 到边 BC 的距离为 2cm,则边AC 的长是 cm(1988 年泉州市初二数学双基赛题)CBAEBCDDA18.ABC 中，AB AC，M 是 AC 的中点，则BMAB的值是（）（A）大于21（B）大于32（C）大于31（D）大于4319 不等边三角形的三边长均为整数，其周长是28，且最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，则这样的三角形共有个，它们的边长是：。（1989 年泉州市初二数学双基赛题）20.菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在边BC，CD 上，且 AEF 为等边三角形，求C 的度数。D7654321AFEDCBABCEJABCD练习题参考答案1.2c12,hc52.2c3.2bL2a+2b 4.31 个5.3 个15 个6.s21xs417.1AD13 8.2 个9.0 C6010.6011.7012.36013.54014.1015.54016.108 17.618.（B）19.3 个20.100
