前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(大纲)非数学类.pdf

中国大学生数学竞赛竞赛大纲为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8 连续函数的性质和初等函数的连续性.9 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1.导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2.基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数.5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6.洛必达(LHospital)法则与求未定式极限.7.函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8.函数最大值和最小值及其简单应用.9.弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念.2.不定积分的基本性质、基本积分公式.3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6.广义积分.7.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值四.常微分方程1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n(xfy),(yxfy),(yyfy.4.线性微分方程解的性质及解的结构定理.5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler)方程.8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5.二阶偏导数、方向导数和梯度.6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式.8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p 级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在-l，l 上的傅里叶级数、函数在0,l上的正弦级数和余弦级数前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5 分，共 20 分）1计算yxyxxyyxDdd1)1ln()(_，其中区域D由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.解:令vxuyx,，则vuyvx,，vuvuyxdddd1110detdd，vuuvuuuyxyxxyyxDDdd1lnlndd1)1ln()(1021000d1)ln(1lnd)dln1d1ln(uuuuuuuuuuvvuuvuuuuu102d1uuu（*）令ut1，则21tudt2dtu，42221ttu，)1)(1()1(2tttuu，0142d)21(2(*)ttt1042d)21(2ttt1516513221053ttt2设)(xf是连续函数，且满足2022d)(3)(xxfxxf,则)(xf_.解:令20d)(xxfA，则23)(2Axxf，AAxAxA24)2(28d)23(202,解得34A。因此3103)(2xxf。3曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是_.解:因 平 面022zyx的 法 向 量 为)1,2,2(，而 曲 面2222yxz在),(00yx处的法向量为)1),(),(0000yxzyxzyx，故)1),(),(0000yxzyxzyx与)1,2,2(平 行，因 此，由xzx，yzy2知0000002),(2,),(2yyxzxyxzyx，即1,200yx，又5)1,2(),(00zyxz，于 是 曲 面022zyx在),(,(0000yxzyx处的切平面方程是0)5()1(2)2(2zyx，即曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是0122zyx。4设函数)(xyy由方程29ln)(yyfexe确定，其中f具有二阶导数，且1f，则22ddxy_.解:方程29ln)(yyfexe的两边对x求导，得29ln)()()(yeeyyf xeyyfyf因)(29lnyfyxee，故yyyfx)(1，即)(1(1yfxy，因此2222)(1)()(1(1ddyfxyyfyfxyxy322232)(1)(1)()(1(1)(1)(yfxyfyfyfxyfxyf二、（5 分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数.解:因xenxxxxxenxxxxnneeeneee)1(lim)(lim2020故nxneeeexenneeeAnxxxxnxxxx2020limlimennnenneeeenxxxx21212lim20因此enAxenxxxxeeneee2120)(lim三、（15 分）设函数)(xf连续，10d)()(txtfxg，且Axxfx)(lim0，A为常数，求)(xg并讨论)(xg在0 x处的连续性.解:由Axxfx)(lim0和函数)(xf连续知，0)(limlim)(lim)0(000 xxfxxffxxx因10d)()(txtfxg，故0)0(d)0()0(10ftfg，因此，当0 x时，xuufxxg0d)(1)(，故0)0(1)(limd)(lim)(lim0000fxfxuufxgxxxx当0 x时，xxfuufxxgx)(d)(1)(02，200000d)(limd)(1lim)0()(lim)0(xttfxttfxxgxggxxxxx22)(lim0Axxfx22d)(1lim)(lim)(d)(1lim)(lim02000200AAAuufxxxfxxfuufxxgxxxxxx这表明)(xg在0 x处连续.四、（15 分）已知平面区域0,0|),(yxyxD，L为D的正向边界，试证：（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe.证:因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知（1）yxyeyxexxyeyxeDxyLxydd)()(ddsinsinsinsinyxeeDxydd)(sinsinLxyxyeyxeddsinsinyxyeyxexDxydd)()(sinsinyxeeDxydd)(sinsin而D关于x和y是对称的，即知yxeeDxydd)(sinsinyxeeDxydd)(sinsin因此LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin（2）因)1(2)!4!21(2242ttteett故22cos522cos12sin22sinsinxxxeexx由DxyLDxyyyyxeeyxeexyeyxedd)(dd)(ddsinsinsinsinsinsin知DxyLDxyyyyxeeyxeexyeyxedd)(21dd)(21ddsinsinsinsinsinsinDxxDxxDyyyxeeyxeeyxeedd)(dd)(21dd)(21sinsinsinsinsinsin200sinsin25d22cos5d)(xxxeexx即2sinsin25ddLyyxyeyxe五、（10 分）已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是二阶常系数线性非齐次微分方程)(xfcyyby的三个解，则xxeeyy212和xeyy13都是二阶常系数线性齐次微分方程0cyyby的解，因此0cyyby的特征多项式是0)1)(2(，而0cyyby的特征多项式是02cb因此二阶常系数线性齐次微分方程为02yyy，由)(2111xfyyy和xxxexeey212，xxxexeey2142知，1112)(yyyxf)(2)2(42222xxxxxxxxexeeexeeexexex)21(二阶常系数线性非齐次微分方程为xxxeeyyy22六、（10 分）设抛物线cbxaxyln22过原点.当10 x时,0y,又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积为31.试确定cba,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线cbxaxyln22过原点，故1c，于是2323dt)(311023102baxbxabxax即)1(32ab而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积10221022dt)1(32(dt)()(xaaxbxaxaV10221031042dt)1(94dt)1(34dtxaxaaxa22)1(274)1(3151aaaa即22)1(274)1(3151)(aaaaaV令0)1(278)21(3152)(aaaaV，得04040904554aaa即054a因此45a,23b,1c.七、（15 分）已知)(xun满足),2,1()()(1nexxuxuxnnn,且neun)1(,求函数项级数1)(nnxu之和.解xnnnexxuxu1)()(，即xnexyy1由一阶线性非齐次微分方程公式知)d(1xxCeynx即)(nxCeynx因此)()(nxCexunxn由)1()1(nCeunen知，0C，于是nexxuxnn)(下面求级数的和：令11)()(nxnnnnexxuxS则xexSexxSnexexxSxnxnnxnxn1)()()()(1111即xexSxSx1)()(由一阶线性非齐次微分方程公式知)d11()(xxCexSx令0 x，得CS)0(0，因此级数1)(nnxu的和)1ln()(xexSx八、（10 分）求1x时,与02nnx等价的无穷大量.解令2)(txtf，则因当10 x，(0,)t时，2()2ln0tfttxx，故xttextf1ln22)(在(0,)上严格单调减。因此1010001()d()d()(0)()d1()dnnnnnnnf ttf ttf nff ttf tt即000()d()1()dnf ttf nf tt，又200()nnnf nx，111lim11lnlim11xxxxx21ln1d1ln1ddd)(001ln00222xtextetxttftxtt，所以，当1x时,与02nnx等价的无穷大量是x121。2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）一、（25 分，每小题5 分）（1）设22(1)(1)(1),nnxaaa其中|1,a求lim.nnx（2）求21lim1xxxex。（3）设0s，求0(1,2,)sxnIex dx n。（4）设函数()f t有二阶连续导数，221,(,)rxyg x yfr，求2222ggxy。（5）求直线10:0 xylz与直线2213:421xyzl的距离。解：（1）22(1)(1)(1)nnxaaa=22(1)(1)(1)(1)/(1)nnxaaaaa=222(1)(1)(1)/(1)naaaa=12(1)/(1)naa12limlim(1)/(1)1/(1)nnnnxaaa(2)22211ln(1)ln(1)1lim1limlimxxxexxxxxxxxeeex令 x=1/t,则原式=21(ln(1)1/(1)112(1)22000limlimlimttttttttteeee（3）0000112021011()()|(1)!sxnnsxnsxsxnnsxnnnnnIex dxx dex eedxssnnn nnnexdxIIIsssss二、（15 分）设函数()f x在(,)上具有二阶导数，并且()0,lim()0,lim()0,xxfxfxfx且存在一点0 x，使得0()0f x。证明：方程()0f x在(,)恰有两个实根。解：二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0 的值，所以只需在两边找两大于0 的值。将 f(x)二阶泰勒展开：2()()(0)(0)2ff xffxx因为二阶倒数大于0，所以lim()xf x，lim()xf x证明完成。三、（15 分）设函数()yf x由参数方程22(1)()xtttyt所确定，其中()t具有二阶导数，曲线()yt与22132tuyedue在1t出相切，求函数()t。解：（这儿少了一个条件22d ydx）由()yt与22132tuyedue在1t出相切得3(1)2e，2(1)e/()22dydydtdxdxdttt22d ydx3()(2(/)(/)/(22)2)2()d dy dxd dy dxdtdxdx dttttt=。上式可以得到一个微分方程，求解即可。四、（15 分）设10,nnnkkaSa证明：（1）当1时，级数1nnnaS收敛；（2）当1且()nsn时，级数1nnnaS发散。解：（1）na0,ns单调递增当1nna收敛时，1nnnaass，而1nas收敛，所以nnas收敛；当1nna发散时，limnns111nnnnssnnnssnnnassdxdxsssx所以，11111211nnnssnssnnnaaadxdxssxsx而1111111111lim11nsnsnssaasdxkxss，收敛于k。所以，1nnnas收敛。（2）limnns所以1nna发散，所以存在1k，使得112knnaa于是，111122212kkknnnnnkaaasss依此类推，可得存在121.kk使得112iiknknas成立，所以112NknnaNs当n时，N，所以1nnnas发散五、（15 分）设l是过原点、方向为(,)，（其中2221)的直线，均匀椭球2222221xyzabc，其中（0,cba密度为 1）绕l旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,)的最大值和最小值。解：（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离2222222(1)(1)(1)222dxyzxyyzzx0 xydVyzdVzxdV22222222223214(1)15ccccxyzabczz dVz dzdxdyabz dzabcc由轮换对称性，232344,1515x dVa bcy dVab c2232323444(1)(1)(1)151515Id dVa bcab cabc2222224(1)(1)(1)15abcabc（2）abc当1时，22max4()15Iabc ab当1时，22min4()15Iabc bc六、(15 分)设函数()x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分422()cxydxx dyxy的值为常数。（1）设L为正向闭曲线22(2)1,xy证明422()0;cxydxx dyxy（2）求函数()x；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()cxydxx dyxy。解：（1）L 不绕原点，在L 上取两点A，B，将 L 分为两段1L，2L，再从 A，B作一曲线3L，使之包围原点。则有13234242422()2()2()LLLLLxydxx dyxydxx dyxydxx dyxyxyxy（2）令42422(),xyxPQxyxy由（1）知0QPxy，代入可得42352()()()422x xyxxxxy上式将两边看做y 的多项式，整理得24325()()()4(2)2yxx xxxyxx由此可得()2xx435()()42x xxxx解得：2()xx（3）取L为424xy，方向为顺时针0QPxy424242242()2()2()12ccLLLxydxx dyxydxx dyxydxx dyxyxyxyxydxx dy2011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）一 计算下列各题（本题共3 小题，每小题各5 分，共 15 分）（1）.求11 cos0sinlimxxxx；解：（用两个重要极限）：20003221sin1 cossin1 cos001sincos12limlimlimsin11331 cos32220sinsinlimlim 1limxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxeeeee（2）.求111lim.12nnnnn；解：(用欧拉公式）令111.12nxnnnn111ln=C+o1211111ln 2=C+o1212nnnnnn由欧拉公式得（），则（），其中，1o表示n时的无穷小量，-ln2o1nx两式相减，得：（）,limln 2.nnx（3）已知2ln 1arctanttxeyte，求22d ydx。解：222222221211,121121tttttttttttedxedyedyeeeedtedtedxee22222241212 1224ttttttteed yddyeedxdxdtdxeeedt二（本题 10 分）求方程2410 xydxxydy的通解。解：设24,1PxyQxy，则0PdxQdy1,PQyx0PdxQdy是一个全微分方程，设dzPdxQdy,0,0241x yzdzPdxQdyxydxxydy,PQyx该曲线积分与路径无关2200124142xyzxdxxydyxxxyyy三（本 题15分）设 函 数f(x)在x=0的 某 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数，且0,0,0fff均 不 为0，证 明：存 在 唯 一 一 组 实 数123,k kk，使 得12320230lim0hk fhk fhk fhfh。证明：由极限的存在性：1230lim2300hk fhk fhk fhf即123100kkkf，又00f，1231kkk由洛比达法则得123201230230lim2233lim02hhk fhk fhk fhfhk fhk fhk fhh由极限的存在性得1230lim22330hk fhk fhk fh即1232300kkkf，又00f，123230kkk再次使用洛比达法则得123012301232233lim24293lim02490000hhk fhk fhk fhhk fhk fhk fhkkkff123490kkk由得123,k kk是齐次线性方程组1231231231230490kkkkkkkkk的解设1231111123,01490kAxkbk，则Axb，增广矩阵*111110031230010314900011A，则,3R A bR A所以，方程Axb有唯一解，即存在唯一一组实数123,k kk满足题意，且1233,3,1kkk。四（本 题17分）设2221222:1xyzabc，其 中0abc，2222:zxy，为1与2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。解：设上任一点,Mx y z，令222222,1xyzF x y zabc，则222222,xyzxyzFFFabc椭球面1在上点 M处的法向量为：222,xyztabc1在点 M处的切平面为：2220 xyzXxYyZzabc原点到平面的距离为2224441dxyzabc，令222444,xyzGxyzabc则1,dG x y z，现在求222444,xyzGxyzabc在条件2222221xyzabc，222zxy下的条件极值，令22222222212444222,1xyzxyzH x y zxyzabcabc则由拉格朗日乘数法得：124212421242222222222222022202220100 xyzxxHxaayyHybbzzHzccxyzabcxyz，解得2222220 xb cyzbc或2222220a cxzacy，对应此时的442222,bcG x y zb cbc或442222,acG x y za cac此时的22144bcdbcbc或22244acdacac又因为0abc，则12dd所 以，椭 球 面1在上 各 点 的 切 平 面 到 原 点 距 离 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为：22244acdacac，22144bcdbcbc五（本题 16 分）已知S 是空间曲线22310 xyz绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z）取上侧，是 S 在,P x y z点处的切平面，,x y z是原点到切平面的距离，,表示 S的正法向的方向余弦。计算：（1）,SzdSx y z；（2）3Szxyz dS解：（1）由题意得：椭球面S的方程为222310 xyzz令22231,Fxyz则2,6,2xyzFx Fy Fz，切平面的法向量为,3,nxy z，的方程为30 x Xxy Yyz Zz，原点到切平面的距离22222222231,99xyzx y zxyzxyz22219,SSzIdSz xyz dSx y z将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0 xzDxzxz222212100222323244sin3 13 1xzDzxzrrdrIdxdzdxzr22221200232sin32sin4433 1rrdrdr431 332224223(2)方法一：2222222223,999xyzxyzxyzxyz222213392SSIzxyz dSzxyz dSI六（本题12 分）设f(x)是在,内的可微函数，且fxmfx、，其中01m，任 取 实 数0a，定 义1ln,1,2,.,nnafan证 明：11nnnaa绝对收敛。证明：112lnlnnnnnaafafa由拉格朗日中值定理得：介于12,nnaa之间，使得1212lnlnnnnnffafaaaf112nnnnfaaaaf，又fmf、得fmf111210.nnnnnaam aamaa01m级数1101nnmaa收敛，级数11nnnaa收敛，即11nnnaa绝对收敛。七（本题 15分）是否存在区间0,2上的连续可微函数f(x)，满足021ff，201,1fxfx dx、？请说明理由。解：假设存在，当0,1x时，由拉格朗日中值定理得：1介于 0，x 之间，使得10,fxffx，同理，当1,2x时，由拉格朗日中值定理得：2介于 x，2 之间，使得222fxffx即121,0,1;12,1,2fxfx xfxfxx11fx、，11,0,1;13,1,2xfxx xxfxx x显然，200,0fxfx dx1221201001111133x dxxdxfx dxx dxx dx201fx dx，又由题意得22001,1fx dxfx dx即201fx dx，1,0,11,1,2x xfxxx11111111limlim1,limlim11111xxxxfxffxfxxxxxx1f不存在，又因为 f(x)是在区间0,2上的连续可微函数，即1f存在，矛盾，故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数f(x)。