2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷3,含解析).pdf
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷3,含解析）注意事项l答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答是里卡上。2.回答i在择题时，逃出每小题答案后，用铅笔把答题卡对E主题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案标号回答非选探题时，将答案写在答Jlfil卡上。写在本试卷上无效。3.考试终.Ir.后，将本试卷和答题卡一并交囚。一、选摔题本题共12小题，每小Jl1l5分，共60分在每小题给出的四个j在项中，只有一项是符合题目主要求的L已知集合A=xlx-1三0,B=O.I.匀，则AnB=A.0 B.I C.I,2 D.0,I,2【答案】C【解析1分析：也题意先解出集合A,J近而得到j结果。i羊解：由集合A得x主I,因此AnB=i.2 故答案选c.点自古本题要紧考查交集的运算，属于基础题2.(I+i)(2-i)=A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i【答案】D【解析1分析：由复数的乘i宏远算展开即可。i芋解：(I+i)(2 i)=2 i+2i /=3+i 故选D.点睛：本题主要紧考查复数的四则运算，扇子基础题。3.中国古建筑借助桦卵将木构件连接起来，构件的凸出部分叫梅头，四处部分叫卵眼，剧中木构件右边的小长方体是桦头若如阁摆放的木构件与某一带卵眼的木构伶咬合成长方体，则咬合时带卵H良的木构件的俯视阁能够是I I 17,.-1-i-,?,.;:;.A IB c。A.A B.B C.C D.D【答案】A【解析1分析：观看阁形可得。i芋解：观擦阁形阁可知，俯视怪151-J.故答案为A点H青：本题要紧考擦空间几何体的三视剧，考查学生的空间想象能力，j虱子基础题。4.着sin但，则cos23 8 7 7 8 A-B.-c.D.9 9 9 9【答案】B【解析1分析：由公式cos2a.=1-2sin 2可得。i羊解：句ny=2-9 l z 2 m eo 饨，l z 句eo o 户LV故答案为B点附：本题要紧考查二倍角公式，属于基础题。5.(x2守的展开式中J的系数为A.10 B.20 C.40 D.80【答案】C【曲事析1分析：写出r.+1=c;.2.XIO.3，然后可得结柴详解由题可叽1=C（x叫2 I 17 令I0-3r=4，贝。r=2因此c;2r=c;x 22=40 故选c.点附：本题要紧考查二项式定理，j虱子基础题。6.豆烧y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在回（x-2/+y2=2上，贝OLABP而积的取假范畴是A.2.6 B.4.8 C.-/2.3在lD.2飞12.3飞12【答案】A【曲事析】分析先求出A,B两点坐标得到l队剧，再运算圆心3l!J直线距离，得到l点P到直线距离范畴，由而积公式运算即可i羊解直线，x+y+2=0分别与x 轴，y轴交于A,B两点:.A（.梢，即.2），贝1llABI=2在点P在因（x.2)z+y2=2-上1 2+0+21 c 四心为（2，。），则因心到直线距离d1气百一2在故点p!IJ直保y+2=0的距离d2的范畴为晤，3.j2J!QI S叫p=叫队E(2 6 故答案选A点H青：本题要紧考查直线与图，考查了点到直线的距离公式，三角形的而积公式，属于中挡题。7.函数y=-x4+x2+2的阁像大致为3 I 17 y。古A 。x c A.A B.B C.C D.D【答案】D【解析1分析：由专门值排除即可i苹解：；当x=O时，y=2，排除A,B.y=4lc3+2x 时I)1:JxE（中才y o,tlH徐C故正确答案选D.y。x B)x。点附：本题考查函数的阁像，考查了专门值排除法，导数与函数隧像的关系，属于中销题。8.莱群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该都体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=24,P(X=4)P(X=6),Ji!IJp=A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3【答案】BI解析1分析：州定出为二JJit分布，利用公式D(X)=np(I p）避行运算即可.D(X)=np(I”p).p=0.4或p=0.66 6:P(X=4)=C1oP(1.p)P(X=6)=C1oP(l p),(I.p)2 0.54 I 17 故答案选B点附：本题要紧考查二项分布相关知识，属于中档题。2.,2 2 9.A础C的内角A.B.C的对边分别切，b,c，幸EA础C的而积为二千二牛，4 则c=冗1t7t 7t A.-B.-C.-D.-2 3 4 6【答案】C【解析1分析：利用而积公式sll,础c=;bsinciO余弦定理a2+b2.2abcosC进行运算可得。2 2.2 2 i棚：出题附叭础c护inC=a+因此a2+b2.2absinC 由余弦定理a2+b2 c2=2abcosC 因此sine=cosC C E(O,a)4=C 故选c.点H青：本题要紧考查解三角形，考查了三角形的丽积公式和余弦定理。10.设A.B.C.D是同一个半径为4的球的球而上四点，.咄C为等边三角形且其而积为9币，则三陵锥D-ABC1丰积的最大值为A.12,/3 B.18占C.24./3 D.54,P【答案】B【解析1分析：作阂，D;J.1 MO与球的交点，点M为三角形ABC的重心，判定出当DMl平而ABC肘，三棱锥D-ABC体积最大，然后边行运算可得。i芋解：如垄断示，5 I 17 点M为三角形ABCB9重心，E为AC中点，当DMi平而ABC时，三梭锥D.咀ci卒积最大现在，OD=OB=R=48F.s础cAB=9.J3.AJ3=6,点M为三角形ABC的重心2 严:,BM尹E=23阳llABC中，有Olvl=JoB2 BN12=2:,DM=OD+OM=4+2=6 CVo.AJldn寸叫 6=18,/3 1投选B.点附：本题要紧考查三棱彼的外接球，考查了勾股定理，三角形的丽织公式和三梭锹的体积公式，i1J;:t出当DMi平而ABC时，三梭牵iD础C体积最大专门关键，由M为三角形ABC的重心，运算得到1JBMBE 拙，3.再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型。2 2 y 11.设F,.凡是双曲线C:午：l(a O.bO）的左、右焦点，0是坐标原点过F2作C的一条渐近线的矿b委线，蠢足为p，辛辛IPF,1币IOPI，则C的离心率为A.js B.2 C.f,D.Ji_【答案】C【解析1分析：由双曲线性质得到IPF2I=b,I即I=a然后在Rtt1 POF2和在Rtll PF1F2中利用余弦定理可得。i羊解：由题可知IPF2I=b,IOF2I=C:.IJ?OI=a IPF2I b 在Rtt1 POF，中，cosLPF,O一一IOF2I c IPF2+IF1F2-IPF112 b 在，Rtll PF1F2中，cosLPF,O=-2IPF 2IIF 1F 2 1 c 6 I 17 b2+4c2-(./6a2 b 22写c=Ja 2b 2c c:.e=.J)故选c.点附：本题要紧考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用属于中挡题。12.设a=lollo.20.3,b=log20.3，贝IA.a+b ab 0 B.ab a+b 0 C.a+b Oab D.ab Odp川口a句3、，、，、ahL认EAk也E户gz+o b-bl-a-LZ+aam-al-aAU 详uu又:.ab OflPab a+b 6.635，因此有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异20202020 点附：本题要紧考查了茎叶削和独立性检验，考察学生的运算能力和分析问题的能力，贴近生活。19.如隧，边长为2的正方形ABCD所在的平而与半圆弧所在平而垂直，M是上异于C,D的点(1）证明：平而且份上平而BMC,(2）当三梭锥Jvl-.O)4 3(1）证明：k-:(2）设F;i甘C的右焦点，P为C上一点，且白F：马血o.证明肉，内，由成等差数列，并求该数列的公差【答案】（1)k-!2 3占T3.Jn(2）一一成一一28 28【解析1分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明。(2）解出m，进而求出点P的坐标，得到J1曲，再由两点问距离公式表示出肉，白，得到白的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理避行求解。i羊曲事：(1）设A（勺，y,),B屿，y;),2 2 2 2 则立）立三J 4 34 3 Y,Y、两式相减，并由二 k得X1 X 2 x,+X2 Y1+Y2 一k=O 4 3 x,+x、Y,+Y2 由题设知.：1.n,，因此22 LA 由题设得叫号，抛 (2）由题意得F(J.O），设吹勺，Y3），贝Io.I，为）+(x1 l,y1)+(Xi-1,y分(0,0).由（1）及题设梅、3-(x1+x;)斗，y,=-(y1+Y分-2mO.13 I 17 3 3-3 叉点P在C上，因且tm，从而P(l，.寸，IFPI=-.2 2 因此由刊的1)2+3(1-)=2-如7数川差儿吃鱼号2成功-mD+fl 3lIHX 四川IKAr、Jmr11吓42:XU可6时吼luq盯”3xj阳叫2，品、牛m弛l2、2hr叫岩叫，FEttE八同4吨V2mva-AKUP Z阳MFM阳叶旷到aM叫刷d罔rrnpnrME昂HH啕蝴W协同因故设泪LEA 得 入拍、A呵3Am 将因此l的方程为v=-x，代入C的方程，并整理得7x2-l 4x+!=O.4 4 故x，叫寸，x1x2土，代入钳制旦 28 28 3,J21 3,p!因此该数列的公室主jJ一一成一一28 28 点晴：本题主要考查草线与椭圆的位置关系等差数列的性质第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问自己知得到百i=而O求出m得到草线方程很关键，考查函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较六。21.己知函数f(x)=(2+x十似可ln(I。吃X(1）着a=O，证明：当1 x O时，f(x)O时，f(x)O,(2）若x=O是f(x）的极大值点，求a.【答案】（1）见解析(2）俨6【解析1分析：（1）求导，利用函数单调佐证明RPoJ.f(x)(2）分类讨论ac:0平Qa构造函数h(x）一一一一，讨论h(x）的性质即可得到la的范畴。2+x+ax i芋解：(1）当a=O时，f（汾(2+x)ln(I+x）也，f(x)=ln(l 吟1+x 14 I 17.)x 设函数g(x)=f(x)=In(I+x)乒.：.，贝lg(x)一一l+x(I+xr 乱lxO时，g(x)Q.故当x什时，g（们的I)=Q，且仅当x=O时，g(x)=0，从而f(x）主0，旦仅当x=O时，f(x)。因此f(x）在（l,+oo）单调i羞增又f(O)=0，故当lxO时，f(x)O时，f（）。o.(2)(i）若aO时，f(x)c:(2+x)ln(l+x)2x 0=f(O），这与X=o是f(x）的极大值点矛盾叹x)2x(ii）若ao，制1（心与制桐柏伺4材又h(O)=f(O)=0，放x=o是f（心的极大直点当且仅当x=O是h(x）的极大值点I 2(2+x 眠）2x(I+2ax)xa2x2+4阻6a+I)h尔）？一,z 句句J-rx(2+x+ax（x+l)(ax+x+2)6a+I fl 假如6a+1刊，贝I当Ox0，故x=O不是h(x）的极大值点4a 叫al 假如“I 0：当XE(0,I）时，h(x)O因此tx=O是h(x)(x+l)(x 6l12）的极大值点，从而x=O是f（心的极大值点综上，a=.6 点睛本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论a.0和aK只）当a O时构造函数h(x）一一一ft关键，讨论函数h(x）的性质，本JlF,难度较大。2+x+ax（二）选考题：共10分，i宿考坐在第22、23题中任选一题作答，假如多做，l)!IJt素所做的第一题ti分22.(j在修4-4：坐标系与参数方程在平而直角坐标系xOy中，。的参数方程为；c！a（。为参数，过点（0.-.Ji）且倾斜角为目的直线i与。交于A.B两点(1）求。的取值范畴：15 I 17(2）求AB中点p的轨迹的参数方程().7）参数：刊号）【解析1分析：（1）由四与直线相交，圆心到IJ:l线距离dla+b的寂小值16 I 17(2）；当xE O.y、。【答案】（1）见解忻(2)5 x【解析1分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可(2）结合（1）问可得a,b范畴，i进而得到a她的最小值-3x,x -2,i羊曲事：（1)f（）。z _ I.y=f(x）的阁像如主所示x+.t 雪Ex J 2 3x,x主I.)!,、I 飞/I/1。:c(2）由（1）知，y=f(x）的阁像与y柏：交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅2旨ac:3 且bc:2时，f(x）三ax+b在O,+oo）成立，因此a+b的最小值为5.点附：本题要紧考查函数怪象的画法，考查由不等式求参数的范畴，属于中档题。17 I 17
