正余弦定理讲义.pdf

培优教育一对一辅导讲义科目：数年级：高一姓名：教师：时间：课题正弦定理、余弦定理授课时间：备课时间：教学目标1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题3、会运用三角公式进行简单三角函数式化简、求值和恒等式证明与解决有关实际问题，会运用三角方法、袋鼠方法和解析方法求三角函数的最值，会由已知三件函数值求角重点、难点1、三角函数值域及最值的求法2、三角函数与向量、函数、不等式的综合问题及生产生活中的实际问题考点及考试要求高考对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角转化。三角形形状的判断、三角形内角的三角函数求值及三角恒等式的证明、立体几何中的空间角及解析几何中有关角等问题。今后的命题中仍会以正余弦定理为框架，以三角形为主要依托，来综合考查三角形知识，题型一般是选择题和填空题，也有可能是中档难度的解答题，关注利用正余弦定理解决实际问题三角函数的综合应用在高考中地位显著，可以综合考查对三角函数知识的掌握情况。分析近几年高考，主要有以下几种类型：1、可转化为)sin(xAy的形式，然后研究性质 2、可转化为cxbxaysinsin2的形式，然后借助于二次函数求闭区间上的最值 3、与向量、三角形知识结合的综合题 4、用三角函数知识解决生产生活中的实际问题教学内容探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？直角三角形中的正弦定理：sinA=ca sinB=cb sinC=1 即c=sinsinsinabcABC.探究二：能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有sinsinCDaBbA,则sinsinabAB.同理，sinsinacAC（思考如何作高？），从而sinsinsinabcABC.探究三：你能用其他方法证明吗？1.证明一：（等积法）在任意斜ABC当中SABC=111sinsinsin222abCacBbcA.两边同除以12abc即得：sinaA=sinbB=sincC.2证明二：（外接圆法）如图所示，AD，2sinsinaaCDRAD，同理sinbB=2R，sincC2R.3证明三：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB边同乘以单位向量j得.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinabABsincC=2R 理解定理 1 公式的变形：2.正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.3.利用正弦定理解三角形使,经常用到:CBACBACBAsin)cos(,sin)sin(CabSabcsin21三、教学例题：例 1 已知在BbaCAcABC和求中，,30,45,1000.分析已知条件 讨论如何利用边角关系 示范格式 小结：已知两角一边abcOBCADCRcBRbARasin2,sin2,sin2)1(CBAcbasin:sin:sin:)3(,2sin,2sin,2sin)2(RcCRbBRaABbCcCcAaBbAasinsin,sinsin,sinsin)4(解：例 2CBbaAcABC,2,45,60和求中，解：例 3 在CAacBbABC,1,60,30和求中，课后作业1在ABC中，kCcBbAasinsinsin,则 k 为()A2R BR C4R DR21(R为ABC外接圆半径)2在ABC中，已知角334,2245bcB，则角 A的值是()A.15 B.75 C.105 D.75或153、在ABC中,cbaBA:,60,30则若4、在ABC中，若14,6760abB，则 A=。5、在ABC中，已知45,2,3Bba，解三角形。探究一 在ABC中，已知,a b A，讨论三角形解的情况分析：先由sinsinbABa可进一步求出B；则0180()CAB，从而ACacsinsin1当 A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。2当 A为锐角时，如果ab，那么只有一解；3.如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sinabA，则有两解；（2）若sinabA，则只有一解；（3）若sinabA，则无解。评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且sinbAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。探究二你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？三例题讲解例 1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1)a20，b28，A120.无解(2)a28，b20，A45；一解(3)c54，b39，C115；一解(4)b11，a20，B30；两解 随堂练习1（1）在ABC中，已知80a，100b，045A，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若1a，12c，040C，则符合题意的b 的值有_个。（3）在ABC中，axcm，2bcm，045B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3）22 2x）例 2.在ABC中,已知,coscoscosabcABC判断ABC的形状 随堂练习21.ABC中，CBA222sinsinsin，则ABC为（A ）A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形2.已知ABC满足条件coscosaA bB，判断ABC的类型。答案：ABC是等腰或直角三角形1.根据下列条件，判断解三角形的情况2.在ABC中，a=15,b=10,A=60，则cosB=A 223 B 223 C 63 D 633.已知 a,b,c分别是 ABC的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则 sinC=.。，求，解这个三角形）（解这个三角形。和边，求角求边求边）（根据条件解三角形：CAaBbcCcbBabcCBAbacabBAbaCAc,6031)6(,45,20,405,30,26,13)4(.,30,316,16)3(.,12,120,30)2(.,30,45,10145.设锐角 ABC的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，a2bsinA(1)求 B的大小；(2)求 cosAsinC 的取值范围同步分层能力测试题（一）一填空题(本大题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分)1在 ABC 中，若 a=5,b=15,A=300,则边 c=。60,20,18)4(30,16,8)3(120,15,12)2(45,16,14)1(BcbAbaAcaAba、2.在 ABC 中，已知A=450，B=600，c=1，则 a=.3.在 ABC 中，已知 a=5,b=12,c=13.最大内角为度。4.在 ABC 中，已知b=4,c=8,B=300.则 a=。5.a,b,c是ABC的三边，且B=1200,则 a2+ac+c2-b2的值为 .6在 ABC 中，若 a=50，b=256,A=45 则 B=.7.在 ABC中，有等式：asinA=bsinB；asinB=bsinA；acosB=bcosA；sinsinsinabcABC.其中恒成立的等式序号为_.8在ABC中，cba,分别为三个内角A、B、C所对的边,设向量,pac b,qba ca，若向量/pq，则角C的大小为。二解答题(本大题共 4 小题，共 54 分)9.在 ABC中，a=3，c=33，A=300，则角 C及 b.10.在ABC中，已知：acosB=bcosA,试判断ABC形状;求证：2222cos2cos211ABabab。（1）在锐角三角形中，边a、b 是方程 x223 x+2=0 的两根，角A、B满足 2sin(A+B)3=0，求角 C的度数，边c 的长度.12.在 ABC中，已知角A、B、C 对应的边分别为a、b、c，且 C=2Acos A=43(1)求 cosC和 cosB 的值；(2)当227?BCBA时，求 a、b、c 的值余弦定理a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC.(4)余弦定理的变式cosAb2c2a22bc；cosBc2a2b22ca；cosCa2b2c22ab.正余弦定理考点考点一：利用正、余弦定理解三角形在ABC中，(1)若b2，c1，B45，求a及C的值；(2)若A60，a7，b5，求边c.知识概括、方法总结与易错点分析1已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断2应熟练掌握余弦定理及其推论解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷3三角形中常见的结论(1)A BC.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边针对性练习在ABC中，已知a7，b 3，c5，求最大角和sinC.考点二：利用正、余弦定理判断三角形形状典型例题ABC中，已知 acosAbcosB，则 ABC为()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形知识概括、方法总结与易错点分析依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法：1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论针对性练习：已知ABC中，sinCsinAsinBcosAcosB，试判断ABC的形状考点三：三角形面积公式的应用典型例题已知ABC中，cosA63，a，b，c分别是角A、B、C的对边求 tan2A；(2)若 sin(2B)223，c22，求ABC的面积知识概括、方法总结与易错点分析1三角形面积公式的选取取决于三角形中的哪个角可求，或三角形的哪个角的正弦值可求2在解决三角形问题中，面积公式S12absinC12bcsinA12acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来针对性练习：在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足(2ac)cosBbcosC.(1)求角B的大小；(2)若b7，ac4，求ABC的面积考点四：正、余弦定理的综合应用典型例题：在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的分别为a、b、c，且 cos2A35，sinB1010.(1)求AB的值；(2)若ab2 1，求a、b、c的值知识概括、方法总结与易错点分析(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理针对性练习：1、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2255，ABAC3.(1)求ABC的面积；(2)若bc6，求a的值2、设ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且 sin2A sin(3B)sin(3B)sin2B.1）求角A的值；2）(2)若ABAC12，a27，求b，c(其中bc)巩固作业1(2010北京高考)在ABC中，若b1，c3，C23，则a_.2(2010广东高考)已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边 若a1，b3，AC 2B，则 sinC_.3(2010江苏高考)在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若baab6cosC，则tanCtanAtanCtanB的值是 _4在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知：b2，c 4，cosA34.(1)求边a的值；(2)求 cos(AB)的值5(2010辽宁高考)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小；(2)若 sinBsinC1，试判断ABC的形状6(2010浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 cos2C14.(1)求 sinC的值；(2)当a2,2sinAsinC时，求b及c的长7、某人在山顶观察A、B两个目标，测得A在南偏西60距山底1000 米处，B在南偏东60距山底800 米处，求A、B之间的距离8、(2010宝鸡质检一)如右图，为了计算渭河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得ADCD，AD100 m，AB140 m，BDA60，BCD135，求两景点B与C之间的距离(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参数数据：21.414，31.732，52.236)9、(2010江苏高考)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.(1)该小组已测得一组、的值，tan1.24，tan1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精度若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，最大？