专题15相似形问题-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品(解析版).docx

一、选择题1（2017 内蒙古包头市，第 12 题，3 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90°，CDAB，垂足为 D，AF平分CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F若 AC=3，AB=5，则 CE 的长为（）3458A 2B3C 3D 5【答案】A【分析】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA=90°，FAD+AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出CEF=CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案点睛：本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出CEF=CFE考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；角平分线的性质；综合题2（2017 四川省绵阳市，第 11 题，3 分）如图，直角ABC 中，B=30°，点 O 是ABC 的重心，连接MOCO 并延长交 AB 于点 E，过点 E 作 EFAB 交 BC 于点 F，连接 AF 交 CE 于点 M，则 MF 的值为（）15A 2B 423C 3D 3【答案】D2【分析】根据三角形的重心性质可得 OC= 3 CE，根据直角三角形的性质可得 CE=AE，根据等边三角形的判111定和性质得到 CM= 2 CE，进一步得到 OM= 6 CE，即 OM= 6 AE，根据垂直平分线的性质和含 30°的直角三角形的性质可得 EF=313 AE，MF= 2 EF，依此得到 MF=23MO6 AE，从而得到 MF 的值【解析】点 O 是ABC 的重心，OC= 3 CE，ABC 是直角三角形，CE=BE=AE，B=30°，12FAE=B=30°，BAC=60°，FAE=CAF=30°，ACE 是等边三角形，CM= 2 CE，OM= 3 CE1113- 2 CE= 6 CE，即 OM= 6 AE，BE=AE，EF= 3 AE，EFAB，AFE=60°，FEM=30°，1 AE13MO63MF= 2 EF，MF= 6AE， MF =3 AE63 故选D点睛：考查了三角形的重心，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，13关键是得到 OM= 6 AE，MF= 6AE考点：三角形的重心；相似三角形的判定与性质；综合题3（2017 山东省淄博市，第 12 题，4 分）如图，在RtABC 中，ABC=90°，AB=6，BC=8，BAC，ACB 的平分线相交于点 E，过点 E 作 EFBC 交 AC 于点 F，则 EF 的长为（）581015A. 2【答案】CB. 3C3D 4【分析】延长 FE 交 AB 于点 D，作 EGBC、作 EHAC，由 EFBC 可证四边形 BDEG 是矩形，由角平分线可得 ED=EH=EG、DAE=HAE，从而知四边形BDEG 是正方形，再证DAEHAE、CGECHE 得 AD=AH、CG=CH，设 BD=BG=x，则 AD=AH=6x、CG=CH=8x，由 AC=10 可得 x=2，即 BD=DE=2、10AD=4，再证ADFABC 可得 DF 的长，据此得出 EF=DFDE= 3 【解析】如图，延长FE 交 AB 于点 D，作EGBC 于点 G，作EHAC 于点 H，EFBC、ABC=90°，FDAB，EGBC，四边形 BDEG 是矩形，AE 平分BAC、CE 平分ACB，ED=EH=EG，DAE=HAE，四边形 BDEG 是正方形，在DAE 和HAE 中，DAE=HAE，AE=AE，ADE=AHE，DAEHAE（SAS），AD=AH，同理CGECHE，CG=CH，设 BD=BG=x，则 AD=AH=6x、CG=CH=8x，AC=AB2 + AC2 = 62 + 82 =10，6x+8x=10，解得：x=2，BD=DE=2，AD=4，DFBC，ADFABC， AD = DF ，即 4 = DF ，解得：DF= 16 ，则 EF=DFDE= 16 2= 10 ，ABBC68333故选C点睛：本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；综合题学科#网4（2017 广东省深圳市，第 12 题，3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 3，BP=CQ，连接 AQ，DP 交于点 O，并分别与边 CD，BC 交于点 F，E，连接 AE，下列结论：AQDP；OA2=OEOP；SAOD=S 四边形13OECF；当 BP=1 时，tanOAE= 16 ，其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【答案】C【分析】由四边形 ABCD 是正方形，得到 AD=BC，DAB=ABC=90°，根据全等三角形的性质得到P=Q，根据余角的性质得到 AQDP；故正确；根据相似三角形的性质得到 AO2=ODOP，由 ODOE，得到 OA2OEOP；故错误；根据全等三角形的性质得到 CF=BE，DF=CE，于是得到 SS=SADFDFODCEDOFAODOECFS，即 S=S；故正确；根据相似三角形的性质得到 BE，QE，QO，OE，由三角函数的四边形定义即可得到结论【解析】四边形 ABCD 是正方形，AD=BC，DAB=ABC=90°，BP=CQ，AP=BQ，在DAP 与ABQ 中，AD=AB，DAP=ABQ，AP=BQ，DAPABQ，P=Q，Q+QAB=90°，P+QAB=90°，AOP=90°，AQDP；故正确； DOA= AOP=90 ， ADO+ P= ADO+ DAO=90°， DAO= P ， DAO APO ，AO = OP ，AO2=ODOP，AEAB，AEAD，ODOE，OA2OEOP；故错误；ODOA在CQF 与BPE 中，FCQ=EBP，Q=P，CQ=BP，CQFBPE，CF=BE，DF=CE，ADFDFODCE在ADF 与DCE 中，AD=CD，ADC=DCE，DF=CE，ADFDCE，SS=SSSS-，即=；故正确；DOFAOD四边形 OECFBP=1，AB=3，AP=4，AOPDAP， PB = PA = 4 ，BE= 3 ，QE= 13 ，QOEPAD，EBDA34413 QO = OE = QE = 4133912OE13，QO=，OE=，AO=5QO=，tanOAE=，故正确故PAADPD5选 C5205OA 16点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义， 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形；综合题5（2017四川省雅安市，第12题，3分）如图，四边形ABCD中，AB=4，BC=6，ABBC，BCCD，E为AD1的中点，F为线段BE上的点，且FE= 3 BE，则点F到边CD的距离是（）1014A3B 3【答案】CC4D 3【分析】过点 D 作 DGAB，交 BA 的延长线于点 G，过点 E 作 EHBG 于点 H，过点 F 作 FPBG 于点P，延长 PF 交 CD 于点 M，则 FM 即为点 F 到边 CD 的距离，则四边形 BCDG，四边形 BCMP 为矩形，得到 PM 的长再由三角形中位线定理得 EH 的长，再由相似三角形的性质得到 PF 的长，从而得到结论【解析】如图，过点D 作 DGAB，交 BA 的延长线于点 G，过点 E 作 EHBG 于点 H，过点 F 作 FPBG于点 P，延长 PF 交 CD 于点 M，则 FM 即为点 F 到边 CD 的距离，则四边形 BCDG，四边形 BCMP 为矩形，11BF2PM=DG=BC=6点E 为 AD 的中点，EHDG，EH= 2 DG=3FE= 3 BE， BE = 3 .EHBG，BFPF2PFFPBG，PFEH， BE = EH ， 3 = 3 ，PF=2，FM=PM-PF=6-2=4故选C点睛：作出恰当的辅助线是解答本题的关键考点：矩形的判定与性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质；综合题6（2017 山东省莱芜市，第 12 题，3 分）如图，正五边形 ABCDE 的边长为 2，连结 AC、AD、BE，BE 分别与 AC 和 AD 相交于点 F、G，连结DF，给出下列结论：FDG=18°；FG=3 5 ；（S 四边C形DEF） 2=9+2 5 ；DF2DG2=72 5 其中正确结论的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】B【分析】先根据正五方形ABCDE 的性质得：ABC=180°3605=108°，由等边对等角可得：BAC=ACB=36°，再利用角相等求 BC=CF=CD，得CDF=CFD=（180°-72°）÷2=54°，可得FDG=18°；ABEG证明ABFACB，得 AC = ED ，代入可得 FG 的长；CDEF如图 1，先证明四边形CDEF 是平行四边形，根据平行四边形的面积公式可得：（S）2= 10+2 5 ；四边形如图 2， CDEF 是菱形，先计算 EC=BE=4FG=1+ 5 ，由 S1=FDEC=2×10 + 2 5，可得四边形 CDEF 24FD2=102 5 ，计算可得结论【解析】五方形 ABCDE 是正五边形，AB=BC，ABC=180°3605=108°，BAC=ACB=36°， ACD=108° 36°=72°，同理得： ADE=36°， BAE=108°， AB=AE， ABE=36°， CBF=108°36°=72°，BC=FC，BC=CD，CD=CF，CDF=CFD=（180°-72°）÷2=54°，FDG=CDECDFADE=108°54°36°=18°；所以正确；ABEGABE=ACB=36°，BAC=BAF，ABFACB， AC = ED ，ABED=ACEG，AB=ED=2，AC=BE=BG+EFFG=2ABFG=4FG，EG=BGFG=2FG，22=（2FG）（4FG），FG=3+ 5 2（舍），FG=3 5 ；所以正确；如图 1，EBC=72°，BCD=108°，EBC+BCD=180°，EFCD，EF=CD=2，四边形CDEF 是平行四边形，过 D 作 DMEG 于 M，DG=DE，EM=MG= 1 EG= 1（EFFG）= 1（23+ 5 ）2225 -15 -110 + 2 5=，由勾股定理得：DM=DE2 - EM 2 = 22 - ()2 =，（S）2=EF2×22410 + 2 5四边形 CDEFDM2=4×4=10+2 5 ；所以不正确；如图 2，连接 EC，EF=ED， CDEF是菱形，FDEC，EC=BE=4FG=4（3 5 ）=1+ 5 ，S=110 + 2 51FDEC=2×， ×FD×（1+ 5 ）= 10 + 2 5 ，FD2=102 5 ，DF2DG2=10四边形 CDEF 2422 5 4=62 5 ，所以不正确； 本题正确的有两个，故选B点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质、平行四边形和菱形的判定和性质，有难度，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键考点：正多边形和圆；相似三角形的判定与性质；综合题117（2017 江苏省镇江市，第 17 题，3 分）点 E、F 分别在平行四边形 ABCD 的边 BC、AD 上，BE=DF，点 P 在边 AB 上，AP：PB= ：n（n ），过点 P 且平行于 AD 的直线 l 将ABE 分成面积为 S 、S 的两部分，12将CDF 分成面积为 S 、S 的两部分（如图），下列四个等式：34 S : S12 S : S= 1: n= 1: (2n +1)1 (S14+ S ) : (S42+ S ) = 1: n3 (S3- S ) : (S12- S ) = n : (n +1)4其中成立的有（）ABCD【答案】BS【分析】根据平行线的性质，相似三角形的性质可知11S= ()2 ，S =n2S ，3n= ()2 ，求出S ，S ，S （用 S ，n 表示），即可解决问题2341S + S12n + 13S11S + S34Sn + 1n【解析】由题意AP：PB=1：n（n1），ADlBC，1= ()2 ，S =n2S ，3= ()2 ，S + S12n + 131S + S34n + 1221121整理得：S =n（n+ ）S ，S =（ n+ ）S ，S ：S = ：（ n+ ），故错误，正确，（S +S ）：（S +S ）214114142321212=S +（ n+ ）S ：n（n+ ）S +n2S = ：n，故正确，（S S ）：（S S ）=n2S S ：n（n+ ）111131241111S （2n+1）S =1：1，故错误，故选B点睛：本题考查平行四边形的性质相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；压轴题学科#网8（2016 山东省东营市）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BEAC，垂足为点 F，连接 DF，分析下列四个结论：AEFCAB；CF=2AF；DF=DC；tanCAD= 2 其中正确的结论有（）A4 个B3 个C2 个D1 个【答案】B【分析】四边形 ABCD 是矩形，BEAC，则ABC=AFB=90°，又BAF=CAB，于是AEFCAB， 故正确；11AEAF1由 AE= 2 AD= 2 BC，又 ADBC，所以 BC = FC = 2 ，故正确；1过 D 作 DMBE 交 AC 于 N，得到四边形 BMDE 是平行四边形，求出 BM=DE= 2 BC，得到 CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故正确；CD 与 AD 的大小不知道，于是 tanCAD 的值无法判断，故错误【解析】过 D 作 DMBE 交 AC 于 N，四边形 ABCD 是矩形，ADBC，ABC=90°，AD=BC，BEAC于点 F，EAC=ACB，ABC=AFE=90°，AEFCAB，故正确；AEAF11AF1ADBC，AEFCBF， BC = FC ，AE= 2 AD= 2 BC， FC = 2 ，CF=2AF，故正确，1DEBM，BEDM，四边形 BMDE 是平行四边形，BM=DE= 2 BC，BM=CM，CN=NF，BEAC于点 F，DMBE，DNCF，DF=DC，故正确；a设 AD=a，AB=b 由BAEADC，有 b = 2 abCDb2tanCAD= AD = a ，tanCAD= 2，故错误，故选B点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键考点：相似形综合题9（2015 资阳，第 10 题，3 分）如图，在ABC 中，ACB=90°，AC=BC=1，E、F 为线段 AB 上两动点，且ECF=45°，过点 E、F 分别作 BC、AC 的垂线相交于点 M，垂足分别为 H、G现有以下结论：AB= 2 ；11当点 E 与点 B 重合时，MH= ；AF+BE=EF；MG MH= ，其中正确结论为（）22ABCD【答案】C如图 2 所示，AC=BC，ACB=90°，A=5=45°将ACF 顺时针旋转 90°至BCD，则 CF=CD，1=4，A=6=45°；BD=AF；2=45°，1+3=3+4=45°，DCE=2， 在 ECF 和 ECD 中，CF=CD，2=DCE，CE=CE，ECFECD（SAS），EF=DE，5=45°，BDE=90°， DE 2 = BD2 + BE 2 ，即 EF 2 = AF 2 + BE 2 2，故错误；AFAC 7=1+A=1+45°=1+2=ACE， A=5=45°， ACE BFC， BC = BF ，CHAEAFBF=ACBC=1，由题意知四边形 CHMG 是矩形，MGBC，MH=CG，MGBC，MHAC， BCCGBFMGAEMHBF22= AB ；AC = AB ， 即 1=2 ； 1=2 ，MG= 2AE；MH= 2BF，22111MGMH= 2AE×2BF= 2 AEBF= 2 ACBC= 2 ，故正确故选C考点：相似形综合题；综合题；压轴题10（2015 东营，第10 题，3 分）如图，在RtABC 中，ABC=90°AB=AC点D 是线段 AB 上的一点，连结 CD过点 B 作 BGCD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，连AGAF2结 DF，给出以下四个结论： AB = FC ；若点 D 是 AB 的中点，则 AF= 3 AB；当 B、C、F、DDB1四点在同一个圆上时，DF=DB；若 AD = 2 ，则 SABC=9SBDF，其中正确的结论序号是（）ABCD【答案】C【解析】AGAFAGAF试题分析：依题意可得 BCAG，AFGBFC， BC正确；= FC ，又 AB=BC， AB = FC 故结论如右图，1+3=90°，1+4=90°，3=4，在ABG 与BCD 中，3=4，AB=BC，BAG=CBD=90°，ABGBCD（ASA），AG=BD，又 BD=AD，AG=AD，在AFG 与AFD 中，AG=AD，FAD=FAG=90°，AF=AF，AFGAFD（SAS），ABC 为等腰直角三角形，AC= 2 AB，11AGAF AFG AFD ， AG=AD= 2 AB= 212BC ， AFG BFC ， AB = FC， FC=2AF ， AF= 3 AC= 3 AB故结论正确；当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，2=ACB，ABC=90°，AB=AC，ACB=CAB=45°，2=45°，CFD=AFD=90°，CD 是 B、C、F、D 四点所在圆的直径，BGCD， DF = BD ，DF=DB，故正确；11DB1DB1111AF= 3 AC，SABF= 3 SABC； AD = 2 ， AB = 3 ，AF= 4 AC，SABF = 4 SABC，SBDF= 3 SABF，1SBDF= 12 SABC，即 SABC=12SBDF故结论错误故选C考点：相似形综合题；综合题 二、填空题11（2017 内蒙古呼和浩特市，第 15 题，3 分）如图，在 ABCD中，B=30°，AB=AC，O 是两条对角线的交点，过点 O 作 AC 的垂线分别交边 AD，BC 于点 E，F，点 M 是边 AB 的一个三等分点，则AOE 与BMF 的面积比为【答案】3：4111【分析】作 MHBC 于 H，设 AB=AC=m，则 BM= 3 m，MH= 2 BM= 6 m，根据平行四边形的性质求得11OA=OC= 2 AC= 2 m，解直角三角形求得 FC 的长，然后根据 ASA 证得AOECOF，证得 AE=FC，进一步求得 OE 的长，从而求得 S AOE 的值，作 ANBC 于 N，根据等腰三角形的性质以及解直角三角形求得BC 的长，进而求得 BF 的长，分别求得AOE 与BMF 的面积，即可求得结论111【解析】设 AB=AC=m，则 BM= 3 m，O 是两条对角线的交点，OA=OC= 2 AC= 2 m，B=30°，AB=AC，1 mOC23ACB=B=30°，EFAC，cosACB= FC ， 即 cos30°= FC ，FC= 3m，AEFC，EAC=FCA，又AOE=COF，AO=CO，AOECOF，AE=FC=313 m，OE= 2 AE=36 m，111331SAOE= 2 OAOE= 2 × 2 × 6 m= 24 m ，作 ANBC 于 N，AB=AC，BN=CN= 2 BC，23BN=AB=3 m，BC= 3 m，BF=BCFC= 3 m32 3m=m，作MHBC 于 H，B=30°，223311112 3133S424 m23MH=BM=m，S=BFMH=×m×m=m2， DAOE=故答案为：26BMF 223618SDBMF3 m2183：4点睛：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等，熟练掌握性质定理是解题的关键考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质12（2017 四川省内江市，第 16 题，5 分）如图，正方形 ABCD 中，BC=2，点 M 是边 AB 的中点，连接DM，DM 与 AC 交于点 P，点 E 在 DC 上，点 F 在 DP 上，且DFE=45°若 PF=56 ，则 CE=7【答案】 6 DFDE【分析】如图，连接EF首先求出 DM、DF 的长，证明DEFDPC，可得 DC = DP ，求出 DE 即可解决问题【解析】如图，连接 EF四边形 ABCD 是正方形，AB=BC=CD=DA=2，DAB=90°，DCP=45°，AM=BM=1，在RtADMAMMP12 55中，DM=AD2 + AM 2 = 22 +12 = 5 ，AMCD， DC = PD = 2 ，DP=3，PF= 6 ，DF=DP=PF=5DF，EDF=PDC，DFE=DCP，DEFDPC，5= DE ， 2 = DE ，255776DE=，CE=CDDE=2=故答案为：666DCDP22 53点睛：本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识， 解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质；综合题学科#网13（2017 四川省绵阳市，第 17 题，3 分）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点 D在 AB 边上，DEF 绕点 D 旋转，腰DF 和底边 DE 分别交CAB 的两腰 CA，CB 于 M，N 两点，若 CA=5，12AB=6，AB=1：3，则 MD+ MA × DN 的最小值为【答案】2 3 【分析】先求出 AD=2，BD=4，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 AMD+A=EDF+BDN，然后求出AMD=BDN，从而得到AMD 和BDN 相似，根据相似三角形对应边成比例MAMD可 得 BD = DN出最小值即可，求出 MADN=4MD，再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求1【解析】AB=6，AB=1：3，AD=6×3=2，BD=62=4，ABC 和FDE 是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，A=B=FDE，由三角形的外角性质得，AMD+A=EDF+BDN，AMD=MAMDBDN，AMDBDN， BD = DN ，MADN=BDMD=4MD，12333MD+MA × DN=MD+ MD= ( MD )2 + (MD )2 - 2 3 + 2 3 = ( MD -MD )2 + 2 3 ， 当MD =3，即 MD= 3 时 MD+MD12MA × DN有最小值为2 3 故答案为： 2 3 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转变换，难点在于将所求代数式整理出完全平方公式的形式从而判断出最小值考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质；最值问题；综合题14（2017 四川省绵阳市，第 18 题，3 分）如图，过锐角ABC 的顶点 A 作 DEBC，AB 恰好平分DAC，AF 平分EAC 交 BC 的延长线于点 F在 AF 上取点 M，使得 AM= 1 AF，连接 CM 并延长交直线 DE 于点3H若 AC=2，AMH 的面积是11Ð，则的值是12tanACH【答案】8 - 15 【分析】过点 H 作 HGAC 于点 G，由于 AF 平分CAE，DEBF，HAF=AFC=CAF，从而 AC=CF=2，AMAH1利用AHMFCM，=，从而可求出 AH=1，利用AMH 的面积是，从而可求出 HG，利MFCF121CG用勾股定理即可求出 CG 的长度，所以=tan ÐACHHG【解析】过点 H 作 HGAC 于点 G，AF 平分CAE，DEBF，HAF=AFC=CAF，AC=CF=2，1AM=AMAF，= 1 ，DECF，AHMFCM， AMAH=，AH=1，设AHM 中，3MF2MFCFmAH 边上的高为m，FCM 中 CF 边上的高为n，= AM = 1111=AHmMF2，AMH 的面积为：，n1212211Sm=，n=，设AHC 的面积为 S，= m + n =3，S=3S11=，11ACHG=，HG=，63SmDAHMAHM 424 415151CG由勾股定理可知： AG=， CG=ACAG=2，= 8 - 15 .故答案为：44tan ÐACHHG8 - 15 点睛：本题考查相似三角形综合问题，解题的关键是通过相似三角形的性质求出HG、CG、AH 长度，本题属于难题考点：相似三角形的判定与性质；解直角三角形；综合题15（2017 枣庄，第 18 题，4 分）在矩形 ABCD 中，B 的角平分线 BE 与 AD 交于点 E，BED 的角平分线 EF 与 DC 交于点 F，若 AB=9，DF=2FC，则 BC=（结果保留根号）【答案】6 2 + 3 【分析】先延长 EF 和 BC，交于点 G，再由条件可以判断三角形 ABE 为等腰直角三角形，并求得其斜边 BE 的长，然后由条件判断三角形 BEG 为等腰三角形，最后由EFDGFC 得出 CG 与 DE 的倍数关系，并由 BG=BC+CG 进行计算即可【解析】延长 EF 和 BC，交于点 G矩形 ABCD 中，B 的角平分线 BE 与 AD 交于点 E，ABE=AEB=45°，AB=AE=9，直角三角形 ABE 中，BE= 92 + 92 = 9 2 ，又BED 的角平分线 EF 与 DC交于点 F，BEG=DEFADBC，G=DEF，BEG=G，BG=BE= 9 2 CGCFCF1由G=DEF，EFD=GFC，可得EFDGFC， DE = DF设 CG=x，DE=2x，则 AD=9+2x=BC= 2CF= 2 BG=BC+CG， 9 2 =9+2x+x，解得 x= 3 2 - 3 ，BC=9+2（ 3 2 - 3 ）= 6 2 + 3 故答案为： 6 2 + 3 点睛：本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似考点：矩形的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质16（2017 广西桂林市，第 17 题，3 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 A 作 EAAOCA 交 DB 的延长线于点 E，若 AB=3，BC=4，则 AE 的值为7【答案】24【分析】作BHOA 于 H，如图，利用矩形的性质得OA=OC=OB，ABC=90°，则根据勾股定理可计算出AC，AO 的长，接着利用面积法计算出BH 的长，于是利用勾股定理可计算出OH 的长，然后证明OBHAOOEA，最后利用相似比可求出 AE 的值【解析】作 BHOA 于 H，如图，四边形 ABCD 为矩形，OA=OC=OB，ABC=90°，在RtABC 中，5113´ 412AC=32 + 42 =5 ， AO=OB=， BHAC=ABBC ， BH=， 在 Rt OBH 中，222555127BHOHOH= OB2 - BH 2 = ( )2 - ()2 =，EACA，BHAE，OBHOEA，=，2510AEOA7AOOH1077 AE= BH = 125=故答案为：24