八年级三角形与多边形知识点汇总.pdf
三角形与多边形知识点汇总一认识三角形1关于三角形的概念及其按角的分类定义：由 不在同一直线 上的三条线段 首尾顺次相接 所组成的图形叫做三角形。2三角形的分类：三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。2关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形 的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。3与三角形有关的线段：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。注意：三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。）4三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180引申：直角三角形的两个锐角互余；一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；一个三角中至少有两个内角是锐角。（2）三角形的外角和：360（3）三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；常用来求角度三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。常用来比较角的大小5.多边形的内角与外角（1）多边形的内角和：（n-2）180（2）多边形的外交和：360引申：（1）从 n 边形的一个顶点出发能作（n-3）条对角线；（2）多边形有2)3(nn条对角线。（3）从 n 边形的一个顶点出发能将n 边形分成（n-2）个三角形；6镶嵌（1）同一种正三边形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌；（2）正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正方形与正八边形、正三角形与正十二边形可以进行平面镶嵌；（3）同一种任意三角形、任意四边形可以进行镶嵌。【典型例题】考点一：三角形的分类例题 1：具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（B ）。A：A+B=C B：A=B=C C：A=90-B D：A-B=90 例题 2：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为(D )A 60 B120 C60或 150 D60或 120考点二：三角形三边的关系例题 1：已知：如图1，ABC 中，D 是 AB 上除顶点外的一点.，求证：AB+ACDB+DC；变式一：已知：如图3，ABC 中，点 P为 ABC 内任一点求证：AB+BC PB+PC 延长 BP 与 AC 交于点 D。根据三角形三边的关系：有)1(BDBPADABBDADAB即PCBA图 2 EDCBA图 3 图1ABCD)2(PCDCPD(1)+(2)-PD 得PCPBACAP例题 2：现有两根木棒，它们的长分别是40cm 和 50cm，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取长为（C）A.100cm 的木棒B.90cm 的木棒C.40cm 的木棒D.10cm 的木棒练习：1.下列长度的三条线段能组成三角形的是（D ）A、3，4，8 B、5，6，11 C、1，2，3 D、5，6，10 2.一个等腰三角形的两条边长分别为8 和 3，那么它的周长为 19cm .考点三：三角形的中线的性质例题 1：将 ABC 分成面积相等的四个三角形。例题 2：已知：如图，AD、BC、DE是 ABC 的三条中线，O 为交点。求证：（1）ABCAOESS61(2)1:2:ODAO练习:1.如图 5，在 ABC中，已知点 D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且ABCS=42cm，则S阴影等于(B )A22cm B.12cm C.122cm D.142cm考点四：三角形的 稳定 性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理练习：1.不是利用三角形稳定性的是()A、自行车的三角形车架 B、三角形房架 C、照相机的三角架 D、矩形门框的斜拉条2.下列图形中具有稳定性的有（）A C B D E F O A B C 方法一A B C 方法二A B C 方法三_ F_ E_ D_ B_ C_ A4题图EBDACHA、正方形 B、长方形 C、梯形 D、直角三角形考点五：三角形的外角与不相邻的内角的关系例题 1：如图，已知点P在 ABC内任一点，试说明A与 P的大小关系。例题 2：如图 4，1+2+3+4 等于多少度；（280）练习：1、如图，下列说法错误的是(A)A、B ACD B、B+ACB=180 A C、B+ACB B 2、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是(C ).A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定考点六：三角形的内角和、外角和相关的计算与证明例题 1：若三角形的三个外角的比为3：4：5，则这个三角形为（B ）A锐角三角形 B直角三角形 C等边三角形D钝角三角形例题 2：已知等腰三角形的一个外角为150，则它的底角为_.练习：1、如图，若 AEC=100，B=45，C=38，则 DFE等于(A)A.125 B.115 C.110 D.1052、如图，1=_.3、如图，则 1=_,2=_,3=_,4、已知等腰三角形的一个外角是120，则它是(C)A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形5、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180，那么与这个外角相邻的内角的度数为(C )A.30 B.60 C.90 D.1206、已知三角形的三个外角的度数比为234，则它的最大内角的度数(D ).A.90 B.110 C.100 D.120例题 2：如图,已知ABC中,ACBABC和的角平分线BD,CE相交于点 O.（1）若50ABC，70ACB，则CB0；（2）若48ABC，64ACB，则CB0；A O PCBA图4432140?_ 3题图_ 150_ 50_ 3_ 2_ 1_ 2题图_ 140_ 80_ 1_1 题图_ F_ E_ A_ C_ B_ D（3）若60A,则CB0；（4）请探究的关系与BOCA.变式一：如图，BP平分 FBC，CP平分 ECB.（1）若 A=40，求 BPC的度数；（2）若 A=a，求 BPC的度数（用含a 的代数式表示）.变式二：已知：BD 为ABC 的角平分线，CO 为 ABC 的外角平分线，它与 BO 的延长线交于点O，试探索 BOC与 A 的数量关系，并说明理由引申：如图，若E 为 BA 延长线上一动点，连EC，AEC 与 ACE 的角平分线交于Q，当 E 滑动时有下面两个结论：Q+A1的值为定值；Q-A1的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值（正确，Q+A1=180）变式三：已知：如图1，线段 AB、CD 相交于点O，连接 AD、CB，如图，DAB 和 BCD 的平分线AP 和 CP相交于点 P，并且与CD、AB 分别相交于M、N试解答下列问题：（1）在图中，若D=40，B=30 ，试求 P 的度数；（写出解答过程）（2）如果图中 D 和 B 为任意角，其他条件不变，试写出P 与 D、B 之间数量关系（B+D=2P）例题 3：如图甲，在ABC 中，AD BC 于 D，AE 平分 BAC（1）若 B=30 ，C=70 ，则 DAE=20；（2）若 C B=30 ，则 DAE=15；（3）若 C B=a（C B），求 DAE 的度数（用含a的代数式表示）；（21）（4）如图乙，当 C B 时我们发现上述结论不成立，但为了使结论的统一与完美，我们不妨规定：角度也有正负，规定顺时针为正，逆时针为负例如：DAE=18，则 EAD=18 ，作出上述规定后，上述结论还成立吗？_成立 _；若 DAE=7，则 B C=_14_ 变式一：已知：如图 1，ABC 中，B C，AD 是ABC 的角平分线，点 P 是 AD 上的一点，过点 P 画 PHBC于 H（1）求证：DPH=（B C）；（2）如图 2，当点 P是线段 AD 的延长线上的点时，过点P 画 PHBC 于 H，上述结论任然成立吗？请你作出判断并加以说明变式二：如图，AE、OB、OC 分别平分 BAC、ABC、ACB，ODBC，求证：1=2由（1）得OBCOCBABCACBEOD)(21OCEOBCEOD9021OCDEODOBE21考点五：多边形的内角和与外角和（识记）正 n 边形345681 01 21 5内角和1 8 03 6 05 4 07 2 01 0 80 1 4 40 1 8 00 2 3 40 外角和3 6 03 6 03 6 03 6 03 6 03 6 03 6 03 6 0每一个内角n360180180)2(或nn6 0 9 0 1 0 81 2 01 3 51 4 41 5 01 5 8每一个外角n360180)2(180或nn1 2 09 0 7 2 6 0 4 5 3 6 3 0 2 2 例题 1：若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（A）A 三角形B六边形C五边形D四边形例题 2：下列说法错误的是（A）A边数越多，多边形的外角和越大B多边形每增加一条边，内角和就增加180C正多边形的每一个外角随着边数的增加而减小D六边形的每一个内角都是120例题 3：一个多边形内角和与其中一个外角的总和为1360 这个多边形的边数为9.例题 4：一个多边形的每一个外角都是24，则此多边形的内角和（B）A2160 B2340 C2700 D2880练习：1一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为（B）A、6 B、7 C、8 D、9 2一个多边形的内角和是外角和的2 倍，它是（C ）A、四边形 B、五边形 C、六边形 D、八边形3一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加(A )A.180 B.360 C.(n-2)180 D.n180 4、若一个多边形的内角和与外角和相加是1800，则此多边形是(B )A、八边形 B、十边形 C、十二边形 D、十四边形5、正方形每个内角都是_90_，每个外角都是 _ _90_。6、多边形的每一个内角都等于150，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有9 条。7、正六边形共有_9_条对角线，内角和等于_720_，每一个内角等于_120_。8、内角和是1620的多边形的边数是_11_。9、如果一个多边形的每一外角都是24，那么它是 _15_边形。10、将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和_180或 360_。11、一个多边形的内角和与外角和之比是52，则这个多边形的边数为_8_。12、一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为2520,则原多边形有 _15 或 16 或 17_条边。13.已知一个十边形中九个内角的和的度数是12900，那么这个十边形的另一个内角为150 度.考点六：镶嵌例题 1：装饰大世界出售下列形状的地砖：1正方形；2长方形；3正五边形；4正六边形。若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖有（B ）A.123 B.124 C.234 D.134例题 2：边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是(B)A.正方形与正三角形B.正五边形与正三角形 C.正六边形与正三角形D.正八边形与正方形练习：1.下列正多边中，能铺满地面的是（B）A、正方形 B、正五边形 C、等边三角形 D、正六边形2.下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是(D ).A.正六边形和正三角形 B.正三角形和正方形 C.正八边形和正方形 D.正五边形和正八边形3.用正三角形和正十二边形镶嵌，可能情况有(B )种.A、1 B、2 C、3 D、4 4.某装饰公司出售下列形状的地砖：正方形；长方形；正五边形；正六边形.若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖共有(C )种.A、1 B、2 C、3 D、4 5.小李家装修地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是(C )A、正方形 B、正六边形 C、正八边形 D、正十二边形6.用正三角形和正四边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有_3_个正三角形和_2_个正四边形。7.如图，第n 个图案中有白色地砖_（4n+2）_块._第1个_ 第3个_ 第?2个
