3-机械制图---第二章.ppt

正投影的基本知识正投影的基本知识正投影的基本知识正投影的基本知识第第第第 2 2 章章章章2.1 投影法投影法 投影法是指投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该面上得到图形的方法，如图2-1所示。其中，投射线的起源点称为投射中心，选定的平面称为投影面，投影面上所得到的图形称为投影。按投射线类型（平行或汇交）不同，投影法可分为中心投影法和平行投影法。2.1 投影法投影法图2-1 投影法2.1 投影法投影法1中心投影法 中心投影法是指投射中心位于有限远处，投射线汇交于一点的投影法，如图2-2所示。中心投影法绘制的投影图具有直观性较强、立体感较好等优点，但不能反映物体表面的真实形状和大小，故其在工程上仅用于土建工程及大型设备辅助图样的绘制。2.1 投影法投影法图2-2 中心投影法2.1 投影法投影法2平行投影法 平行投影法是指投射中心位于无限远处，投射线互相平行的投影法，如图2-3所示。平行投影法绘制的投影图虽然直观性差，但度量性好。平行投影法分为正投影法和斜投影法。其中，正投影法是指投射线与投影面之间相互垂直的平行投影法，斜投影法是指投射线与投影面之间倾斜的平行投影法，如图2-4所示。2.1 投影法投影法图2-3 平行投影法2.1 投影法投影法图2-4 平行投影法分类（a）正投影法（b）斜投影法2.1 投影法投影法 由于正投影法不仅能真实地表达空间物体的形状和大小，而且作图原理简单，便于作图，因此，正投影是机械图样中应用最广泛的图示法。本书主要介绍正投影法，今后如无特殊说明，所述投影均视为正投影。2.2 点的投影点的投影 如图2-5（a）所示，过空间点A的投射线与投影面P的交点a，称为点A在投影面P上的投影。当点的空间位置确定时，点在某一投影面上的投影便是唯一的，但点的单面投影不能唯一确定点的空间位置，如图2-5（b）所示。因此，工程中以及机械制图中一般都采用多面正投影。2.2 点的投影点的投影（a）（b）图2-5 点的单面投影2.2.1 点的三面投影点的三面投影 以相互垂直的三个面作为投影面，便组成了三面投影体系，如图2-6所示。其中，正立放置的投影面称为正立投影面，用V表示；水平放置的投影面称为水平投影面，用H表示；侧立放置的投影面称为侧立投影面，用W表示；相互垂直投影面的三根交线称为投影轴，分别用OX，OY，OZ表示，三根投影轴的交点O称为原点。1三面投影体系2.2.1 点的三面投影点的三面投影图2-6 三面投影体系2.2.1 点的三面投影点的三面投影 如图2-7所示，投影面V和H将空间分成四个分角。将物体置于第分角内，使其处于观察者与投影面之间而得到的正投影的方法称为第一角画法。将物体置于第分角内，使投影面处于物体与观察者之间而得到正投影的方法称为第三角画法。我国国家标准规定机械图样主要采用第一角画法，即采用图2-8所示的三面投影体系。2.2.1 点的三面投影点的三面投影图2-7 四个分角图2-8 三面投影体系2.2.1 点的三面投影点的三面投影2点的三面投影 如图2-9（a）所示，将空间点A分别向H，V，W三个投影面投射，即可得到点A的三个投影a，a，a，它们分别称为点A的水平投影、正面投影和侧面投影。2.2.1 点的三面投影点的三面投影 为了画图方便，需将互相垂直的三个投影面摊平在同一个平面上。规定：正立投影面不动，将水平投影面绕OX轴向下旋转90，将侧立投影面绕OZ轴向右旋转90，使H，V，W三个投影面共面。应注意：水平投影面和侧立投影面旋转时，OY轴被分为两部分，分别用 OYH（在H面上）和OYW （在W面上）表示，如图2-9（b）所示。画图时，不必画出投影面边框。2.2.1 点的三面投影点的三面投影（a）图2-9 点的三面投影（b）2.2.2 点的空间位置点的空间位置1点三面投影图的性质 点的三面投影图具有以下性质。点的两面投影的连线，必定垂直于相应的投影轴，如图2-9（b）中aaOZ，aaOX。2.2.2 点的空间位置点的空间位置 点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应投影面的距离，即影轴距等于点面距。例如，在图2-9（b）中，aax=aaz=点A到V面的距离，aax=aay=点A到面的距离，aaz=aay=点A到W面的距离。在点的三面投影中，只要知道任意两面投影，根据投影性质便可求出第三面投影。2.2.2 点的空间位置点的空间位置【例2-1】如图2-10（a）所示，已知点A的正面投影a和侧面投影a，求其水平投影a。分析：由点的投影性质可知，aaOX，aax=aaz。作图：过a作直线垂直于OX轴，交OX轴于ax，在aax=aaz 延长线上量取，即可求得a点，如图2-10（b）所示。也可采用作45斜线的方法求得a点，如图2-10（c）所示。2.2.2 点的空间位置点的空间位置图2-10 求点的第三投影（a）（b）（c）2.2.2 点的空间位置点的空间位置 如图2-11所示，在三投影面体系中，三根投影轴可以构成一个空间直角坐标系，空间点A的位置可以用三个坐标值（XA，YA，ZA）表示，则点A的投影与坐标之间的关系为：2点的投影与坐标系之间的关系2.2.2 点的空间位置点的空间位置图2-11 点的投影与坐标之间的关系（a）（b）2.2.3 两点的相对位置两点的相对位置 两点的相对位置是指空间两点的上下、前后、左右位置关系，可以通过两点在同一投影面上投影的相对位置或坐标的大小来判断，即x坐标大的在左，y坐标大的在前，z坐标大的在上。1两点的相对位置2.2.3 两点的相对位置两点的相对位置 如图2-12所示，由于xA xB，故A在B的左方，同理可判断出A在B的下方、后方。图2-12 两点的相对位置2.2.3 两点的相对位置两点的相对位置 如图2-13所示，E，F两点的投影e和f重合，说明E，F两点的x，z坐标相同，即xE=xF，zE=zF，这表明E，F两点处于对正面（V面）的同一条投射线上。若空间两点在某一投影面上的投影重合，则这两点称为对该投影面的重影点。2重影点2.2.3 两点的相对位置两点的相对位置 重影点的可见性需根据这两点不重影的投影坐标大小来判断。例如，图2-13中，e，f重合，但水平投影不重合，且yE yF，即E在前、F在后。所以，对于V面来说，E可见，F不可见。在投影图中，对不可见的点，在重影处的投影需加圆括号表示。因此，E，F在V面的投影表示为e（f）。2.2.3 两点的相对位置两点的相对位置图2-13 重影点2.3 直线的投影直线的投影2.3.1 直线的投影及其特性1直线的三面投影 直线的投影一般仍为直线，特殊情况可积聚为一点，如图2-14所示。在图2-14中，直线AB在水平面H上的投影为直线ab；直线CD平行于投射线，其在水平面H上的投影cd积聚为一点。2.3 直线的投影直线的投影图2-14 直线的投影2.3 直线的投影直线的投影 直线的投影可由直线上两点的同名投影来确定，如图2-15所示。在三个投影面中，将同名投影上的投影点用粗实线连接起来，即可得到直线的三面投影，如图2-15（c）所示。图2-15 直线的三面投影（a）（b）（c）2.3 直线的投影直线的投影2直线的投影特性 在三面投影体系中，按直线与投影的相对位置不同，直线可分为一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线三类，其中，后两类统称为特殊位置直线。2.3 直线的投影直线的投影2.3 直线的投影直线的投影 投影面平行线是指平行于一个投影面的直线。按平行的投影面不同，投影面平行线可分为水平线（平行于H面）、正平线（平行于V面）和侧平线（平行于W面）三种，其各自投影特性如表2-1所示。2.3 直线的投影直线的投影表2-1 投影面平行线的投影特性2.3 直线的投影直线的投影由表2-1可知，投影面平行线具有以下投影特性。在平行投影面上，直线的投影反映实长，直线投影与投影轴的夹角分别反映直线与另外两个投影面倾角的实际大小。在另外两个投影面上，直线投影分别平行于相应的投影轴，且短于空间直线段。2.3 直线的投影直线的投影 投影面垂直线是指垂直于一个投影面，而与其余两个投影面平行的直线。按垂直的投影面不同，投影面垂直线可分为铅垂线（垂直于H面）、正垂线（垂直于V面）和侧垂线（垂直于W面）三种，其各自投影特性如表2-2所示。2.3 直线的投影直线的投影表2-2 投影面垂直线的投影特性2.3 直线的投影直线的投影由表2-2可知，投影面垂直线具有以下投影特性。在垂直投影面上，直线的投影积聚为一点。在另外两个投影面上，直线投影分别平行于相应的投影轴，且短于空间直线段。2.3 直线的投影直线的投影 从属于一个投影面的直线是投影面平行线和投影面垂直线的特殊情况，它同时具有该两类直线的投影性质。从属于一个投影面直线的特殊性在于：必有一投影重合于直线本身，另两投影在投影轴上，如图2-16（a）和图2-16（b）所示。更特殊的直线是从属于投影轴的直线，这类直线必定是投影面的垂直线，它的投影特性是两投影重合于直线本身，另一投影积聚在原点上，如图2-16（c）所示。2.3 直线的投影直线的投影图2-16 从属于一个投影面的直线（a）从属于V面的直线（b）从属于V面的铅垂线（c）从属于OX轴的直线2.3.2 直线与点的相对位置直线与点的相对位置直线与其上点的关系如下。122.3.2 直线与点的相对位置直线与点的相对位置图2-17 直线上的点（a）（b）2.3.2 直线与点的相对位置直线与点的相对位置1求直线上点的投影 【例2-2】如图2-18（a）所示，已知点K在直线AB上，求点K的其余两面投影。分析：由于点K在直线AB上，所以点K的三面投影分别位于直线AB的同名投影上。作图：如图2-18（b）所示，先作出AB的侧面投影ab，然后再在ab，ab上确定点K的水平投影k和侧面投影k。2.3.2 直线与点的相对位置直线与点的相对位置图2-18 求直线上点的投影（a）（b）2.3.2 直线与点的相对位置直线与点的相对位置【例2-3】如图2-19（a）所示，已知点K在直线CD上，求点K的正面投影。分析：求点K的正面投影有两种方法，一种是先求出直线CD的侧面投影，然后再求出点K的正面投影；另一种是利用点分线段成定比的方法求出点K的正面投影。此处采用第二种方法作图。作图：如图2-19（b）所示，采用作相似三角形的方法使ck/kd=ck/kd，定出k在cd上的位置，即求得点K的正面投影。2.3.2 直线与点的相对位置直线与点的相对位置图2-19 求直线上点的投影（a）（b）2.3.2 直线与点的相对位置直线与点的相对位置2判断点是否在直线上 判断点是否在直线上，一般只需判断两个投影面上的投影即可。当直线与投影面平行，且给出的两个投影又与投影轴平行时，则需求出第三个投影来进行判断，或用点分线段成定比的方法来判断。2.3.2 直线与点的相对位置直线与点的相对位置【例2-4】如图2-20（a）所示，已知直线AB和点K的正面投影和水平投影，试判断点K是否在直线AB上。方法一作图：如图2-20（b）所示，先作出直线AB的侧面投影ab，再作出K的侧面投影k，由于 ，所以点K不在直线AB上。2.3.2 直线与点的相对位置直线与点的相对位置图2-20 判断点是否在直线上（a）（b）（c）2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置空间中两直线的相对位置有平行、相交和交叉（异面）三种情况。1两直线平行两直线平行的投影规律如下。1 若两直线平行，则它们的同名投影一定相互平行，如图2-21所示。反之，若空间两直线的同名投影均相互平行，则该两直线一定为平行关系。2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置图2-21 两直线平行（a）（b）2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置2 若两直线平行，则它们的长度之比等于它们同名投影的长度之比。这条投影特性反过来不一定成立，因此，实际应用中还必须检查两线段的倾斜方向是否相同。判断空间两直线是否平行，一般情况下，只需判断两直线的任意两对同名投影是否分别平行即可。但当两直线同为某投影面平行线时，只有该投影面上的投影平行或平行线投影保持定比时才能判断两直线相互平行。2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置【例2-5】判断直线DE，FG在图2-22（a）和图2-22（c）中所示的情况是否平行。图2-22 判断两直线是否平行（a）（b）2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置图2-22 判断两直线是否平行（c）（d）2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置方法一：根据两平行直线在同一投影面上投影仍平行来判断两直线是否平行。作图2-22（a）和图2-22（c）的第三面投影，分别如图2-22（b）和图2-22（d）所示，从图中可以判断，图2-22（a）中的直线DE，FG平行，图2-22（c）中的直线DE，FG不平行。2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置方法二：根据平行两线段之比与其投影之比相等，以及两直线对投影面的方向是否相同来判断两直线是否平行。因此，图2-22（a）中的直线DE，FG平行；图2-22（c）中DE，FG的两面投影字母符号顺序不一致，因而两线段倾斜方向不一致，故直线DE，FG不平行。2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置2两直线相交 若空间两直线相交，则它们的同名投影一定相交，且交点同属于两直线，如图2-23所示；反之亦然。判断空间两直线是否相交，一般情况下，只需判断直线的两组同名投影相交，且交点符合直线上点的投影特性即可。当两直线中有一条为特殊位置直线时，若两直线的同名投影相交，则空间两直线不一定相交。2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置图2-23 两直线相交2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置【例2-6】判断图2-24（a）中直线AB，CD是否相交。方法一：求出侧面投影，如图2-24（b）所示，虽然a，b 相交，但其交点不是k，即点K不是两直线共有点，故直线AB，CD不相交。2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置方法二：2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置图2-24 判断两直线是否相交（a）（b）2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置3两直线交叉 两交叉直线是指既不平行也不相交的两条直线。如图2-25（a）所示，直线AB和CD为两交叉直线，则这两条直线的正面投影和水平投影均相交，但正面投影中的交点与水平投影中的交点并非同一点，如图2-25（b）所示。2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置图2-25 判断两直线是否交叉（a）（b）2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置 两交叉直线同名投影的交点是直线上一对重影点的投影，用它可以判断空间两直线的相对位置。在图2-25中，直线AB和CD水平投影的交点是直线CD上点和直线AB上点对H面的重影点1（2），由正面投影可知，点在上，点在下，故该处直线CD在直线AB的上方。同理，直线AB和CD的正面投影交点是直线AB上点和直线CD上点对V面的重影点3（4），由水平投影可知，点在前，点在后，故该处直线AB在直线CD的前方。2.4 平面的投影平面的投影 在投影图上，通常可用下列五组几何元素中任一组的投影来表示平面的投影。2.4.1 平面的表示方法不属于同一直线的三点，如图不属于同一直线的三点，如图2-262-26（a a）所示。）所示。一直线和线外一点，如图一直线和线外一点，如图2-262-26（b b）所示。）所示。2.4 平面的投影平面的投影相交两直线，如图相交两直线，如图2-262-26（c c）所示。）所示。平行两直线，如图平行两直线，如图2-262-26（d d）所示。）所示。平面几何图形，如三角形、四边形、圆等，如图平面几何图形，如三角形、四边形、圆等，如图2-262-26（e e）所示。）所示。2.4 平面的投影平面的投影图2-26 平面的五种表示方法（a）（b）（c）（d）（e）以上用几何元素表示平面的五种形式彼此间是可以相互转化的。实际上，第一种表示方法是基础，后几种都是由它转化而来的。2.4.2 平面的投影及其特性平面的投影及其特性 按平面对投影面的相对位置不同，平面可分为一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面三类。其中，后两者统称为特殊位置平面。1一般位置平面 一般位置平面是指对三个投影面都倾斜的平面，如图2-27所示。2.4.2 平面的投影及其特性平面的投影及其特性图2-27 一般位置平面（a）（b）2.4.2 平面的投影及其特性平面的投影及其特性 一般位置平面的投影特性是三个投影面的投影均为缩小的类似形，即边数相等的类似多边形，不反映空间平面的实际形状。例如，图2-27（b）中三个投影面上的投影都是三角形，即类似形。2.4.2 平面的投影及其特性平面的投影及其特性2投影面垂直面 投影面垂直面是指垂直于某一投影面而与其余两投影面都倾斜的平面。其中，垂直于H面的平面称为铅垂面，垂直于V面的平面称为正垂面，垂直于W面的平面称为侧垂面，它们的投影特性如表2-3所示。2.4.2 平面的投影及其特性平面的投影及其特性表2-3 投影面垂直面的投影特性2.4.2 平面的投影及其特性平面的投影及其特性由表2-3可知，投影面垂直面的投影特性如下。在垂直投影面上，面的投影积聚成与该投影面内的两投影轴都倾斜的直线，该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另两个投影面夹角的实际大小。在另外两个投影面上，面的投影为原形的类似形。2.4.2 平面的投影及其特性平面的投影及其特性3投影面平行面 投影面平行面是指平行于某一投影面，从而垂直于其余两个投影面的平面。其中，平行于H面的平面称为水平面，平行于V面的平面称为正平面，平行于W面的平面称为侧平面，它们的投影特性如表2-4所示。2.4.2 平面的投影及其特性平面的投影及其特性表2-4 投影面平行面的投影特性2.4.2 平面的投影及其特性平面的投影及其特性由表2-4可知，投影面平行面的投影特性如下。在平行投影面上，面的投影反映平面的实际形状。在另外两个投影面上，面的投影均积聚成直线，且平行于相应的投影轴。2.4.3 平面上的直线和点平面上的直线和点1平面内取直线具备下列条件之一的直线，必位于给定的平面内。直线经过平面内已知的两点。直线经过平面内的一点，且平行于平面内的另一条直线。2.4.3 平面上的直线和点平面上的直线和点 【例2-7】如图2-28（a）所示，已知平面由两相交直线AB，AC给出，求作平面内任意一条直线。方法一：在平面内任意取两点连线。如图2-28（b）所示，分别在直线AB，AC上任意取点M（m，m），N（n，n），然后连接该两点的同名投影，即得所求直线。2.4.3 平面上的直线和点平面上的直线和点方法二：过面内一点作面内已知直线的平行线。如图2-28（c）所示，过点C作直线CM平行已知直线AB，即cmab，cmab，则直线CM即为所求直线。2.4.3 平面上的直线和点平面上的直线和点图2-28 平面内取任意直线（a）（b）（c）2.4.3 平面上的直线和点平面上的直线和点 【例2-8】如图2-29（a）所示，已知平面由ABC给出，在该平面内求作一条正平线，使其到V面的距离为10 mm。分析：所求正平线处于已知平面内，其水平投影应平行于OX轴，且与OX轴的距离为10 mm。作图：如图2-29（b）所示，在H面作与OX平行且距离为10 mm的直线，其与直线ab，bc的交点分别为m，n。过m，n分别作OX的垂线，它们与直线ab，bc的交点分别为m，n，连接mn，mn，即为所求正平线的两面投影。2.4.3 平面上的直线和点平面上的直线和点图2-29 在平面内取正平线（a）（b）2.4.3 平面上的直线和点平面上的直线和点2平面内取点 点从属于平面的条件是：若点属于一直线，直线属于一平面，则该点必属于该平面。因此，在取属于平面的点时，首先应取属于平面的直线，再取属于该直线的点。2.4.3 平面上的直线和点平面上的直线和点 【例2-9】如图2-30（a）所示，已知点K位于ABC内，求点K的水平投影。分析：在平面内过点K任意作一条辅助直线，则点K的投影必在该直线的同名投影上。作图：如图2-30（b）所示，连接bk并延长，交ac于d；过d作OX轴的垂线，交ac于d，连接bd；过k作OX轴的垂线，交bd于k，点k即为点K的水平投影。2.4.3 平面上的直线和点平面上的直线和点图2-30 平面内取点（a）（b）2.4.3 平面上的直线和点平面上的直线和点 【例2-10】如图2-31（a）所示，已知ABC的两面投影，在ABC内求取一点M，使其到H面和V面的距离均为10 mm。分析：平面内的正平线是与V面等距离点的轨迹，故点M位于平面内距V面为10 mm的正平线上。点的正面投影到OX的距离反映点到H面的距离（10 mm）。2.4.3 平面上的直线和点平面上的直线和点作图：如图2-31（b）所示，在H面作与OX轴平行且相距10 mm的直线，交直线ac，ab于点d，e；过点d，e作OX轴的垂线，分别交ac，ab于点d，e，连接de；在V面作与OX轴平行且相距10 mm的直线，交直线de于m；过m作OX轴的垂线，交直线de于m，则点m，m即为所求点M的水平投影和正面投影。2.4.3 平面上的直线和点平面上的直线和点图2-31 平面内取点（a）（b）2.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置 直线与平面之间以及两平面之间的相对位置可分为平行、相交和垂直三种情况。2.5.1 平行1直线与平面平行 由初等几何可知，若平面外一直线平行于平面内一直线，则该直线与该平面平行。例如，图2-32中，由于直线AB平行于平面P内的直线CD，所以直线AB平行于平面P。图2-32 直线与平面平行2.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置 过K点可作无数条平行于已知平面的直线，其中只有一条是水平线。如图2-33（b）所示，先作平面内的水平辅助线CD，再过点K引直线EF平行于CD。由于EFCD，CD在平面ABC内，所以EF平面ABC。【例2-11】如图2-33（a）所示，已知ABC平面，过已知点K求作一水平线平行于ABC平面。2.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置图2-33 作直线平行于已知平面（a）（b）2.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置 如果平面内能做出一条平行于AB的直线FG，则AB平行于定平面CDE，否则，AB与定平面CDE不平行。如图2-34（b）所示，在平面cde中作与直线ab平行的直线fg，然后再定出点f，g，连接fg，观察fg是否与ab平行。由于fg与ab不平行，即平面内没有与直线AB平行的直线，所以，AB与定平面CDE不平行。【例2-12】如图2-34（a）所示，试判断已知直线AB是否平行于定平面CDE。2.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置图2-34 判断直线与平面是否平行（a）（b）2.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置2两平面平行 由初等几何可知，若属于一平面的两相交直线分别平行于另一平面的两相交直线，则此两平面平行。如图2-35所示，相交直线AB，BC属于平面P，相交直线DE，EF属于平面Q，若此两对相交直线分别平行，则平面P平行于平面Q。2.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置图2-35 两平面相互平行2.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置 如图2-36（b）所示，分别作属于两平面的水平线CM，DK和正平线AN，EL，观察可知CMDK，ANEL，所以ABC平面与DEF平面平行。【例2-13】如图2-36（a）所示，试判断ABC平面与DEF平面是否平行。2.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置图2-36 判断两平面是否平行（a）（b）2.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置 过点K作两条相交直线分别平行于已知平面内的两条相交直线，则此两条相交直线所在平面即为所求平面。如图2-37（b）所示，在已知平面内作一条直线MN，使其与已知的平行直线相交；过点K作EF，GH分别平行于AB，MN，则直线EF，GH所在平面即为过点K的所求平面。【例2-14】如图2-37（a）所示，已知定平面由平行直线AB和CD给定，试过点K求作一平面，使其平行于已知平面。2.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置图2-37 作平面平行于已知平面（a）（b）2.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置 判断平行问题时，若直线与投影面垂直面平行，或两平面均为投影面垂直面，则只检查具有积聚性的投影是否平行即可。如图2-38所示，已知平面P平行于平面Q，且平面P，Q均垂直于平面H，根据投影面垂直面的性质，属于P，Q上所有直线的水平投影分别积聚在P，Q的水平投影PH，QH 上。2.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面以及两平面之间的相对位置图2-38 两特殊位置平面平行（a）（b）2.5.2 相交相交 直线和平面相交的交点，是直线与平面的共有点。作此类图时，除了求出交点的投影外，还应判断直线投影的可见性。两平面相交的交线，是两平面的共有直线。作此类图时，除了求出交线的投影外，还应判断两平面投影的可见性。2.5.2 相交相交 当平面为特殊位置平面时，可利用积聚性求直线与平面的交点或平面之间的交线。1特殊位置2.5.2 相交相交（1）直线与特殊位置平面相交 如图2-39所示，直线MN与铅垂面ABC相交，K的水平投影k既属于ABC的水平投影，又属于直线MN的水平投影，由k可求得mn与ABC正面投影的交点k，即直线MN与铅垂面ABC的交点为K（k，k）。2.5.2 相交相交 由水平投影可知，KN在铅垂面ABC的前面，故正面投影kn可见，用实线表示；而km与铅垂面ABC重叠部分不可见，用虚线表示。2.5.2 相交相交图2-39 直线与特殊位置平面的交点2.5.2 相交相交（2）一般位置平面与特殊位置平面相交 求两平面的交线可看作是求平面的两个共有点。如图2-40所示，平面ABC与铅垂面DEF的交线，可通过属于交线的任意两点（如K，L）求得。图2-40 一般位置平面与特殊位置平面的交线2.5.2 相交相交2一般位置 由于一般位置平面没有积聚性，所以当直线与一般位置平面相交时，无法在投影图上直接定出交点，而需通过辅助平面作图求出交点。（1）直线与一般位置平面相交2.5.2 相交相交【例2-15】如图2-41（a）所示，求直线DE与一般位置平面ABC的交点。过直线DE作平面S，平面S与ABC的交线为MN，则直线DE与MN的交点K为所求直线DE与一般位置平面ABC的交点，作图过程如图2-41（b）、图2-41（c）、图2-41（d）所示。2.5.2 相交相交图2-41 求直线与一般位置平面的交点（a）（b）（c）（d）2.5.2 相交相交（2）两个一般位置平面相交1）用直线与平面求交点的方法求两平面共有点 如图2-42（a）所示，已知平面ABC和DEF，求此两平面相交的交线。如图2-42（b）、图2-42（c）、图2-42（d）所示，可先分别求出直线DE，DF与平面ABC的交点L，K，则直线KL便是平面ABC和DEF的交线。2.5.2 相交相交图2-42 两个一般位置平面的交线（a）（b）2.5.2 相交相交图2-42 两个一般位置平面的交线（c）（d）2.5.2 相交相交2）用三面共点法求两平面共有点 如图2-43所示，已知平面R，S，需求此两平面的共有点。取任意辅助平面P，它与R，S的交线分别为 和，而 和 的交点K1 为三面共有，即也为R，S两面共有。同理，作辅助平面Q，找到另一共有点K2。K1 K2即为平面R，S两平面的交线。2.5.2 相交相交图2-43 求两平面共有点的示意图2.5.2 相交相交【例2-16】如图2-44所示，已知平面ABC，DEFG，求平面ABC与平面DEGF的交线。根据图2-43原理，取水平面P为辅助平面，利用 PV的积聚性，分别求出平面P与两已知平面的交线（12，12）和（34，34）。和 的交点 K1（k1，k1）为平面ABC、平面DEGF及平面P的共有点。同理，作辅助平面Q求得另一个共有点 K2（k2，k2）。K1 K2即为所求平面ABC与平面DEGF的交线。2.5.2 相交相交图2-44 两个一般位置平面的交线2.5.2 相交相交3投影图的可见性 为了使图形更容易观看，不可见部分的投影用虚线表示。投影图的可见性通过重影点来判断。2.5.2 相交相交 直线与平面相交时，交点是直线可见部分和不可见部分的分界点。如图2-45（a）所示，取重影点（1，1）和（2，2），其中，点在KN上，点在DE上。观察水平投影可知，比更远离OX轴，因此，KN在DE前面，KN在正面投影上可见。（1）直线与平面相交的可见性2.5.2 相交相交 同理，取重影点（3，3）和（4，4），点在MK上，点在DE上。观察正平投影可知，MK在DE的上面。也就是说，MK在水平投影上可见。直线MN与平面DEF的空间情况如图2-45（b）所示。2.5.2 相交相交图2-45 直线与平面相交的可见性（a）（b）2.5.2 相交相交 平面与平面相交时，两平面交线是两平面在投影图上可见与不可见的分界线。（2）平面与平面相交的可见性2.5.2 相交相交【例2-17】如图2-46（a）所示，判断两相交平面的可见性。根据交线是分界线，以及平面的连续性，只要判断出一部分平面的可见性，则另一部分平面的可见性也就明确了。如图2-46（b）所示，在每个投影上的四对重影点中任意选取两对重影点即可判断两相交平面的可见性。2.5.2 相交相交图2-46 两相交平面的可见性（a）（b）2.5.3 垂直垂直1直线与平面垂直2.5.3 垂直垂直图2-47 直线与平面垂直（a）（b）2.5.3 垂直垂直 若一直线的水平投影垂直于定平面内水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于定平面内正平线的正面投影，则此直线必垂直于该平面。2.5.2 相交相交【例2-18】如图2-48（a）所示，已知平面ABC，试过定点S作平面的法线。若要在正投影图上确定平面法线的方向，必须先确定该平面上的投影面平行线的方向。因此，如图2-48（b）所示，作ABC上的任意正平线BD和水平线CE。过s作bd的垂线sf，即为所求法线的正面投影；过s作ec的垂线sf，即为所求法线的水平投影。2.5.3 垂直垂直图2-48 作定平面的法线（a）（b）2.5.3 垂直垂直 辅助线BD和CE与法线SF是不相交的。此处仅利用BD和EC的方向，与垂足无关。垂足是法线和平面的交点，必须按照直线与平面求交点的作图过程才能求得，其作法见直线与平面相交。2.5.3 垂直垂直 当平面为特殊位置平面，作图方法可简化。如图2-49（a）所示，与正垂面垂直的法线必为正平线；如图2-49（b）所示，与铅垂面垂直的法线必为水平线；如图2-49（c）所示，与正平面垂直的法线必为正垂线。2.5.3 垂直垂直图2-49 特殊位置平面的法线（a）（b）（c）2.5.3 垂直垂直【例2-19】如图2-50（a）所示，已知定平面由直线AB，CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。2.5.3 垂直垂直图2-50 判断直线与平面是否垂直（a）（b）2.5.3 垂直垂直2两平面相互垂直 由初等几何可知，若一直线垂直于一定平面，则这条直线所在的所有平面都垂直于该平面；反之，若两平面互相垂直，则自第一个平面上任意点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上，如图2-51所示。2.5.3 垂直垂直图2-51 两平面互相垂直示意图（a）过平面垂线的所有平面都垂直于该平面（b）两平面相垂直（c）两平面不垂直2.5.3 垂直垂直【例2-20】如图2-52（a）所示，过定点S作与已知平面ABC垂直的平面。如图2-52（b）所示，过点S作平面ABC的垂线SF，包含垂线SF的一切平面均垂直于平面ABC，因此，本题有无数解。作任意直线SN与SF相交，直线SN，SF所确定的平面便是其中之一。2.5.3 垂直垂直图2-52 过定点作平面的垂直面（a）（b）2.5.3 垂直垂直【例2-21】如图2-53（a）所示，试判断两相交直线AB，CD所给定的平面与平面KMN是否垂直。在平面KMN中，过点M作另一平面的垂线，然后检查该垂线是否属于平面KMN。如图2-53（b）所示，作平面ABCD的水平线EF，然后根据平面ABCD的正平线CD和水平线EF作垂线MS。经检查MS不属于平面KMN，故平面ABCD与平面KMN不垂直。2.5.3 垂直垂直图2-53 判断两平面是否垂直（a）（b）2.6 三视图及其对应关系三视图及其对应关系2.6.1 三视图的形成 几何元素在V，H和W三面投影体系中的投影称为几何元素的三面投影，如图2-54（a）所示。国家标准规定，将机件向投影面投影所得的图形称为视图。在三面投影体系中，正面投影称为主视图，水平投影称为俯视图，侧面投影称为左视图，它们统称为机件的三视图。2.6 三视图及其对应关系三视图及其对应关系 在视图中，物体可见轮廓线的投影用粗实线表示，不可见轮廓线的投影用虚线表示。为了使三视图能画在一张图纸上，标准规定正面保持不动，水平面向下旋转90，侧面向右旋转90，如图2-54 （b）所示，这样就得到在展开在同一平面上的三视图。2.6 三视图及其对应关系三视图及其对应关系图2-54 三视图的形成（a）几何体的三面投影体系（b）三视图（c）实际画图时的三视图2.6.2 三视图之间的对应关系三视图之间的对应关系 物体有长、宽、高三个方向的尺寸，取X轴方向为长度尺寸，Y轴方向为宽度尺寸，Z轴方向为高度尺寸。实际绘图时，一般采用无轴系统，如图2-54（c）所示。必要时，也可采用有轴系统。无论采用哪种系统，绘图时必须保证三视图间的投影规律，如图2-55所示。1度量对应关系2.6.2 三视图之间的对应关系三视图之间的对应关系图2-55 三视图之间的对应关系2.6.2 三视图之间的对应关系三视图之间的对应关系 三视图的每个视图只能反映物体两个方向的尺寸。主视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，左视图反映物体的高度和宽度。三视图间的投影规律又称三等规律，具体如下。主视图和俯视图的长度相等且对正。主视图和左视图的高度相等且平齐。俯视图和左视图的宽度相等且对应。2.6.2 三视图之间的对应关系三视图之间的对应关系 物体有上、下、左、右、前、后六个方位，由图2-55可以看出，三视图中各视图反映方位如下。2方位对应关系主视图反映物体的上、下和左、右方位。俯视图反映物体的前、后和左、右方位。左视图反映物体的上、下和前、后方位。2.6.2 三视图之间的对应关系三视图之间的对应关系图2-55 三视图之间的对应关系2.7 投影变换投影变换1投影变换的概念 当直线或平面相对投影面处于一般位置或不利于解题的位置时，在投影图中不能较简便地解决它们之间的一些度量问题或某些空间几何问题。若能改变直线或平面对投影面的相对位置，使其由一般位置变换为特殊位置，就能达到有利于解题的目的。这种变换空间几何元素（点、线、面）对投影面相对位置的方法，称为投影变换。2.7.1 投影变换概述2.7 投影变换投影变换2投影变换的分类投影变换的方法一般有换面法和旋转法两种。（1）换面法 保持空间几何元素不动，设置一个新的投影面替换原投影体系中的某一个投影面，组成一个新的投影体系，使几何元素在新投影面上的投影直接反映所需要的几何关系，这种方法称为换面法。2.7 投影变换投影变换 如图2-56所示，ABC在原投影体系H面和V面上的投影均不反映实形。现设置一个新投影面V1，使 V1面垂直于H面并与ABC平行，这就组成了一个新投影体系V1/H，V1面与H面的交线 O1X1称为新投影轴。在这个新投影体系中，ABC在V1面上的投影a1b1c1反映实形。2.7 投影变换投影变换（2）旋转法 原投影面保持不变，将空间几何元素绕着某条选定的