中考数学总复习课件(10).ppt

中考数学总复习课件(4)第第17讲讲几何初步及平行线、相交线几何初步及平行线、相交线 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 三种基本图形三种基本图形直线、射线、线段直线、射线、线段 直直线线公理公理经过经过两点有且只有两点有且只有_条直条直线线线线段公理段公理两点之两点之间间，_最短最短两点两点间间的的距离距离连连接两点接两点间间的的线线段的段的_，叫做，叫做这这两点两点间间的距离的距离一一 线段线段 长度长度 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 角角角的角的概念概念定定义义1 1有公共端点的两条有公共端点的两条_组组成的成的图图形叫做角形叫做角这这个公个公共端点叫做角的共端点叫做角的_，这这两条射两条射线线叫做角的叫做角的_定定义义2 2一条射一条射线绕线绕着它的着它的_从一个位置旋从一个位置旋转转到另一个位到另一个位置所成的置所成的图图形叫做角形叫做角角的分角的分类类角按照大小可以分角按照大小可以分为为平角、周角、平角、周角、_、_、钝钝角角角的大小比角的大小比较较(1)(1)叠合法叠合法(2)(2)度量法度量法角平角平分分线线定定义义从一个角的从一个角的顶顶点引出的一条射点引出的一条射线线，把，把这这个角分成两个角分成两个相等的角，个相等的角，这这条射条射线线叫做叫做这这个角的平分个角的平分线线性性质质角平分角平分线线上的点到上的点到这这个角两个角两边边的距离相等的距离相等射线射线 顶点顶点 两边两边 端点端点 直角直角 锐角锐角 考点考点3 3 几何计数几何计数 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦1 1数直数直线线的的条数条数过过任意三个不在同一直任意三个不在同一直线线上的上的n n个点个点中的两个点可以画中的两个点可以画_条条2 2数数线线段的段的条数条数线线段上共有段上共有n n个点个点(包括两个端点包括两个端点)时时，共有共有线线段段_条条3 3数角的数角的个数个数从一点出从一点出发发的的n n条直条直线线可可组组成成_个角个角4 4数交点的数交点的个数个数n n条直条直线线最多有最多有_个交点个交点5 5数直数直线线分分平面的份数平面的份数平面内有平面内有n n条直条直线线，最多可以把平面，最多可以把平面分成分成_个部分个部分考点考点4 4 互为余角、互为补角互为余角、互为补角 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦互互为为余余角角定定义义如果两个角的和等于如果两个角的和等于9090，则这则这两个两个角互余角互余性性质质同角同角(或等角或等角)的余角的余角_互互为补为补角角定定义义如果两个角的和等于如果两个角的和等于180180，则这则这两个两个角互角互补补性性质质同角同角(或等角或等角)的的补补角角_拓展拓展一个角的一个角的补补角比角比这这个角的余角大个角的余角大9090相等相等 相等相等 考点考点5 5 邻补角、对顶角邻补角、对顶角 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦邻补邻补角角定定义义若两角有一条公共若两角有一条公共边边，它，它们们的另一的另一边边互互为为反向延反向延长线长线，具有，具有这这种关系的两种关系的两个角，互个角，互为邻补为邻补角角对顶对顶角角定定义义若两角有一个公共若两角有一个公共顶顶点，且两角的两点，且两角的两边边互互为为反向延反向延长线长线，具有，具有这这种位置关种位置关系的两个角，互系的两个角，互为对顶为对顶角角性性质质对顶对顶角相等角相等考点考点6 6 “三线八角三线八角“的概念的概念 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦同位同位角角如果两个角在截如果两个角在截线线l l的同的同侧侧，且在被截直，且在被截直线线a a、b b的同一方向叫做同位角的同一方向叫做同位角(位置相同位置相同)1 1和和5 5，4 4和和8 8，2 2和和6 6，3 3和和7 7是同位角是同位角内内错错角角如果两个角在截如果两个角在截线线l l的两旁的两旁(交交错错)，在被，在被截截线线a a、b b之之间间(内内)叫做内叫做内错错角角(位置在内位置在内且交且交错错)2 2和和8 8，3 3和和5 5是内是内错错角角同旁同旁内角内角如果两个角在截如果两个角在截线线l l的同的同侧侧，在被截直，在被截直线线a a、b b之之间间(内内)叫做同旁内角叫做同旁内角5 5和和2 2，3 3和和8 8是同旁内角是同旁内角考点考点7 7 平行平行 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦平行平行线线的的定定义义在同一平面内，在同一平面内，_的两条直的两条直线线叫叫做平行做平行线线平行平行公理公理经过经过直直线线外一点，有且只有外一点，有且只有_条直条直线线与与这这条直条直线线_平行公理平行公理的推的推论论如果两条直如果两条直线线都与第三条直都与第三条直线线平行，那平行，那么么这这两条直两条直线线也互相也互相_不相交不相交 一一平行平行 平行平行第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦平行平行线线的的判定判定同位角相等，两直同位角相等，两直线线平行平行内内错错角相等，两直角相等，两直线线平行平行同旁内角互同旁内角互补补，两直，两直线线平行平行平行平行线线的的性性质质两直两直线线平行，同位角相等平行，同位角相等两直两直线线平行，内平行，内错错角相等角相等两直两直线线平行，同旁内角互平行，同旁内角互补补考点考点8 8 垂直垂直 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦垂直垂直定定义义如果两条直如果两条直线线相交成相交成_，那么，那么这这两条直两条直线线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线线，互相垂直的两条直互相垂直的两条直线线的交点叫做的交点叫做_特特别别说说明明(1)(1)两条直两条直线线垂直是两条直垂直是两条直线线相交的特殊情相交的特殊情况，特殊在它况，特殊在它们们所交的角是直角；所交的角是直角；(3)(3)线线段段与与线线段、射段、射线线与与线线段、射段、射线线与射与射线线的垂直，的垂直，都是指它都是指它们们所在直所在直线线垂直垂直垂直的性垂直的性质质在同一平面内，在同一平面内，过过一点有且只有一点有且只有_条直条直线线与已知直与已知直线线垂直垂直直角直角 垂足垂足 一一 第第17讲讲 考点聚焦考点聚焦垂线垂线段段定定义义从直从直线线外一点引一条直外一点引一条直线线的垂的垂线线，这这点和垂足之点和垂足之间间的的线线段叫做段叫做_性性质质直直线线外各点与直外各点与直线线上各点所上各点所连连的的线线段段中，中，_最短最短点到直点到直线线的的距离距离直直线线外一点到外一点到这这条直条直线线的的_的的长长度，叫做点到直度，叫做点到直线线的距离的距离垂线段垂线段 垂线段垂线段 垂线段垂线段 第第17讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例类型之一线与角的概念和基本性质类型之一线与角的概念和基本性质 命题角度：命题角度：1.线段、射线和直线的性质及计算；线段、射线和直线的性质及计算；2.角的有关性质及计算角的有关性质及计算例例1 2012北京北京 如如图图171，直，直线线AB，CD交于点交于点O，射，射线线OM平分平分AOC，若，若BOD76，则则BOM等于等于()A38 B104C142 D144 C 图图171第第17讲讲 归类示例归类示例 类型之二直线的位置关系类型之二直线的位置关系 命题角度：命题角度：1.1.直线平行与垂直的判定及简单应用；直线平行与垂直的判定及简单应用；2.2.角度的有关计算角度的有关计算.第第17讲讲 归类示例归类示例图图172 例例2 2012义乌义乌 如如图图172，已知，已知ab，小亮把三角，小亮把三角板的直角板的直角顶顶点放在直点放在直线线b上若上若140，则则2的度数的度数为为_ 50 第第17讲讲 归类示例归类示例解析解析 如如图图，140，3180190180409050.a b，2350.故答案故答案为为：50.计计算算角角度度问问题题时时，要要注注意意挖挖掘掘图图形形中中的的隐隐含含条条件件(三三角角形形内内角角和和、互互为为余余角角或或补补角角、平平行行性性质质、垂垂直直)及角平分及角平分线线知知识识的的应应用用第第17讲讲 归类示例归类示例 类型之三类型之三 度、分、秒的计算度、分、秒的计算 例例3 3 20112011芜芜湖湖 一个角的一个角的补补角角是是3635，这这个角个角是是_.第第17讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1度、分、秒的换算；度、分、秒的换算；2度、分、秒的计算度、分、秒的计算14325 解析解析 这个角为这个角为180363514325 第第17讲讲 归类示例归类示例 注意角的度数之注意角的度数之间间的的进进率是率是6060而不是而不是1010，这这是容易出是容易出错错的地方的地方 类型之四类型之四 平行线的性质和判定的应用平行线的性质和判定的应用 命题角度：命题角度：1.平行线的性质；平行线的性质；2.平行线的判定；平行线的判定；3.平行线的性质和判定的综合应用平行线的性质和判定的综合应用第第17讲讲 归类示例归类示例例例4 如如图图173，ABCD，分，分别别探探讨讨下面四个下面四个图图形中形中APC与与PAB、PCD的关系，的关系，请请你从所得到的关系你从所得到的关系中任中任选选一个加以一个加以证证明明 图图173第第17讲讲 归类示例归类示例解：解：APC PAB PCD；APC360(PAB PCD)；APCPAB PCD；APCPCDPAB.如如证证明明 APC PAB PCD.证证明：明：过过P点作点作PE AB，所以，所以AAPE.又因又因为为AB CD，所以，所以PE CD，所以，所以CCPE，所以所以ACAPECPE，APC PAB PCD.同理可同理可证证明其他的明其他的结论结论 平行线的性质与判定的综合运用，是解平行线的性质与判定的综合运用，是解决与平行线有关的问题的常用方法先由决与平行线有关的问题的常用方法先由“形形”得到得到“数数”，即应用特征得到角相等，即应用特征得到角相等(或或互补互补)，再利用角之间的关系进行计算，得到，再利用角之间的关系进行计算，得到新的关系然后再由新的关系然后再由“数数”到到“形形”得到一得到一组新的平行组新的平行第第17讲讲 归类示例归类示例第第18讲讲三角形三角形第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 三角形的分类三角形的分类 1 1按角分：按角分：第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦2 2按边分：按边分：第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 三角形中的重要线段三角形中的重要线段 重要重要线线段段交点位置交点位置中中线线三角形的三条中三角形的三条中线线的交点在三角形的的交点在三角形的_部部角平分角平分线线三角形的三条角平分三角形的三条角平分线线的交点在三角形的的交点在三角形的_部部高高_三角形的三条高的交点在三角形的内三角形的三条高的交点在三角形的内部；部；_三角形的三条高的交点是直角三角形的三条高的交点是直角顶顶点；点；_三角形的三条高所在直三角形的三条高所在直线线的交点在三的交点在三角形的外部角形的外部内内 内内 锐角锐角 直角直角 钝角钝角 考点考点3 3 三角形的中位线三角形的中位线 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦定定义义连连接三角形两接三角形两边边的的_的的线线段叫三角形的中位段叫三角形的中位线线定理定理三角形的中位三角形的中位线线_于第三于第三边边，并且等于它的，并且等于它的_总结总结(1)(1)一个三角形有三条中位一个三角形有三条中位线线(2)(2)三角形的中位三角形的中位线线分得三角形分得三角形两部分的面两部分的面积积比比为为1313中点中点 平行平行 一半一半 考点考点4 4 三角形的三边关系三角形的三边关系 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦定理定理三角形的两三角形的两边边之和之和_第三第三边边推理推理三角形的两三角形的两边边之差之差_第三第三边边三角形的三角形的稳稳定性定性三条三条线线段段组组成三角形后，形状无成三角形后，形状无法改法改变变是是稳稳定性的体定性的体现现大于大于 小于小于 考点考点5 5 三角形的内角和定理及推理三角形的内角和定理及推理 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦定理定理三角形的内角和等于三角形的内角和等于_推推论论1.三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它_的和的和2.三角形的一个外角大于任何一个和它三角形的一个外角大于任何一个和它_的内角的内角3.直角三角形的两个直角三角形的两个锐锐角角_4.三角形的外角和三角形的外角和为为_拓展拓展 在任意一个三角形中，最多有三个在任意一个三角形中，最多有三个锐锐角，最少有两角，最少有两个个锐锐角；最多有一个角；最多有一个钝钝角，最多有一个直角角，最多有一个直角180 不相不相邻邻的两个内角的两个内角 不相邻不相邻 互余互余 360 第第18讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例类型之一三角形三边的关系类型之一三角形三边的关系命题角度：命题角度：1.判断三条线段能否组成三角形；判断三条线段能否组成三角形；2.求字母的取值范围；求字母的取值范围；3.三角形的稳定性三角形的稳定性例例1 2012长长沙沙现现有有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长长的四根的四根木棒，任取其中三根木棒，任取其中三根组组成一个三角形，那么可以成一个三角形，那么可以组组成的三角成的三角形的个数是形的个数是()A1 B2 C3 D4 B 第第18讲讲 归类示例归类示例 解析解析 四条木棒的所有四条木棒的所有组组合：合：3，4，7和和3，4，9和和3，7，9和和4，7，9；只有；只有3，7，9和和4，7，9能能组组成三角形故成三角形故选选B.类型之二三角形的重要线段的应用类型之二三角形的重要线段的应用 命题角度：命题角度：1.1.三角形的中线、角平分线、高线；三角形的中线、角平分线、高线；2.2.三角形的中位线三角形的中位线第第18讲讲 归类示例归类示例图图181 例例2 2012盐盐城城如如图图181，在，在ABC中，中，D，E分分别别是是边边AB、AC的中点，的中点，B50.现现将将ABC沿沿DE折叠，折叠，点点A落在三角形所在平面内的点落在三角形所在平面内的点A1，则则BDA1的度数的度数为为_ 80 第第18讲讲 归类示例归类示例 解析解析 由折叠的性由折叠的性质质可知可知ADA1D，根据中位，根据中位线线的的性性质质得得DEBC；然后由两直；然后由两直线线平行，同位角相等推知平行，同位角相等推知ADEB50；最后由折叠的性；最后由折叠的性质质知知ADEA1DE，所以，所以BDA11802B80.类型之三类型之三 三角形内角与外角的应用三角形内角与外角的应用 例例3 3 20122012乐乐山山 如如图图182，ACD是是ABC的外角，的外角，ABC的平分的平分线线与与ACD的平分的平分线线交于点交于点A1，A1BC的平分的平分线线与与A1CD的平分的平分线线交于点交于点A2，An1BC的平分的平分线线与与An1CD的平分的平分线线交于点交于点An.设设A.则则(1)A1_；(2)An_.第第18讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1.三角形内角和定理；三角形内角和定理；2.三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论图图182第第18讲讲 归类示例归类示例 解析解析(1)(1)根据角平分根据角平分线线的定的定义义可得可得A A1 1BCBCABCABC，A A1 1CDCDACDACD，再根据三角形的一个，再根据三角形的一个外角等于与它不相外角等于与它不相邻邻的两个内角的和可得的两个内角的和可得ACDACDA AABCABC，A A1 1CDCDA A1 1BCBCA A1 1，整理即可得解；，整理即可得解；(2)(2)与与(1)(1)同理求出同理求出A A2 2，可以，可以发现发现后一个角等后一个角等于前一个角的，根据此于前一个角的，根据此规规律再律再结结合脚合脚码码即可即可得解得解 第第18讲讲 归类示例归类示例第第18讲讲 归类示例归类示例 综综合运用三角形的内角和定理与外角的性合运用三角形的内角和定理与外角的性质质、角平、角平分分线线的性的性质质，灵活地运用，灵活地运用这这些基些基础础知知识识，合理地推理，合理地推理，可以灵活的解决内外角的关系得到可以灵活的解决内外角的关系得到结论结论第第19讲讲全等三角形全等三角形 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 全等图形及全等三角形全等图形及全等三角形 全等全等图图形形能能够够完全重合的两个完全重合的两个图图形就是形就是_全等全等图图形的形状和形的形状和_完全相同完全相同全等三全等三角形角形能能够够完全重合的两个三角形就是全等三完全重合的两个三角形就是全等三角形角形说说明明完全重合有两完全重合有两层层含含义义：(1)(1)图图形的形状相同；形的形状相同；(2)(2)图图形的大小相形的大小相等等全等图形全等图形 大小大小第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 全等三角形的性质全等三角形的性质 性性质质1 1全等三角形的全等三角形的对应边对应边_性性质质2 2全等三角形的全等三角形的对应对应角角_性性质质3 3全等三角形的全等三角形的对应边对应边上的高上的高_性性质质4 4全等三角形的全等三角形的对应边对应边上的中上的中线线_性性质质5 5 全等三角形的全等三角形的对应对应角平分角平分线线_相等相等 相等相等 相等相等 相等相等 相等相等 考点考点3 3 全等三角形的判定全等三角形的判定 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦基本基本判判定方定方法法1.三条三条边对应边对应相等的两个三角形全等相等的两个三角形全等(简记为简记为SSS)2.两个角和它两个角和它们们的的夹边对应夹边对应相等的两个三角形相等的两个三角形全等全等(简记为简记为_ )3.两个角和其中一个角的两个角和其中一个角的对边对应对边对应相等的两个相等的两个三角形全等三角形全等(简记为简记为_ )4.两条两条边边和它和它们们的的夹夹角角对应对应相等的两个三角形相等的两个三角形全等全等(简记为简记为_ )5.斜斜边边和一条直角和一条直角边对应边对应相等的两个直角三角相等的两个直角三角形全等形全等(简记为简记为_ )ASA AAS SAS HL 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦拓展延拓展延伸伸满满足下列条件的三角形是全等三角形：足下列条件的三角形是全等三角形：(1)有两有两边边和其中一和其中一边边上的中上的中线对应线对应相等的两个三角形全等；相等的两个三角形全等；(2)有两有两边边和第三和第三边边上的中上的中线对应线对应相等的两个三角形全等；相等的两个三角形全等；(3)有两角和其中一角的平分有两角和其中一角的平分线对应线对应相等的两个三角形全等；相等的两个三角形全等；(4)有两角和第三个角的平分有两角和第三个角的平分线对应线对应相等的两个三角形全等；相等的两个三角形全等；(5)有两有两边边和其中一和其中一边边上的高上的高对应对应相等的相等的锐锐角角(或或钝钝角角)三角形三角形全等；全等；(6)有两有两边边和第三和第三边边上的高上的高对应对应相等的相等的锐锐角角(或或钝钝角角)三角形全三角形全等等总结总结判定三角形全等，无判定三角形全等，无论论哪种方法，都要有三哪种方法，都要有三组组元素元素对应对应相等，相等，且其中最少要有一且其中最少要有一组对应边组对应边相等相等考点考点4 4 利用利用“尺规尺规”作三角形的类型作三角形的类型 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦1已知三角形的三已知三角形的三边边，求作三角形，求作三角形2已知三角形的两已知三角形的两边边及其及其夹夹角，求作三角角，求作三角形形3已知三角形的两角及其已知三角形的两角及其夹边夹边，求作三角，求作三角形形4已知三角形的两角及其其中一角的已知三角形的两角及其其中一角的对边对边，求作三角形求作三角形5已知直角三角形一条直角已知直角三角形一条直角边边和斜和斜边边，求，求作三角形作三角形考点考点5 5 角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定 第第19讲讲 考点聚焦考点聚焦性性质质角平分角平分线线上的点到角两上的点到角两边边的的_相等相等判定判定角的内部到角两角的内部到角两边边的距离相等的距离相等的点在的点在这这个角的个角的_上上距离距离 平分线平分线 第第19讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例类型之一全等三角形性质与判定的综合应用类型之一全等三角形性质与判定的综合应用命题角度：命题角度：1.利用利用SSS、ASA、AAS、SAS、HL判定三角形全等；判定三角形全等；2.利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题例例1 2012重重庆庆 已知：如已知：如图图191，ABAE，12，B E，求，求证证：BCED.图图191第第19讲讲 归类示例归类示例第第19讲讲 归类示例归类示例 1 1解决全等三角形解决全等三角形问题问题的一般思路：的一般思路：先用全等三先用全等三角形的性角形的性质质及其他知及其他知识识，寻寻求判定一求判定一对对三角形全等的条三角形全等的条件；件；再用已判定的全等三角形的性再用已判定的全等三角形的性质质去解决其他去解决其他问题问题即由已知条件即由已知条件(包含全等三角形包含全等三角形)判定新三角形全等、判定新三角形全等、相相应应的的线线段或角的关系；段或角的关系；2 2轴对轴对称、平移、旋称、平移、旋转转前后的两个前后的两个图图形全等；形全等；3 3利用全等三角形性利用全等三角形性质质求角的度数求角的度数时时注意挖掘条件，注意挖掘条件，例如例如对顶对顶角相等、互余、互角相等、互余、互补补等等 类型之二全等三角形开放性问题类型之二全等三角形开放性问题 命题角度：命题角度：1.1.三角形全等的条件开放性问题；三角形全等的条件开放性问题；2.2.三角形全等的结论开放性问题三角形全等的结论开放性问题第第19讲讲 归类示例归类示例图图192 例例2 2012义乌义乌 如如图图192，在，在ABC中，点中，点D是是BC的的中点，作射中点，作射线线AD，在，在线线段段AD及其延及其延长线长线上分上分别别取点取点E、F，连连接接CE、BF.添加一个条件，使得添加一个条件，使得BDFCDE，并加，并加以以证证明你添加的条件是明你添加的条件是_(不添加不添加辅辅助助线线)DEDF 第第19讲讲 归类示例归类示例第第19讲讲 归类示例归类示例由由于于判判定定全全等等三三角角形形的的方方法法很很多多，所所以以题题目目中中常常给给出出(有有些些是是推推出出)两两个个条条件件，让让同同学学们们再再添添加加一一个个条条件件，得得出出全全等等，再再去去解解决决其其他他问问题题这这种种题题型型可可充充分分考考查查学学生生对对全全等三角形的掌握的牢固与灵活程度等三角形的掌握的牢固与灵活程度 类型之三类型之三 利用全等三角形设计测量方案利用全等三角形设计测量方案 例例3 3 20122012柳州柳州 如如图图193，小，小强强利用全等三角形的知利用全等三角形的知识测识测量池塘两端量池塘两端M、N的距离，如果的距离，如果PQONMO，则则只需只需测测出其出其长长度的度的线线段是段是()APO BPQ CMO DMQ第第19讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：全等三角形的判定全等三角形的判定 图图193B 第第19讲讲 归类示例归类示例 解解析析 要要想想利利用用PQONMOPQONMO求求得得MNMN的的长长，只需求得只需求得线线段段PQPQ的的长长，故，故选选B.B.类型之四角平分线类型之四角平分线 例例4 4 (1)班同学上数学活班同学上数学活动课动课，利用角尺平分一个角，利用角尺平分一个角(如如图图194所示所示)设计设计了如下方案：了如下方案：()AOB是一个任意角，将角尺的是一个任意角，将角尺的直角直角顶顶点点P介于射介于射线线OA、OB之之间间，移，移动动角尺使角尺两角尺使角尺两边边相同的相同的刻度与刻度与M、N重合，即重合，即PMPN，过过角尺角尺顶顶点点P的射的射线线OP就是就是AOB的平分的平分线线()AOB是一个任意角，在是一个任意角，在边边OA、OB上分上分别别取取OMON，将角尺的直角，将角尺的直角顶顶点点P介于射介于射线线OA、OB之之间间，移，移动动角尺使角尺两角尺使角尺两边边相同的刻度与相同的刻度与M、N重合，即重合，即PMPN，过过角角尺尺顶顶点点P的射的射线线OP就是就是AOB的平分的平分线线 第第19讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：(1)角平分线的性质；角平分线的性质；(2)角平分线的判定角平分线的判定第第19讲讲 归类示例归类示例(1)方案方案()、方案、方案()是否可行？若可行，是否可行？若可行，请证请证明；若不可行，明；若不可行，请说请说明理由；明理由；(2)在方案在方案()PMPN的情况下，的情况下，继续继续移移动动角尺，角尺，同同时时使使PM OA，PN OB.此方案是否可行？此方案是否可行？请说请说明理由明理由图图194第第19讲讲 归类示例归类示例第第19讲讲 归类示例归类示例(2)当当AOB是直角是直角时时，方案，方案()可行可行四四边边形内角和形内角和为为360，又若，又若PM OA，PN OB，则则OMPONP90，MPN90，AOB90.若若PM OA，PN OB，且且PMPN，OP为为AOB的平分的平分线线当当AOB不不为为直角直角时时，此方案不可行，此方案不可行因四因四边边形内角和形内角和为为360，若，若AOB不不为为直角，直角，则则PM、PN不可能垂直不可能垂直OA、OB.第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 等腰三角形的概念与性质等腰三角形的概念与性质 定定义义有有_相等的三角形是等腰三角形相等的两相等的三角形是等腰三角形相等的两边边叫腰，第三叫腰，第三边为边为底底性性质质轴对轴对称性称性等腰三角形是等腰三角形是轴对轴对称称图图形，有形，有_条条对对称称轴轴定理定理1等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(简简称称为为：_)定理定理2等腰三角形等腰三角形顶顶角的平分角的平分线线、底、底边边上上的的_和底和底边边上的高互相重合，上的高互相重合，简简称称“三三线线合一合一”两边两边 一一 等边对等角等边对等角 中线中线第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦拓展拓展(1)(1)等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等(2)(2)等腰三角形两腰上的中等腰三角形两腰上的中线线相等相等(3)(3)等腰三角形两底角的平分等腰三角形两底角的平分线线相等相等(4)(4)等腰三角形一腰上的高与底等腰三角形一腰上的高与底边边的的夹夹角等于角等于顶顶角的一半角的一半(5)(5)等腰三角形等腰三角形顶顶角的外角平分角的外角平分线线与底与底边边平行平行(6)(6)等腰三角形底等腰三角形底边边上任意一点到两腰的距离上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高之和等于一腰上的高(7)(7)等腰三角形底等腰三角形底边边延延长线长线上任意一点到两腰上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高距离之差等于一腰上的高第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 定理定理如果一个三角形有两个角相等，那么如果一个三角形有两个角相等，那么这这两个角两个角所所对对的的边边也相等也相等(简简写成：写成：_)拓展拓展(1)一一边边上的高与上的高与这边这边上的中上的中线线重合的三角形是重合的三角形是等腰三角形等腰三角形(2)一一边边上的高与上的高与这边这边所所对对的角的平分的角的平分线线重合的重合的三角形是等腰三角形三角形是等腰三角形(3)一一边边上的中上的中线线与与这边这边所所对对的角的平分的角的平分线线重合重合的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形等角对等边等角对等边考点考点3 3 等边三角形等边三角形 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦定定义义三三边边相等的三角形是等相等的三角形是等边边三角形三角形性性质质等等边边三角形的各角都三角形的各角都_，并且每一个，并且每一个角都等于角都等于_等等边边三角形是三角形是轴对轴对称称图图形，有形，有_条条对对称称轴轴判定判定(1)三个角都相等的三角形是等三个角都相等的三角形是等边边三角形三角形(2)有一个角等于有一个角等于60的等腰三角形是等的等腰三角形是等边边三角形三角形相等相等 60 3 考点考点4 4 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦定定义义经过线经过线段的中点与段的中点与这这条条线线段垂直的直段垂直的直线线叫做叫做这这条条线线段的垂直平分段的垂直平分线线性性质质线线段垂直平分段垂直平分线线上的点与上的点与这这条条线线段两个端点的段两个端点的距离距离_判定判定与一条与一条线线段两个端点距离相等的点，在段两个端点距离相等的点，在这这条条线线段的段的_上上实质实质构成构成线线段的垂直平分段的垂直平分线线可以看作到可以看作到线线段两个端点段两个端点_的所有点的集合的所有点的集合相等相等 垂直平分线垂直平分线 距离相等距离相等 第第20讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例类型之一等腰三角形的性质的运用类型之一等腰三角形的性质的运用 命题角度：命题角度：1.等腰三角形的性质；等腰三角形的性质；2.等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性质；的性质；3.等腰三角形两腰上的高等腰三角形两腰上的高(中线中线)、两底角的平分线的性质、两底角的平分线的性质.例例1 如如图图201，在等腰三角形，在等腰三角形ABC中，中，ABAC，AD是是BC边边上的中上的中线线，ABC的平分的平分线线BG，交，交AD于点于点E，EFAB，垂足，垂足为为F.求求证证：EFED.图图201第第20讲讲 归类示例归类示例解析解析 根据等腰三角形三线合一，确定根据等腰三角形三线合一，确定AD BC，又因为，又因为EF AB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证出结论证出结论证明：证明：ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，AD BC.BG平分平分ABC，EF AB，EFED.第第20讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)利用利用线线段的垂直平分段的垂直平分线进线进行等行等线线段段转换转换，进进而而进进行角度行角度转换转换 (2)(2)在同一个三角形中，等角在同一个三角形中，等角对对等等边边与等与等边对边对等角等角进进行互相行互相转换转换 类型之二等腰三角形判定类型之二等腰三角形判定 命题角度：命题角度：等腰三角形的判定等腰三角形的判定第第20讲讲 归类示例归类示例图图202 例例2 2011扬扬州州 已知：如已知：如图图202，锐锐角角ABC的两条的两条高高BD、CE相交于点相交于点O，且，且OBOC.(1)求求证证：ABC是等腰三角形；是等腰三角形；(2)判断点判断点O是否在是否在BAC的平分的平分线线上，并上，并说说明理由明理由 第第20讲讲 归类示例归类示例解析解析(1)利用利用BDCCEB 证明证明DCBEBC；(2)连接连接AO，通过，通过HL证证明明ADOAEO，从而得到，从而得到DAOEAO，利用角平分线上的点到两边的距，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论离相等，证明结论解：解：(1)证明：证明：OBOC，OBCOCB.BD、CE是两条高，是两条高，BDCCEB90.又又BCCB，BDCCEB(AAS)DBCECB,ABAC.ABC是等腰三角形是等腰三角形第第20讲讲 归类示例归类示例(2)点点O是在是在BAC的平分的平分线线上上连连接接AO.BDCCEB，DCEB.OBOC，ODOE.又又BDCCEB90，AOAO，ADOAEO(HL)DAOEAO.点点O是在是在BAC的平分线上的平分线上第第20讲讲 归类示例归类示例要要证证明明一一个个三三角角形形是是等等腰腰三三角角形形，必必须须得得到到两两边边相相等等，而而得得到到两两边边相相等等的的方方法法主主要要有有(1)(1)通通过过等等角角对对等等边边得得两两边边相相等等；(2)(2)通通过过三三角角形形全全等等得得两两边边相相等等；(3)(3)利利用用垂垂直直平平分分线线的性的性质质得两得两边边相等相等 类型之三类型之三 等腰三角形的多解问题等腰三角形的多解问题 例例3 3 20122012广安广安 已知等腰已知等腰ABC中，中，ADBC于点于点D，且且AD0.5 BC，则则ABC底角的度数底角的度数为为()A45 B75C45或或75 D60第第20讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1.遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分；有底角和顶角之分；2.遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况C 第第20讲讲 归类示例归类示例第第20讲讲 归类示例归类示例 因因为为等等腰腰三三角角形形的的边边有有腰腰与与底底之之分分，角角有有底底角角和和顶顶角角之之分分，等等腰腰三三角角形形的的高高线线要要考考虑虑高高在在形形内内和和形形外外两两种种情情况况故故当当题题中中条条件件给给出出不不明明确确时时，要要分分类类讨讨论论进进行行解解题题，才能避免漏解情况，才能避免漏解情况 类型之四等边三角形的判定与性质类型之四等边三角形的判定与性质 例例4 4 2011绍兴绍兴 数学数学课课上，李老上，李老师师出示了如下框中出示了如下框中的的题题目目在在等等边边三三角角形形ABC中中，点点E在在AB上上，点点D在在CB的的延延长长线线上上，且且EDEC，如如图图203.试试确确定定线线段段AE与与DB的的大小关系，并大小关系，并说说明理由明理由第第20讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：等边三角形的判定与性质的综合等边三角形的判定与性质的综合图图203第第20讲讲 归类示例归类示例小敏与同桌小小敏与同桌小聪讨论聪讨论后，后，进进行了如下解答：行了如下解答：(1)特殊情况，探索特殊情况，探索结论结论当点当点E为为AB的中点的中点时时，如，如图图204，确定，确定线线段段AE与与DB的大小关系，的大小关系，请请你直接写出你直接写出结论结论：AE_DB(填填“”“”“”或或“”)理由如下：如理由如下：如图图204，过过点点E作作EF BC，交，交AC于点于点F.(请请你完成以下解答你完成以下解答过过程程)(3)拓展拓展结论结论，设计设计新新题题在等在等边边三角形三角形ABC中，点中，点E在直在直线线AB上，点上，点D在直在直线线BC上，且上，且EDEC.若若ABC的的边长为边长为1，AE2，求，求CD的的长长(请请你直接写出你直接写出结结果果)(3)1或或3.第第20讲讲 归类示例归类示例方法一：等边三角形方法一：等边三角形ABCABC中，中，ABCABCACBACBBACBAC6060，ABABBCBCACAC.EFEFBCBC，AEFAEFAFEAFE6060BACBAC，AEFAEF是等边三角形，是等边三角形，AEAEAFAFEFEF，ABABAEAEACACAFAF，即，即BEBECFCF.又又ABCABCEDBEDBBEDBED6060，ACBACBECBECBFCEFCE6060，且且EDEDECEC，EDBEDBECBECB，BEDBEDFCEFCE.又又DBEDBEEFCEFC120120，DBEDBEEFCEFC，DBDBEFEF，AEAEBDBD.第第20讲讲 归类示例归类示例方法二：在等边三角形方法二：在等边三角形ABCABC中，中，ABCABCACBACB6060，ABDABD120.120.ABCABCEDBEDBBEDBED，ACBACBECBECBACEACE，EDEDECEC，EDBEDBECBECB，BEDBEDACEACE.FEFEBCBC，AEFAEFAFEAFE6060BACBAC，AEFAEF是正三角形，是正三角形，EFCEFC180180ACBACB120120ABDABD.EFCEFCDBEDBE，DBDBEFEF，而由而由AEFAEF是