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第七章第七章 压杆稳定压杆稳定71 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念构件的承载能力：强度刚度稳定性工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。P一、稳定平衡与不稳定平衡一、稳定平衡与不稳定平衡 ：1.不稳定平衡2.稳定平衡稳定平衡3.稳定平衡和不稳定平衡稳定平衡和不稳定平衡二、压杆失稳与临界压力二、压杆失稳与临界压力 ：1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：F轴压轴压F（较小）较小）压弯压弯F（较小）较小）恢复恢复直线平衡直线平衡曲线平衡曲线平衡直线平衡直线平衡QF（特殊值）特殊值）压弯压弯失稳失稳曲线平衡曲线平衡曲线平衡曲线平衡F（特殊值）特殊值）保持常态、稳定保持常态、稳定失去常态、失稳失去常态、失稳QQ Q压杆失稳的现象：压杆失稳的现象：1.轴向压力较小时，杆件能保持稳定的轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线直线平衡状态；平衡状态；2.轴向压力增大到某一特殊值时，轴向压力增大到某一特殊值时，直线直线不再是杆件唯不再是杆件唯一的平衡状态；一的平衡状态；稳定稳定：理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）（Stable）直线平衡状态；直线平衡状态；失稳失稳：理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直（Unstable）线平衡状态；线平衡状态；压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值临界力临界力（Critical force）7-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式思路：思路：假设压杆在某个压力假设压杆在某个压力Fcr作用下在曲线状态作用下在曲线状态平衡，平衡，1）求得的挠曲函数）求得的挠曲函数0，2）求得不为零的挠曲函数，）求得不为零的挠曲函数，然后设法去求挠曲函数。然后设法去求挠曲函数。若：若：平衡状态；平衡状态；说明只有直线说明只有直线确能够在曲线状态下平衡，确能够在曲线状态下平衡，说明压杆的说明压杆的稳现象。稳现象。即出现失即出现失xwxyF(a)BAcrll2d x(b)BywFcrM(x)=FcrwM(x)=Fcrw当当x=0时时，w=0。得：得：B=0，令令（+）以图示两端铰支压杆为例：以图示两端铰支压杆为例：xwxyF(a)BAcrll2d x(b)BywFcrM(x)=Fcrw又当又当x=l时时，w=0。得得Asinkl=0要使上式成立，要使上式成立，1）A=0w=0；代表了压杆的直线平衡状态。代表了压杆的直线平衡状态。2）sinkl=0此时此时A可以不为零。可以不为零。失稳失稳!失稳的条件是：失稳的条件是：理想中心压杆的欧拉临界力理想中心压杆的欧拉临界力在确定的约束条件下，欧拉临界力在确定的约束条件下，欧拉临界力Fcr：有关，有关，1 1）仅与材料（）仅与材料（E）、）、长度长度(l)和截面尺寸和截面尺寸(A)2 2）是压杆的自身的一种力学性质指标，反映）是压杆的自身的一种力学性质指标，反映承载能力的强弱，承载能力的强弱，3）与外部轴向压力的大小无关。与外部轴向压力的大小无关。材料的材料的E越大，越大，截面越粗，截面越粗，短，短，杆件越杆件越临界力临界力Fcr越高；越高；临界力临界力Fcr越高，越高，越好，越好，稳定性稳定性承载能力越强承载能力越强；M(x)=令令Fcr(-w)=-Fcrw与前面获得的结果相同。与前面获得的结果相同。挠曲函数与采用的坐标挠曲函数与采用的坐标系或规定弯矩的符号无关。系或规定弯矩的符号无关。xwF(c)BAcrll2d xwFcrM(x)=Fcrwxy(d)By（+）7-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式 压杆的长度系数0.5l各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定但可沿横向相对移动失稳时挠曲线形状FcrABl临界力Fcr欧拉公式长度系数=10.7=0.5=2=1FcrABlFcrABl0.7lCCDC挠曲线拐点C、D挠曲线拐点0.5lFcrFcrl2llC挠曲线拐点细长压杆临界力的欧拉公式的统一形式细长压杆临界力的欧拉公式的统一形式其中，压杆长度系数l压杆的相当长度。解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：边界条件为:例例7-1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临界力的临界力公式。公式。LxM0M0M0 xFw-M0为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：所以，临界力为：=0.5例例7-2 图图示示结结构构，各各杆杆的的EI相相同同，均均为为细细长长压压杆杆，求临界力求临界力Fcr。解：解：例例7-3 图图示示结结构构，各各杆杆的的EI相相同同，均均为为细细长长压压杆，试求杆，试求=？F F最大。最大。解：解：一、一、欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。3.柔度：2.细长压杆的临界应力：7-4 欧拉公式的应用范围 临界应力总图4.欧拉公式的应用条件：二、中小柔度杆的临界应力计算与临界应力总图二、中小柔度杆的临界应力计算与临界应力总图1.直线型经验公式直线型经验公式PS时：临界应力总图S时：bass-=s sl l PPEs sp pl l2 =2.抛物线型经验公式抛物线型经验公式我国建筑业常用：Ps时：s时：3、折减弹性模量公式折减弹性模量公式scrOpp例例7-4 图图示示结结构构，已已知知E=200Gpa,122时时，crcr=240-0.00682 MPa。求。求Fcr=?解：解：1 1杆：杆：2 2杆：杆：所以，所以，Fcr=4.32 kN练习题练习题：图示结构中，：图示结构中，AB为刚性杆，为刚性杆，BD杆杆为细长压杆，为细长压杆，EI，l已知。试求结构的临界已知。试求结构的临界载荷。载荷。