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函数与极限1第一节第一节 函数极限的概念函数极限的概念第一章第一章 函数与极限函数与极限极限概念的引入极限概念的引入 自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限单侧极限单侧极限自变量绝对值无限增大时函自变量绝对值无限增大时函数的极限数的极限函数值趋于无穷的情形函数值趋于无穷的情形小结小结 思考题思考题 作业作业2一、极限概念的引入一、极限概念的引入 极限概念是从常量到变量极限概念是从常量到变量,从有限到无限从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键即从初等数学过渡到高等数学的关键.极限的思想源远流长极限的思想源远流长.庄子庄子(约公元前约公元前355275年年)在在天下篇天下篇“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”.意思是意思是:一尺长的棍子一尺长的棍子,第一天取其一半第一天取其一半,第二第二天取其剩下的一半天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一以后每天都取其剩下的一半半,这样永远也取不完这样永远也取不完.中写道中写道:函数极限的概念函数极限的概念3刘徽刘徽(三世纪三世纪)的的“割圆术割圆术”中说中说:意思是意思是:设给定半径为设给定半径为1尺的圆尺的圆,从圆内接正从圆内接正6边边形开始形开始,每次把边数加倍每次把边数加倍,屡次用勾股定理屡次用勾股定理.求出求出正正12边形、边形、等等正多边形的边长等等正多边形的边长,正正24边形边形.边数越多边数越多,圆内接正多边形越与圆接近圆内接正多边形越与圆接近,最后与最后与圆周重合圆周重合,则正多边形周长与圆周长就没有误则正多边形周长与圆周长就没有误差了差了.“割之弥细割之弥细,所失弥少所失弥少.割之又割割之又割,以至不可以至不可割割,则与圆周合体则与圆周合体,而无所失矣而无所失矣.”函数极限的概念函数极限的概念4正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积函数极限的概念函数极限的概念5二、二、自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限例 已知自由落体的运动方程是求落体在时的即时速度.函数极限的概念函数极限的概念6发现如何描述无限接近呢?函数极限的概念函数极限的概念7我们就说 t=1时的即时速度为9.8m/s.或者说17世纪 Leibniz,Newton18,19世纪 Bernoulli,Euler,Gauss如此定义极限.函数极限的概念函数极限的概念到1841-1856年,Weierstrass给出以下严格的定义8用数学语言刻划用数学语言刻划无限接近无限接近于确定值于确定值A.函数极限的概念函数极限的概念91.1.定义定义定义定义2 2设函数设函数有有定义定义.记作记作或或恒有恒有在点在点x0某去心邻域内某去心邻域内函数极限的概念函数极限的概念10它就是确定了它就是确定了;注注 定义中定义中 标志标志x接近接近x0的程度的程度,也将越小也将越小.它与它与一般地说一般地说,越小越小,有关有关.函数极限的概念函数极限的概念11注注(3)定义中的定义中的所以所以 f(x)有没有极限与有没有极限与f(x)在点在点x0 是否有定义并无关系是否有定义并无关系.表示表示(4)不等式成立的条件只是针对于满足的x而言,对于不满足此条件的x不考虑.函数极限的概念函数极限的概念12必存在必存在x0的去心邻域的去心邻域对于此邻域内的对于此邻域内的 x,对应的函数图形位于这一带形区域内对应的函数图形位于这一带形区域内.作出带形区域作出带形区域函数极限的概念函数极限的概念13函数极限的概念函数极限的概念14一般说来一般说来,应从不等式应从不等式出发出发,推导出应小于怎样的正数推导出应小于怎样的正数,这个正数就是要找的与这个正数就是要找的与 相对应的相对应的这个推导常常是困难的这个推导常常是困难的.但是但是,注意到我们不需要找最大的注意到我们不需要找最大的所以所以适当放大些适当放大些,的式子的式子,变成易于解出变成易于解出找到一个需要的找到一个需要的找到找到就证明完毕就证明完毕.可把可把函数极限的概念函数极限的概念15思路:函数极限的概念函数极限的概念16例例1证证任任函数极限的概念函数极限的概念所以例例2 证明证明:注意注意:17一般思路:函数极限的概念函数极限的概念18例例3证证函数极限的概念函数极限的概念19例4 证明:证明:函数极限的概念函数极限的概念20例例5 证明证明:例例6 证明证明:结论结论:若若是初等函数是初等函数,是其定义区间内的点是其定义区间内的点,则则函数极限的概念函数极限的概念21例如例如,两种情况分别讨论两种情况分别讨论!三、三、单侧极限单侧极限函数极限的概念函数极限的概念22左极限左极限右极限右极限使得使得时时,或或使得使得时时,或或或或或或函数极限的概念函数极限的概念23注注且且性质常用于判断性质常用于判断分段函数分段函数当当x趋近于趋近于分段分段点点 时的极限时的极限.函数极限的概念函数极限的概念24试证函数试证函数证证左、右极限不相等左、右极限不相等,故故例例7函数极限的概念函数极限的概念25例例8 设设试确定试确定b,c的值的值,使得使得存在存在,并求其极限值并求其极限值.函数极限的概念函数极限的概念26四四、自变量绝对值无限增大时的函数极限自变量绝对值无限增大时的函数极限设对充分大的设对充分大的x,函数函数 处处有定义处处有定义.如果随着如果随着x的的无限增大无限增大,相应的函数相应的函数 就就无限接近无限接近某一常数某一常数 A.由此可引入函数在由此可引入函数在无穷远处的极限概念无穷远处的极限概念.以下分别用记号以下分别用记号表示表示无限增大的过程无限增大的过程.x 趋向于负无穷趋向于负无穷x 趋向于无穷趋向于无穷x趋向于正无穷趋向于正无穷函数极限的概念函数极限的概念27用数学语言刻划用数学语言刻划表示表示表示表示无限增大无限增大.1.定义定义定义定义1 1无限接近、无限接近、函数极限的概念函数极限的概念记作记作或或282.另两种情形另两种情形函数极限的概念函数极限的概念29解解 显然有显然有可见可见和和虽然都存在虽然都存在,但它们不相等但它们不相等.故故不存在不存在.例例9 讨论极限讨论极限 是否存在是否存在?函数极限的概念函数极限的概念30如果在如果在x的某种趋向下的某种趋向下,并不无限接近并不无限接近一个常数一个常数,则称则称:在在x的该种趋向下的该种趋向下例例 当当|x|无限增大时无限增大时,都不无限接近一个常数都不无限接近一个常数,因此因此都不存在都不存在.不存在不存在.函数极限的概念函数极限的概念31图形图形完全落在完全落在:函数极限的概念函数极限的概念32例例10证证令令有有 解不等式解不等式函数极限的概念函数极限的概念33例11验证下列基本极限函数极限的概念函数极限的概念34如如,可以无限增大可以无限增大;可以无限增大可以无限增大.五、函数值趋于无穷的情形五、函数值趋于无穷的情形我们考虑在自变量的某一变化过程中,无限增大的情形.有下面的定义函数极限的概念函数极限的概念35定义定义记作记作特殊情形特殊情形:正无穷大正无穷大,负无穷大负无穷大 定义定义定义定义函数极限的概念函数极限的概念36(1)无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;无穷大一定是无界函数无穷大一定是无界函数,注注(3)无穷大与无界函数的区别无穷大与无界函数的区别:它们是两个不同的概念它们是两个不同的概念.未必是某个过程的无穷大未必是某个过程的无穷大.但是无界函数但是无界函数函数极限的概念函数极限的概念37如如是无界函数是无界函数,但不是但不是无穷大无穷大.因为取因为取而取而取当当所以所以 f(x)不是不是无穷大无穷大!函数极限的概念函数极限的概念38证证例例12函数极限的概念函数极限的概念391.函数极限的函数极限的或或定义定义;函数的极限函数的极限五、小结五、小结2.函数的左右极限判定极限的存在性函数的左右极限判定极限的存在性;3.函数极限为函数极限为 的定义的定义.40作业作业 习题习题2-1(332-1(33页页)(A)6.7.(3)(4)8.10.(B)2.(5)(6)4.函数极限的概念函数极限的概念
